Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2
=А2
+ В2
, /1/
где: С - гипотенуза;
А и В - катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А2
= С2
-В2
/2/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными Bи С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2
= (C-B) (C+B) /3/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C-B=M/4/
Из уравнения /4/ имеем:
C=B+M/5/
Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:
А2
=M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2
/6/
Из уравнения /6/ имеем:
А2
- M2
=2BM/7/
Отсюда: B=
/8/
Из уравнений /5/ и /8/ имеем:
C= 
/9/
Таким образом:
B =
/10/
C
/11/
Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2
на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2
.
Числа А и M должны иметь одинаковую четность.
По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.
Из изложенного следует:
Квадрат простого числа Aравен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).
Квадрат составного числа Aравен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.
Все числа являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.
Другие работы по теме:
по теме «Пифагор и его теорема»
Авторы: ученицы 8 класса моу леботерская оош с. Леботер, Томской области, Чаинского района Макарова Надежда и Пчелкина Ирина
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Теорема Пифагора
Text Graphics Ученик 8 В класса Моусош № 6 Скворцов Сергей Graphics Пифагор "Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность." Graphics
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Проблема иррациональных чисел
Проблема иррациональности впервые обнаружена в геометрии при извлечении корня. Она известна еще в эпоху “античности”, связываемую с именем Пифагора.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Теорема Наполеона
Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией.
Формула Герона
Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Правила Крамера
ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c)
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Краткое доказательство гипотезы Билля
Формулировка гипотезы Билля и методика ее краткого доказательства. Анализ составляющих гипотезу алгебраических выражений. Использование метода замены переменных при доказательстве гипотезы Билля, не имеющей решения при целых положительных числах.
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора и различные алгебраические и неалгебраические способы ее доказательства.
Трехмерность бытия и теоремы Ферма и Пифагора
Трехмерность бытия, Великая теорема Ферма и теорема Пифагора имеют логическую взаимосвязь. Эта взаимосвязь позволяет сформулировать еще один довод в пользу того, что существует только 3-мерный мир.
Великая теорема Ферма
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно.
Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.
Великая теорема Ферма
Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма».
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.
