Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.
Теорема 3. (Вейєрштрасса). Функція , визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.
Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].
Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.
Зауваження. Теорема 3 не виконується, якщо область D відкрита. Наприклад, у = неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.
Теорема 4. (про знак функції). Якщо функція неперервна в точці А і f(А) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.
Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:
якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ≠ 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.
Дійсно, нехай , наприклад, f(а) > 0. Покажемо, що для будь-якого > 0 можна знайти таке > 0, що для всіх х (а — , а + ) виконується нерівність f(х) > 0.
Побудуємо -окіл точки а і -окіл точки f(а) (рис. 3.75).
Якщо взяти = min (h1 h2), то завжди можна побудувати прямокутник із сторонами 2 і 2 такий, що f(х) > 0.
Теорема 5 (про корінь функції). Якщо функція визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в яких функція набуває значень різних знаків:
f(А) < 0, f(В) > 0,
то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.
Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ≤ t ≤ Т за допомогою системи функцій
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.
Якщо точка М0 (, (t0), ,…, збігається з точкою , то крива називається простою замкненою кривою.
Розглянемо просту криву, задану рівняннями
х = х(t), y = y(t) (5.18)
на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).
Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.
Область D на площині називається однозв'язною, якщо будь-яка область внутрішня відносно простої довільної замкненої кривої, яка міститься в D, також міститься в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.
Для функції однієї змінної теорема 5 формулюється таким чином: якщо у = f(х) неперервна на [а, b] і на кінцях сегмента набуває значень різних знаків, то всередині сегмента знайдеться принаймні одна точка така, що f () = 0.
Точка називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).
На рис. б — три корені, а на рис., a — один.
Теорема 6 (про проміжне значення). Якщо функція неперервна в зв'язній області D (відкритій або замкненій) і набуває різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка М3, яка лежить всередині D, що
f(М3) = С
Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:
якщо у = f(х) неперервна у проміжку і набуває різних значень у двох точках а і b сегмента [а, b] f(a) = А і f(b) = В, то для будь-якого С, що лежить між А і В, А < С < В, всередині сегмента знайдеться принаймні одна така точка , що С = f().
Доведення. Нехай А < В і А < С < В (рис. 3.78). Побудуємо функцію Н (х) = f(х) - С.
Для цієї функції
Функція Н(х) неперервна на [а, b] як різниця двох неперервних функцій f(х) і сталої (х)= С. Отже, до функції Н(х) застосована теорема про корінь. Тоді на [а, b] існує точка така, що Н() = 0, тобто
Звідси
що й треба було довести.
Теорема 7 (про найменше і найбільше значення). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області D, то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між двома скінченними числами та і М:
m ≤ f(X) ≤ M.
Числа т і М називаються найменшим і найбільшим значеннями функції. При цьому в області D знайдеться принаймні одна точка Х1 D, в якій функція f(X1) набуває найменшого значення f(Х1) = т; і принаймні одна точка Х2 D, в якій функція набуває найбільшого значення f(Х2) = М.
Сформулюємо теорему 7 для функції однієї змінної:
якщо функція у = f(х) неперервна на [а, b], то вона обмежена, тобто всі її значення містяться між. двома скінченними числами т і М, які називаються найменшим і найбільшим значеннями функції на сегменті [а, b].
m ≤ f(x) ≤ M.
На рис. зображена неперервна на [а, b] функція, у якої є точки і такі, що
і одна точка х2, в якій f(х2) = М.
Теорема 8 (Кантора). Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області D, то вона рівномірно неперервна в D.
Теорему наводимо без доведення.
Другие работы по теме:
Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна
Сутність загальної задачі керованості. Аналіз основних властивостей оптимальних керувань. Доказ теореми – "Принцип максимуму Понтрягіна", особливості її застосування для задачі оптимальної швидкодії. Методика перевірки траєкторій задачі на оптимальність.
Вода в грунті
Реферат на тему: “” 1. Функції води в природі та житті ґрунту Вода в природі виконує дві функції: забезпечує багато фізичних і хімічних процесів; є потужною транспортною геохімічною системою, яка сприяє переміщенню речовин у просторі. У житті ґрунту вода виконує п’ять функцій: вона є одним з факторів ґрунтоутворення й процесів вивітрювання мінералів; гумусоутворення, хімічні реакції відбуваються тільки у водному середовищі; під впливом води проходить формування ґрунтового профілю; регулювання температури грунту відбувається при допомозі води; вода є одним із факторів життя рослин та організмів, а також родючості грунтів.
Контроль якості еластомерів. Пружно-міцнісні властивості гум
Загальні засади контролю якості еластомерів, чинники й різновиди. Вимоги до фізико-механічних випробувань гум. Контроль пружно-міцнісних властивостей еластомерів. Визначення пружно-міцносних властивостей гум за розтягу, умовно-рівноважного модуля гум.
