Умножение
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция умножения двух матриц
вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы
равно числу строк второй матрицы
.
Это условие не выполняется, произведение АВ не существует.
Произведение матрицы и вектора А
b
:
Скалярное произведение векторов (
b
,с):
Найти определитель матрицы А:
В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:
= a
11
a
22
a
33
− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
13
a
22
a
31
=2*(-4)*5 – 2*4*2 – (-2)*5*5 + (-2)*4*(-1) +(-1)*5*2 – (-1)*(-4)*(-1) = -40 – 16 +50 + 8 – 10 + 4 = -4
Найти обратную матрицу А-1
:
Решение
.
Определитель введенной Вами матрицы равен:
Определитель не равен нулю, следовательно обратная матрица
существует.
Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа.
Начнем приведение левой квадратной матрицы к единичному виду. При помощи элементарных преобразований
уберем все коэффициенты ниже главной диагонали.
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
Приведем все коэффициенты выше главной диагонали к 0, при помощи элементарных преобразований.
Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Ответ
.
Как уже ранее упоминалось, мы при помощи элементарных преобразований переместили единичную матрицу из правой части в левую, при этом не нарушив ни одного правила работы с матрица.
Квадратная матрица, которую Вы видите справа и есть обратная матрица к введенной Вами
.
Решение системы уравнений Ах=
b
:
Условие
Решение
Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n
:
Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его. Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.
Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований
преобразуем левую часть матрицы (3 × 3) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.
Ответ
.
Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.
Элементарные преобразования матрицы
Элементарными преобразованиями матрицы
называются следующие преобразования: 1) умножение строки матрицы
на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке матрицы
другой строки; 3) перестановка строк; 4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов); 5) транспонирование матрицы
;
Те же операции, применяемые для столбцов матрицы
, также называются элементарными преобразованиями. С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу матрицы
прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
Начинаем решать вот такую систему уравнений методом Гаусса
Определитель основной матрицы равен -4
Хотим сделать элемент [1,1] равным 1. Разделили всю строку 1
на элемент [1,1]=2.
Сделали в 1 строке
элемент 1 единичным.
Обнулим 1 столбец: Из 2 строки
вычли 1 строку
, умноженную на элемент [1,2]=5.
Из 3 строки
вычли 1 строку
, умноженную на элемент [1,3]=-1.
Преобразование 1 столбца сделали.
Хотим сделать элемент [2,2] равным 1. Разделили всю строку 2
на элемент [2,2]=1.
Сделали в 2 строке
элемент 2 единичным.
Обнулим 2 столбец: Из 1 строки
вычли 2 строку
, умноженную на элемент [2,1]=-1.
Из 3 строки
вычли 2 строку
, умноженную на элемент [2,3]=1.
Преобразование 2 столбца сделали.
Хотим сделать элемент [3,3] равным 1. Разделили всю строку 3
на элемент [3,3]=-2.
Сделали в 3 строке
элемент 3 единичным.
Из 1 строки
вычли 3 строку
, умноженную на элемент [3,1]=6.
Из 2 строки
вычли 3 строку
, умноженную на элемент [3,2]=6.5.
Преобразование 3 столбца сделали.
Ну вот вроде и все. Решение содержится в правом столбце: Быстренько сделаем проверку: Исходная матрица:
Подставим в исходную матрицу полученные решения: в квадратных скобках элементы матрицы, в круглых решения системы уравнений
Другие работы по теме:
Эконометрика 3
Институт экономики и предпринимательства (ИНЭП) Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» Вариант 1 Выполнил: студент группы № Проверил: преподаватель ИНЭП,
Выбор медицинской страховой компании
Выбор медицинской страховой компании из четыре возможных альтернатив принятия решений. Построение матриц парных сравнений альтернатив. Вычисление и нормализация их собственных значений, определение согласованности. Вычисление веса каждой альтернативы.
Выбор медицинской страховой компании
КУРСОВАЯ РАБОТА (ПРОЕКТ) по дисциплине: «Принятие решения в условиях неопределённости» ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: Выбор медицинской страховой компании Фокус: выбор страховой компании.
Математика матрица
Матрицы Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами. Матрица m Ч n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Закономерность распределения простых чисел (дополнение)
Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.
Теория Матриц и Определителей
Средняя школа № 45. Город Москва. Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений Курсовая работа (черновик). Введение в теорию матриц и определителей
Алгебра матриц
Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Матрицы
Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
Матрицы Метод Гаусса
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей "Утверждаю"
Матрицы действия с ними
Контрольная работа на тему: «Матрицы, действия с ними» Историческая справка Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами.
Основы высшей математики
Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.
Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы
Понятие и поиск спектра как множества всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы. Характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы. Теорема Ляпунова о нормальности фундаментальной системы.
Лабораторная работа №12
Цель работы: Изучение правил описания и вызова подпрограмм: процедур и функций. Получение навыков и овладение приемами работы над подпрограммами. Задание№ 17
Turbo Paskal Операции над матрицами
Государственный Комитет Российской Федерации по Высшему Образованию Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»
Обработка одномерных массивов и матриц
Заполнение массива из целых чисел с присвоением элементам разных значений. Варианты программы с использованием различных операторов организации циклов. Определение квадрата максимального из четных элементов массива и общего числа нулевых элементов.
Программа, реализующая тип данных "вещественная матрица"
Этапы реализации класса "вещественная матрица", позволяющего осуществлять основные операции с вещественными прямоугольными и транспонированными матрицами. Листинг программы, которая реализует тип данных "вещественная матрица" и принципы работы с ними.
Программирование математических задач
Си - стандартизированный процедурный язык программирования. Алгоритм и программа на языке Си для формирования двух матриц с определенной размерностью и значением элементов. Применение матриц в математике. Исходный текст программы и результаты выполнения.
Расположение элементов в матрице
Расположение в матрице элементов в порядке их возрастания в указанной последовательности. Составление программы на алгоритмическом языке, выполняющей указанные преобразования с матрицами. Выведение исходных и преобразованных матриц, занесение их в файл.
ЛИСП-реализация операций над матрицами
Принципы разработки и пример работы программы, реализующей основные операции алгебры матриц: сложение, вычитание, умножение, транспонирование, а также умножение матрицы на число. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи операций над матрицами.
Turbo Paskal Операции над матрицами
Государственный Комитет Российской Федерации по Высшему Образованию Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»
Действия над матрицами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Инструментальные средства разработки программных средств»
Обработка двумерных массивов матриц .
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ. КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И АДМИНИСТРИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ.
Вычисление матрицы в MS Excel
Содержание: Матрицы Операции с матрицами Транспонирование Вычисление определителя матрицы Нахождение обратной матрицы Сложение и вычитание матриц