(1)
Пусть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным
координатам r и f, полагая
x = r cos j
,y = r sin j
.(2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки D
Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j
= j
i (лучи)
Введем обозначения:
D
rj = rj+1 - rj,
D
j
i = j
i+1 - j
i
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки D
Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjD
j
i и D
rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
D
Si = rj D
j
i D
rj(3)
Что касается ячеек D
Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $
Sij для простоты выберем вершину ячейки D
Sij с полярными координатами rj и j
i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos j
i,yij = rj sin j
i.
И следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos j
i, rj sin j
i)(3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому
учитывая формулы (3) и (3'), получаем:(4)
где d - максимальный диаметр ячеек D Sij и сумма
распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области
S. С другой стороны, величины j i и rj суть
числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых
точек плоскости Oj r. Таким образом, сумма (4)
является интегральной суммой для функции
f(r cosj , r sinj
)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами D
j i и D ri. Следовательно
(5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj
dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы
в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты
x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение
(7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область
интегрирования S определяется неравенствами
Где r1(j ), r1(j
) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a
,b ].
Имеем
(8)
Где
F(r,j
) = rf(r cosj
, r sinj
)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить
двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6), получим
Область S определена неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1
В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: j
=0, j
=p
/4, r cosj
=1 и, следовательно, область S определяется неравенствами
Отсюда на основании формул (6) и(8), учитывая, что имеем
Другие работы по теме:
Механика сплошной среды
Закон распределения компонент тензора истинных напряжений в эйлеровых координатах. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии. Расчет главного момента поверхностных и массовых сил. Поле ускорений в эйлеровых координатах.
Механика сплошной среды
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности Материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент t объем пространства V, выражается интегралом
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Математический обзор
Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
Полярные сияния
Полярные сияния чаще всего наблюдаются в двух неправильной формы зонах, окружающих северный и южный магнитные полюсы Земли и простирающихся на широтах 60-70°.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Нахождение площади живого сечения траншеи
1. Формулировка проблемы. Сечение траншеи имеет форму близкую к сегменту параболы, ширина траншеи на её поверхности l метров наибольшая глубина H метров . найти площадь «живого сечения» траншеи , если она полностью заполнена водой.
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Двойной интеграл в полярных координатах
усть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos , y = r sin . (2) бласть интегрирования S разобьем на элементарные ячейки
Билеты по математическому анализу
Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № Сформулируйте понятие полного дифференциала функции двух переменных и объясните его геометрический смысл.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
Кратные интегралы
Министерство образования и науки Российской Федерации Курсовая работа По дисциплине: Высшая математика (Основы линейного программирования) На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Криволинейный интеграл первого и второго рода
Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.