Рассматривается определение поля, примеры и простейшие
свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть - кольцо с единицей 1. Элемент из множества называется
обратным в кольце , если . называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2
необратим в этом кольце, так как , элемент 5 необратим в кольце
целых чисел. - обратимые элементы в кольце
целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются
все элементы кроме .
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо
,
обратимыми являются все элементы кроме .
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица .
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим
поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа - галуафилд. ; . Определим
операции сложения и умножения:
И - бинарные операции, - унарная
Из этой таблицы видно, что операция - коммутативна, -бинарные
операции, -
унарная операция, т.к. , .
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение: .
Если , то .
Доказательство. Пусть , докажем, что , то есть , тогда противоречие с аксиомой
поля . Если , то по аксиоме
полей | , .
Если , . умножим равенство справа на , то есть .
.
Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства на слева, .
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы
контрапозиции: , , значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области
целостности.
.
Доказательство. . Умножим обе части равенства
справа на , где .
, где .
Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.
, где .
Доказательство. Правая часть равна левой части.
, .
Доказательство. Правая часть левая часть.
, .
Доказательство. Левая часть .
, .
Если , то .
Доказательство. Вычислим произведение то есть обратный элемент к .
, где .
Доказательство. Левая часть равна равна правой части.
- коммутативная группа, которая
называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1. , так как поле.
2.
3.
4. , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под
гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для
изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей
поля , в
котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем.
Подполе поля , отличное от называется собственным
полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не
имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть
поле .
Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно
операции и
подмножеству.
Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система называется системой рациональных
чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.
Множество замкнуто относительно операции и
Аксиома минимальности, если такое, что:
а)
б) , тогда .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики.
Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории
групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры.
– М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные
структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье –
М.: Физмат лит-ра, 2001
Для подготовки данной работы были использованы
материалы с сайта referat/
Другие работы по теме:
Философия активной материи
Для того чтобы понять структуру материи, и ее эволюцию во Вселенной, необходимо выработать основные принципы формирования ее структуры и принципы, приводящие ее к самодостаточности в своем развитии или принципы активности материи.
Магнитное поле Процесс формирования
Graphics Магнитное поле Содержание . 1 Чем создаётся 2 Вычисление 3 Магнитные свойства веществ 4 Проявление магнитного поля 5 Взаимодействие двух магнитов 6 Явление электромагнитной индукции 7Токи Фуко Graphics
Электрическое поле
Работа по физике Ученика 10 класса А Школы №1202 Круглова Егора Электрическое поле По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве
Магнитное поле
Работа по физике Ученика 10 класса А Школы №1202 Круглова Егора Магнитное поле В XIX веке была обнаружена связь между электричеством и магнетизмом и возникло представление о
Нормирование электромагнитных полей
Основными документами, регламентирующими электромагнитные поля на производстве, являются санитарные правила „Электромагнитные поля в производственных условиях. Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы. СанПиН 2.2.4.1191-03” Они были введены 30.01.2003г. Их требования распространяются на работников, подвергающихся воздействию ослабленного геомагнитного поля, электростатического поля, постоянного магнитного поля, электромагнитного поля промышленной частоты, электромагнитных полей радиочастотного диапазона электромагнитные поля.
О единой теории векторных полей
Экспериментальный и теоретический методы познания физической реальности. Единая теория векторных полей - обобщение уравнений электродинамики Максвелла, теоретическое обоснование схемы их построения; исследование гравитационного и электрического полей.
Магнитная индукция 2
Text Магнитные линии- очертания Магнитные линии- очертания образовавшиеся под воздействием магнитных сил. Где есть магнитно поле там есть подобно полюсам Справа (рисунок) магнитные линии Для определенных видов магнитов Магнитные линии всегда замкнуты Graphics
Расчет сборочной размерной цепи
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «ПМиС» РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА «Расчет сборочной размерной цепи»
Допуски и посадки
Расшифровка посадки по буквенному написанию или другим параметрам. Обозначение системы, в которой обозначены отверстие и вал. Буквенное обозначение размеров вала и отверстия. Расчет предельного размера вала и отверстия S(N) max и min допуск посадки.
