В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.
1.Постановка задачи
В дипломной работе рассматривается задача:
(З)
0.
Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области , и исследовать полученную оценку при
2. Оценочный анализ решения задачи.
Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : “Всякое решение уравнения в прямоугольнике , непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах” [2].
2.1. Оценка решения сверху.
В области t=t , x= рассмотрим решение задачи :
, V(0,x) = (
x ), , (1)
это решение имеет вид [1]:
v (t, x) = . (2)
Зафиксируем некоторое и перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x= будет выглядеть так:
V(t, x) = (2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U( t, x ) V( t, x ). (3)
Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).
2.2. Оценка решения в виде интеграла
Разобьем интервал < x
на две части и ,
тогда интеграл (2’) запишется в виде:
V( t, x ) = . (*)
Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что :
; (а)
;
;
где .
После проведенного исследования видно, что
Использовав известное разложение ,
где Z 0, , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:
(а) ;
(б) .
В результате получим :
Здесь:
, , (4.1)
, . (4.2)
Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:
m=1,
U(t, x) . (5)
Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).
пусть
(т.е. финитна), в соответствии с принципом максимума:
, (3’)
при
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
Аналогично, как и выше
здесь:
Таким образом,
(используем разложение в ряд Тейлора)
В итоге,
(5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть
,
тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени ,
поэтому (5.1) можно переписать как:
(5.2)
б) Пусть тогда:
где
В результате получаем:
(5.3)
2.3. Выбор интервала (
) и оценка
погрешности
Зададим произвольно некоторую константу >0, потребовав чтобы в (5)
<.
при .
Неравенство (5) можно только усилить, если
< (6)
Рассмотрим общий вид :
; (7)
, (7.1)
b=x ( k=1 ) , b=2(k=2) оценка (7.1) эквивалентна системе неравенств:
,
откуда:
. (8)
Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при то принимаем что для некоторого :
. (9)
3. Формулировка результата в виде теоремы
Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
(З)
- гладкая, непрерывно - дифференцируемая
функция на ,а функция ограничена
на R : .
Тогда для любого сколь малого числа
можно указать число
,
такое что имеет место следующая оценка “сверху” решения задачи (З):
Раскрыв квадратные скобки, получим:
.
2.Пусть в имеет место задача (З), -
монотонная, неограниченная, возрастающая функция,
тогда:
если
, то
2) если то
Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при более слабых ограничениях
4. Примеры
Пусть ,
Заключение
В дипломной работе произведена оценка решения “сверху” для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения “снизу”. Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. “Наука”,
М. 1966 (с. 230 -233);
С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. “Наука”, М. 1973 .
33-34);
Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. “Наука”, М.
1989.
Другие работы по теме:
Уравнения регрессии
Особенности расчета параметров уравнений линейной, степенной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной и экспоненциальной регрессии. Методика определения значимости уравнений регрессии. Идентификация и оценка параметров системы уравнений.
Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности
РЕФЕРАТ Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности Краевые условия Дифференциальное уравнение теплопроводности является математической моделью целого класса явлений теплопроводности и само по себе ничего не говорит о развитии процесса теплопереноса в рассматриваемом теле.
Распределение температуры по сечению балки
Методика численного решения задач нестационарной теплопроводности. Расчет распределения температуры по сечению балки явным и неявным методами. Начальное распределение температуры в твердом теле (временные граничные условия). Преимущества неявного метода.
Теплофизический расчет шара
Поиск распределения температуры по толщине указанного шара, находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой, в любой момент времени. Определение удельного расхода тепла. Решение задачи тепломассопереноса произведено с использованием пакета MathCAD.
Жан Батист Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье. (21.3.1768-16.5.1830) Французский математик,член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, где родился, работал там же преподавателем. В 1796-98 преподавал в Политехнической школе.
Термодинамика
Вариант 42 Задача №1 Дано: t1 = 850oC t2 = 130oC б1 = 30Вт/м2·К б2 = 3500Вт/м2·К дс = 18мм дн = 1,6мм лс = 60Вт/м·К лн = 1Вт/м·К Найти: t1ст -? t2ст - ? Решение 1. Коэффициент теплопередачи для плоской стенки без накипи:
Тепловой расчет контейнера с естественной циркуляцией воздуха
Определение коэффициентов теплопроводности слоев. Расчет суммарного термического сопротивления, суммарного коэффициента теплопередачи от внутреннего воздуха к внутренней стенке, ряда параметров приблизительного расчета. Выполнение окончательного расчета.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения
Бабаев Х. Об одном аналоге задачи Бицадзе-Самарского для смешанно-составного уравнения. РЕФЕРАТ В данной работе для смешанно-составного уравнения ставится и исследуется одна нелокальная краевая задача, которая является некоторым аналогом задачи Бицадзе-Самарского. Единственность решения изучаемой задачи доказывается принципом максимума, а существование решения доказывается сведением изучаемой задачи к эквивалентному ей интегральному уравнению.
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Виды тригонометрических уравнений
Реферат на тему: Виды тригонометрических уравнений” Успенского Сергея Харцызск 2001 год Виды тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения
Новое уравнение теплопроводности
Известно, что обычное уравнение теплопроводности перестает адекватно описывать явление теплопередачи в достаточно малых системах. Причина проста: это уравнение базируется на диффузионном механизме распространения носителей температуры.
Преобразование Фурье
Kalmiik-forever Глава I Преобразование Фурье. §1. Класс Шварца. Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя. Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
Волновые уравнения
Вывод уравнения колебания в электрических проводах. Электрический ток в проводах характеризуется величиной и напряжением которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Бразилия в Первой мировой войне
. Бразилия вступила в Первую мировую войну 26 октября 1917 года, на стороне Антанты. Первоначально Бразилия провозгласила нейтралитет (4 августа 1914 года). Но, после провозглашения Германией неограниченной подводной войны, в результате какой было потоплено несколько бразильских кораблей, Бразилия объявила войну Германии.