Реферат
по
курсу “
Численные методы
”
Тема: “ Поиск нулей функции. Итерационные методы”
Содержание
Введение
1. Поиск нулей функции
2. Метод простой итерации
3. Итерационный процесс Ньютона
Литература
Ведение
Поиск нулей функции является важнейшей процедурой при исследовании и построении различных функций зависимостей, исследовании непрерывных процессов. Фактически поиск нулей функций сводится в постепенному приближению к области, в которой функция приобретает нулевое значение и исследованию ее.
Если уравнение представлено в форме , то нахождение корня такого уравнения формулируется как задача поиска такого значения (или таких значений) , при котором .
1. Поиск нулей функций
Характерным признаком наличия корня у функции в некотором интервале служит различие знаков у значений функции слева и справа от точки . Первой проблемой, непременно возникающей при поиске нулей функции, является обнаружение и минимизация размеров области нахождения нужного корня.
Многие уравнения благодаря пониманию физики описываемых ими явлений, как правило, дают представления об областях расположения нулей и обычно не требуют проведения аналитических исследований. В общем же случае, когда требуется найти все корни, область определения функции должна быть любыми известными эвристическими или аналитическими приемами расчленена на подобласти, включающие по одному корню. Это означает, что для каждой подобласти указаны границы возможного изменения каждой независимой переменной заданной системы нелинейных алгебраических уравнений. Для сжатия подобласти в точку, соответствующую корню, теперь могут быть предложены численные процедуры, из которых рассмотрим наиболее простые и популярные.
2. Метод простой итерации
Метод простой итерации (последовательного приближения) начинается с неявного разрешения заданной системы алгебраических уравнений относительно вектора переменной , например, так:
,
где , матрица масштабирующих коэффициентов, в общем случае недиагональная.
Итерационный процесс начинается с подстановки в правую часть произвольного значения и вычисления очередного вектора для последующей подстановки:
Сходимость к решению такого процесса зависит от вида функции правой части и, следовательно, от величин масштабирующих коэффициентов . Сходимость будет, если скалярная функция , однозначно характеризующая изменение вектора за один цикл, больше значения этой функции при подстановке в нее соответствующих :
.
Если и , условие именуют условием Липшица
.
Если – диагональная матрица, то величины можно выбрать из условия отрицательности скорости изменения . Для этого достаточно взять производную от рекуррентной формулы и установить соответствующее соотношение с нулем:
Таким образом, знание максимальных значений производных системы функций в области [a, b]нахождения корня , позволяет выбрать масштабирующие коэффициенты, обеспечивающие сходимость процесса.
3. Итерационный процесс Ньютона
Вторым по важности и популярности итерационным процессом для случая аналитического задания системы уравнений и локализации области нахождения корня является итерационный процесс Ньютона.
.
Пусть отклонение начального вектора искомого решения отличается от точного на величину , тогда, выполнив разложение в ряд Тейлора неявных функций в окрестности и ограничившись слагаемыми с частными производными первого порядка, получим систему уравнений для вычисления добавок к начальному вектору, приближающих последний к значению корня:
.
Обозначим частные производные (). Система уравнений для вычисления вектора будет:
,
где – матрица, обратная матрице Якоби из частных производных:
.
Итерационную процедуру Ньютона для вычисления корней нелинейной системы уравнений можно в результате представить так:
,
.
Здесь верхний индекс в обозначениях частных производных указывает на подстановку в них значения x
, полученного на k
-той итерации.
Остановка итерационного процесса осуществляется тогда, когда по всем компонентам вектора x
достигнута заданная относительная погрешность , т.е. должна быть истинной конъюнкция:
В одномерном случае итерации для уравнения g
(x
)=0выглядят так:
Нетрудно заметить одну и ту же природу коэффициентов, стоящих перед значением функций у трех вариантов итерационных процедур и обеспечивающих сходимость процесса : все они учитывают значение производных в области нахождения нулей функции.
Литература
1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.
2. Блинов И.Н., “Об одном итерационном процессе Ньютона”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 33:1 (1969), 3–14
3. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.
4. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 2001. - 383с.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.
6. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 250 с.
7. Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. - 255с.
Другие работы по теме:
Анализ САУ с помощью MATLAB и SIMULINK
Построение временных характеристик с помощью пакета Control System В качестве примера выберем апериодическое звено первого порядка Для построения временных характеристик с помощью пакета Control System используются функции step и impulse.
