Лабораторная работа № 4.
Приближенный метод решения интегралов.
Метод прямоугольников (правых, средних, левых).
Гребенникова Марина
12-А класс
Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида где f(x) -данная функция, непрерывная на отрезке [a; b]. Если функция f(x) задана формулой и мы умеем найти неопределенный интеграл F(x), то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
Если же неопределенный интеграл данной функции мы найти не умеем, или по какой-либо причине не хотим воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1.1) Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.
Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка .
Точки деления будут: x0
=a; x1
=a+h; x2
=a+2*h, ... , xn-1
=a+(n-1)*h; xn
=b.
Числа y0
, y1
, y2
, ... , yn
являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0
, x1
, x2
, ... , xn
(рис. 1.2).
Строим прямоугольники. Это можно делать несколькими способами:
Левые прямоуголики (слева на право)
Правые прямоугоники (построение справа на лево)
Средние прямоугольники (посредине)
Из рис. 1.2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.
h=(b-a)/n –ширина прямоугольников
Формула левых прямоугольников:
(1.3)
Формула правых прямоугольников:
(1.4)
Формула средних прямоугольников.
Sсредих
= (Sправых
+ Sлевых
) /2
(1.5)
Программа вычисления
по методу левых прямоугольников.
Programlevii;{Метод левых прямоугольников}
usescrt;
vari,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
functionf(x:real):real;
beginf:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a);
write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b);
write('Введите количество отрезков '); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
fori:=0 ton-1 do
beginx:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln('Интеграл равен ',s:12:10); readln;
end.
a=1 b=2 n=10 S= 18,077
a=1 b=2 n=20 S= 18, 208
a=1 b=2 n=100 S= 18, 270
Программа вычисления
по методу правых прямоугольников
.
a=1 b=2 n=10 S=18,05455
a=1 b=2 n=20 S=18,55555
a=1 b=2 n=100 S= 18,2734
Программа вычисления
по методу средних прямоугольников.
a=1 b=2 n=10 S=18,07667
a=1 b=2 n=20 S=18,368
a=1 b=2 n=100 S= 18,156
Заключение и выводы.
Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.
Чем больше значение n, тем точнее значение интеграла..
Другие работы по теме:
Численные методы
Подавляющее большинство процессов реального мира носит линейный характер. Область, использования линейных моделей ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Методо МНК для линейной функции.
Вычисление определенного интеграла
Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
Метод Хемминга
Алгоритм численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Хемминга с постоянным шагом интегрирования.
Численное интегрирование функций
Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
Численное интегрирование определённых интегралов
АННОТАЦИЯ В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Формулы шпаргалка
Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
Методы прямоугольников и трапеций
Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек ξi могут выбираться левые (ξ = xi-1) или правые (ξi = xi) границы элементарных отрезков. Обозначая f{xi) = yi, ∆xi = hi, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:
Численные методы анализа
Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
II Всероссийский съезд Советов рабочих и солдатских депутатов
Второй Всероссийский съезд Советов рабочих и солдатских депутатов , 25—27 октября (7 — 9 ноября) 1917 года, Смольный, Петроград. Съезд открылся 25 октября (7 ноября) в 22:40, в разгар Октябрьской революции; в нём приняли участие многие делегаты, прибывшие с мест.
Милославский, Иван Михайлович
(1635 — 27 июля 1685) — окольничий, приближенный царя Федора Алексеевича. Биография Происходил из незнатного дворянского рода. Родился в семье Михаила Васильевича Милославского, приходился племянником боярину Илье Даниловичу Милославскому. Был женат на Евдокие Петровне Прозоровской. Сделал карьеру вскоре после воцарения Федора Алексеевича, отличавшего его.
Нахождение интегралов в среде Pascal
Методика и основные этапы нахождения интеграла функции sin (x+10)+x4=0 с помощью двух подходов: метод прямоугольников и метод трапеций. Составление соответствующей программы в среде Pascal. Оценка возможностей пользователя при решении данного задания.
Исследование методов вычисления определенных интегралов
Методы вычисления определенных интегралов: метод трапеций и метод Симпсона (парабол). Примеры применения, блок-схемы методов трапеций и Симпсона. Разработка программы в объектно-ориентированной среде программирования Lazarus, конструирование интерфейса.
Основы программирования
Разработка, утверждение стандарта и использование языка программирования С++. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса или итераций. Создание классов с одномерным и двумерным динамическим массивом. Построение блок-схемы и листинг программы.
Приближенное вычисление значений определенного интеграла
Сущность и особенности применения метода средних треугольников. Порядок расчета по методу трапеций и Ньютона-Котеса. Формула Чебышева и значения узлов ее квадратуры. Составление блок-схемы программы и ее основных процедур различными численными методами.
Численное интегрирование функции методом Гаусса
Применения численного интегрирования. Интерполяционные методы нахождения значений функции. Методы прямоугольников, трапеций и парабол. Увеличение точности, методы Гаусса и Гаусса-Кронрода. Функциональные модели и программная реализация решения задачи.
Численное интегрирование методом Гаусса
Выбор математической модели задачи. Применение численного интегрирования и его методы: прямоугольников, парабол, увеличения точности, Гаусса и Гаусса-Кронрода. Суть математического метода аппроксимации. Интерполяционные методы нахождения значений функции.
Исследование функции
АННОТАЦИЯ Курсовой проект по информатике призван показать освоение студентом основ алгоритмизации технических задач, умение решать их с использованием средств современной вычислительной техники и анализировать полученные результаты.
Ценообразование 6
Ценообразование — установление цен, процесс выбора окончательной цены в зависимости от себестоимости продукции, цен конкурентов, соотношения спроса и предложения и других факторов.
Абель, Нильс Хенрик
Абель, Нильс Хенрик (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик.