Задача 4
С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры
a
и
b
линейной функции
y
=
a
+
bx
, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
xi
|
0,0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
yi
|
0,9 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
Решение
Система нормальных уравнений
в задаче
n = 6
Тогда
решая ее получаем .
y = 0,5714x + 0,9476
Задача 5
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 6
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 7
Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям
Решение
Ответ:
Задача 8
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами
Решение
Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.
Площадь фигуры найдем из выражения
Ответ:
Задача 9
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка
Решение
Разделим переменные
Проинтегрируем
Ответ:
Задача 10
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию
Решение:
Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:
Подставим эти выражения в уравнение
Выберем v
таким, чтобы
Проинтегрируем выражение
,
Найдем u
,
,
,
,
Тогда
Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к.
, то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.
Используем признак Даламбера
Ответ: ряд расходится
б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к.
, то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.
По признаку подобия
данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости
Решение
Используем признак Даламбера:
При х =5 получим ряд
Ряд знакопостоянный, limUn = n
Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.
При х = -5 получим ряд
Ряд знакочередующийся, limUn = n
|Un
| > |Un
+1
| > |Un
+2
| … - не выполняется.
По теореме Лейбница данный ряд расходится
Ответ: Х Î(-5; 5)
Задача 12
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда
Решение
В разложении функции sin(x) в степенной ряд
заменим
. Тогда получим
Умножая этот ряд почленно на
будем иметь
Следовательно
Ответ: »0,006.
Другие работы по теме:
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: Аx +Вy= Сz/1/ не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Краткое доказательство гипотезы Биля
Гипотеза Биля как неопределенное уравнение, не имеющее решения в целых положительных числах. Использование метода замены переменных. Запись уравнения в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел. Наличие дробных чисел.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Замечательное уравнение кинематики
В предлагаемой статье рассмотрена возможность расширения сферы применения кинематических уравнений для решения задач механики. Показана возможность переноса метода составления простейших уравнений движения.
Жозеф Луи Лагранж
Лагранж, Жозеф Луи (Lagrange, Joseph Louis) (1736–1813), французский математик и механик.
Синтез последовательного корректирующего устройства
Синтез последовательного корректирующего устройства частотными методами. Обеспечение отсутствия статической ошибки. Оценка запасов устойчивости. Синтезировалось последовательное корректирующее устройство с помощью частотных методов.
Массера, Хосе Луис
Введение 1 Биография 2 Политическая деятельность Список литературы Введение Хосе Луис Массера (исп. Josй Luis Massera, 8 июня 1915, Генуя — 9 сентября 2002, Монтевидео) — уругвайский революционер, инженер и математик, известный своими исследованиями по теории устойчивости дифференциальных уравнений, функции Ляпунова и предложенной им леммы, получившей его имя.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений Maple. Произвольные константы решения дифференциального уравнения второго порядка, представленном рядом Тейлора. Значения опции method при численном решении.
Айзерман Марк Аронович
АЙЗЕРМАН Марк Аронович (1913-92), российский ученый в области теории управления, представитель первого поколения кибернетиков в нашей стране, доктор технических наук.
Абель, Нильс Хенрик
Абель, Нильс Хенрик (Abel, Niels Henrik) (1802–1829), норвежский математик.
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.