Расчет точности и выбор стандартных посадок
Оглавление 1 для гладких цилиндрических соединений 1.1 Определил предельные отклонения, номинальный размер, допуск для сопряжения 1.2 Выполнил схему расположения полей допусков заданных посадок с указанием минимальных и максимальных зазоров и натягов для сопряжения 1.3 Выполнил эскиз узла с заданной посадкой 1.4 Выполнил эскиз деталей с указанием посадочных размеров 1.5 Краткая характеристика посадки и ее применение 1.6 Указал систему (СА, СВ), в которой выполнено сопряжение 1.7 Установил квалитет деталей соединения 1.8 Определил предельные отклонения, номинальный размер, допуск для сопряжения 1.9 Выполнил схему расположения полей допусков заданных посадок с указанием минимальных и максимальных зазоров и натягов для сопряжения 1.10 Выполнил эскиз узла с заданной посадкой 1.11 Выполнил эскиз деталей с указанием посадочных размеров 1.12 Краткая характеристика посадки
Причина магнитного поля Земли?
Существует несколько версий происхождения магнитного поля Земли и планет. Например, новаторская статья «Магнитное поле Земли», в которой предлагается новая трактовка образования магнитного поля Земли.
Магнитные звёзды
Характерной особенностью "магнитных звёзд" является гладкость и статичность их магнитных полей, в отличие от, например, Солнца, чьё магнитное поле не слишком сильно, дискретно и постоянно изменяется.
Общая постановка проблемы перекрестных эффектов
Предложена физико-математическая модель крупномасштабных перекрестных эффектов. Расчеты обобщены на теорию порядка и хаоса, устойчивости и катастроф. На основе выполненных расчетов построена дидактика явлений переноса.
Функция Римана
Функция Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках.
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность).
Гравитационное поле вертикального стержня
Гравитационное поле вертикального стержня В. В. Орлёнок, доктор геолого-минералогических наук Некоторые небольшие по диаметру и уходящие на большую глубину интрузии могут быть аппроксимированы вертикальным стержнем или цилиндром (рис.28).
Гравитационное поле горизонтальной полуплоскости
Вертикальный уступ в реальных геологических условиях соответствует вертикальному сбросу, выклиниванию горизонтальных пластов различной плотности, границе крупного интрузивного образования на контакте с осадочными породами и т.п.
Гравитационное поле плоского слоя
Рассмотрим очень важную задачу притяжения, создаваемого плоским слоем в точке А, расположенной на некоторой высоте z над ним. Пусть плотность слоя = const. Вырежем в нем диск радиусом r и толщиной z.
Моделирование электростатического поля
Метод моделирования электростатического поля имеет широкое применение на практике. Пользуясь этим методом, изучают сложные электростатические поля (в электростатических линзах, в электронных трубках и т.п.).
Алгебраические числа
Краткий исторический очерк. Поле алгебраических чисел. Понятие числового поля. Алгебраическое число. Поле алгебраических чисел. Рациональные приближения алгебраических чисел. Теорема Лиувиля. Трансцендентные числа Лиувиля.
Система открытых полей
План Введение 1 Система открытых полей в Англии 2 Система открытых полей в других странах Список литературы Введение Система открытых полей (англ. open field system) — одна из систем землепользования в средневековой Европе, наиболее характерная для Англии. При системе открытых полей пахотные земли сельского поселения делились на наделы крестьян, которые не огораживались.
Работа с базами данных
Хранение информации – одна из важнейших функций компьютера. Одним из распространенных средств такого хранения являются базы данных.
Работа с базами данных
Изучение работы с реляционной СУБД "Access", основные этапы проектирования базы данных: создание таблицы в режиме конструктора, заполнение ее данными, проектирование связей между ними. Создание форм и запросов, выбор сортировки, заполнение отчетов.
Магнитные аномалии
Реальное магнитное поле, наблюдаемое на поверхности Земли, отражает суммарный эффект действия различных источников.