Основы теории цепей
Министерство высшего и среднего специального образования Российской Федерации Южноуральский Государственный Университет Кафедра «цифровые радиотехнические системы»
Методы решения алгебраических уравнений
Итерационные методы (методы последовательных приближений) для решения уравнений. Одношаговые итерационные формулы. Метод последовательных приближений Пикара. Возникновение хаоса в детерминированных системах. Методы решения систем алгебраических уравнений.
Поиск оптимальных решений
Основные понятия оптимизационных задач. Нахождение наибольших или наименьших значений многомерных функций в заданной области. Итерационные процессы с учетом градиента. Функционал для градиентного равенства и применение его в задачах условной оптимизации.
Типовой расчет графов
Данная работа является типовым расчетом по курсу "Дискретная математика" по теме "Графы", предлагаемая студентам МГТУ им. Баумана.
Вычисление корней нелинейного уравнения
Нахождение нулей функции графическим методом. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и Root. Поиск экстремумов функции. Разложение функции в степенной ряд.
Системы счисления 2
Text Graphics СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Graphics Для перевода правильной дроби из СС с основанием 10 в СС с основанием n необходимо: эту дробь умножить на n, затем дробную часть, полученного произведения вновь умножить на n и так до тех пор пока в дробной части не окажутся все нули, либо не будет достигнута заданная степень точности.
Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле
Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
Численные методы анализа
Численные методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, простой итерации, Зейделя. Методы аппроксимации и интерполяции функций: неопределенных коэффициентов, наименьших квадратов. Решения нелинейных уравнений и вычисление определенных интегралов.
Область определения функции
Федеральное агентство по образованию Среднего профессионального образования «Профессиональный лицей №15» Кафедра: Станочник (металлообработка)
Венгерский метод в логистике
Содержание Введение 3 1 Задача о назначениях. Венгерский метод 4 1.1 Задача о назначениях 4 1.2 Венгерский метод решения задачи о назначениях 7 2 Решение задачи о назначениях с помощью венгерского метода 15
Оценка качества процессов регулирования
Реферат на тему: " Оценка качества процессов регулирования " 1. Общие положения по оценке качества Устойчивость необходимое, но недостаточное требование, предъявляемое к системе, она должна удовлетворять требованиям по качеству.
Анализ линейной динамической цепи
Электрическая схема фильтра, нахождение комплексной функции передачи. Нахождение полюсов и нулей функции передачи, карта полюсов и нулей. Построение АЧХ, ЛАЧХ, ФЧХ, определение крутизны среза и времени задержки, функции импульсной характеристики.
Лабораторная работа №7
Цель работы: Получение навыков реализации циклических алгоритмов с неизвестным числом повторений цикла, операторов цикла с предусловием и постусловием и итерационных циклических алгоритмов.
Операторы цикла
Командой повторения или циклом называется такая форма организации действий, при которой одна и та же последовательность действий повторяется до тех пор, пока сохраняется значение некоторого логического выражения.
Перспективные архитектуры генетического поиска
В последнее время появились новые «нестандартные» архитектуры генетического по-иска, позволяющие в большинстве случаев решать проблему предварительной сходимости алгоритмов. Это методы миграции и искусственной селекции.
Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и аналитическим, простым и модифицированным методом Ньютона. Программы на языке программирования Паскаль и С для вычислений по вариантам в порядке указанных методов. Изменение параметров задачи.
Создание презентации, формирование массива
Подготовка презентации по теме "Excel – фильтрация данных". Сличительная ведомость по материальным ценностям, форма разработки документа. Построение сводной таблицы расчета суммарного и среднего значений поля. Характеристика формирования массива.
Поиск подстроки в строке с помощью хеш-функции
Поиск подстроки в строке - часто возникающая на практике задача. Поиск подстроки в строке обычной подстановкой к каждой позиции строки всей подстроки - метод неэффективный и вообще грустный.
Итерационные циклы
Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова Кафедра И3 «Информационные системы и компьютерные технологии» Лабораторная работа №3
Выполнение арифметических операций над числами с фиксированной запятой
Цель: ознакомиться с командами арифметических операций, вводом данных с клавиатуры и выводом данных на экран. Задание: написать программу ввода с клавиатуры двух чисел в 9-ричной системе счисления размером с слово, выполнения над ними деления и вывода результата в исходной системе счисления. Программа должна предусматривать контроль вводимой информации, контроль диапазона чисел и результата операции (переполнение, невозможность деления).
Язык программирования Turbo Pascal
Содержание 1.1 Описание предметной области решаемой задачи 3 1.2 Функции, реализуемые задачей 3 1.3 Входные документы, необходимые для решения задачи 3