Альдегіди
Опорний конспект з хімії на тему: “Альдегіди” Виконав: Учень 11- А класу Середньої школи № 96 Коркуна Дмитро Львів 2000 Альдегіди – клас органічних сполук, у яких карбонільна група СО зв'язна з атомом та органічним радикалом R
Функції адміністративного управління
Суть і зміст управлінської діяльності на всіх рівнях управління. Поділ і спеціалізація праці у виробництві і управління ним. Виробнича система та організаційна структура підприємства. основними функції: планування, організації, мотивацію, контроль.
Функція, її границя та неперервність
Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.
Наближене обчислення визначених інтегралів
Для деяких неперервних підінтегральних функцій ї(х) не завжди можна знайти первісну, виражену через елементарні функції. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона — Лейбніца неможливе. В усіх цих випадках застосовують різноманітні методи наближеного інтегрування, які дають змогу використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Системи випадкових величин
Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
Подвійний інтеграл
Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла. Обчислення об'єму циліндричного тіла. Маса неоднорідної матеріальної пластини. Поняття подвійного інтеграла, умови його існування та властивості. Адитивність подвійного інтеграла та його оцінка.
Властивості визначеного інтеграла
1. Властивості визначеного інтеграла 10 Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування: тощо. Інтегральна сума, а отже, і її границя не залежать від того, якою буквою позначено аргумент функції f. Це й означає, що визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
Інформація та інформаційні процеси
Інформація та інформаційні процеси, носії інформації, властивості, форми і способи її подання, кодування повідомлень. Інформаційні процеси: пошук, зберігання, збирання, опрацювання, подання, передавання, використання, захист та сучасні засоби зберігання.
Теорія множин. Операції над множинами та їх властивості
Теоретичні основи теорії множин. Основні операції над множинами та їх властивості. Складання програми для обчислення результуючої множини за вихідним і спрощеним виразами. Виконання операцій над множинами, застосування їх властивостей, спрощення виразів.
Класифікація, будова і властивості ліпідів
РЕФЕРАТ на тему: Класифікація, будова і властивості ліпідів Ліпіди — це низькомолекулярні речовини з гідрофобними властивостями. Разом з білками і вуглеводами це основні компоненти всіх видів клітин. У різних органах і тканинах вміст ліпідів неоднаковий. Особливо багато їх у нервовій тканині, серці, печінці, нирках, крові, насінні і плодах деяких рослин.
Об єкти Ос Windows Робота із документами файлами папками дисками Основні об єкти в ос WIND
Лабораторна робота №5 Тема: Об’єкти Ос Windows. Робота із документами, файлами, папками, дисками. Основні дії над об’єктами в ос Windows можна виконати за допомогою контекстного меню, що з’являється при натисканні на об’єкті ПКМ. Контекстне меню кожного типу елементів може мати різні пункти. При активізуванні контекстного меню якогось документу ми отримаємо меню, яке складається із таких пунктів:
Функції властивостей
Реферат на тему: Функції властивостей Функції властивостей призначені для керування властивостями, пов’язаними із символами. CDR - елемент символа вказує на список властивостей, який містить властивості та прапорці (див. розділ ?????).
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Абсолютні величини в статистиці
Реферат на тему: Абсолютні величини в статистиці. План. Поняття статистичних величин. Види абсолютних величин. І статистичні ряди і статистичні таблиці містять підсумкові дані, які характеризують сукупність одиниць спостереження.
Оксиди
Тема: План. Оксиди, їх класифікація. Номенклатура. Способи добування оксидів. Фізичні властивості. Хімічні властивості основних, кислотних і амфотерних оксидів.
Функція границя функції
Реферат на тему: Функція, границя функції Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f
Про систему задач для вивчення інтеграла
Система задач для вивчення первісної та інтеграла в навчальному посібнику (1) недостатньо досконала. Завдання тут в основному зводяться до обчислення площ фігур (№1022-1027, 1037-1042, 1081-1087) і інтеграла (1028-1036, 1071-1080), тобто, так як і в задачниках з математичного аналізу для втузів, мають тренувальний характер.
Психологічні стани процеси властивості
Психологічні процеси, стани та властивості Оскільки психологія прагне до дійсного пізнання реального життя, вона не обмежується абстрактним вивченням окремих психічних функцій. Намагання проникнути в психічне життя особистості включає вивчення психічних процесів як моментів конкретної діяльності особистості, її властивостей, які проявляються і формуються у діяльності, та її психічних станів, які закріплюють певну сталість, статичність психічного через вчинкову дію.
Формула Н ютона Лейбінца
Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 Реферат На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.
Подвійний інтеграл його властивості
Пошукова робота на тему: Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.
Функції та способи їх задання
Реферат з предмету „Вища математика” на тему: Функції та способи їх задання” План 1. Деякі властивості функції. 2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.
Збудження об’ємних резонаторів
Лекція 18 . Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора. , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: