Виды тригонометрических уравнений

Реферат

на тему:

“Виды тригонометрическихуравнений”

Успенского Сергея

Харцызск

2001 год

Виды тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nОZ.

Зх - p/4 = (-1)n p/6 + np, nОZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nОZ;

x = (-1)n p/18 + p/12 + np/3, nОZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nОZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nОz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nОZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nОZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nОZ; x, = 65° + 120°· n, nОZ.

Пример 2. sinx + Цз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Цз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nОZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nОZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nОZ; x1 = p/2 + 2pn, nОZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nОZ; x2 = -p/6 + 2pn, nОZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nОZ; x2 = -p/6 + 2pn, nОZ.

2. Двучленные уравнения:

Пример 1. sin3x = sinx.

Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.

Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.

sinx = 0 или cos2x = 0.

x1 = pn, nОZ, x2 = p/4 + pn/2, nОZ.

Ответ: x1 = pn, nОZ, x2 = p/4 + pn/2, nОZ.

3. Разложение на множители:

Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx

Решение. cosx № 0; x № p/2 + pn, nОZ.

sinx + sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 = pn, nОZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1;

Ц2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ц2; p/4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/Ц2 + pn, nОZ;

x2 = p/4 - (-1) n+1 · p/4 - pn, nОZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nОZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nОZ; x2 = p/4 + (-I)n · p/4 + pn, nОZ.

4. Способ подстановки

Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.

Решение. 2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0.

Пусть z = cosx, |z| Ј 1. 2z2 + 32z - 2=0.

Д = 9+16 = 25; ЦД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -

-не удовлетво­ряют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:

cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nОZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nОZ.

5. Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т.д.

В этих уравнениях sinx № 0, cosx № 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx.

Пример 1. Ц3sin2 2x - 2sin4x + Ц3cos22x = 0.

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение Ц3sin22x - 4sin2xcos2x + Ц3cos22x = 0.

Разделим на cos22x. Уравнение примет вид Ц3 tg22x – 4tg2x + Ц3 = 0.

Пусть z = tg2x, тогда Ц3z2 - 4z + Ц3 = 0; Д = 4; ЦД = 2.

z1 = (4 +2)/2Ц3 = 6/2Ц3 = Ц3; z2 = (4 – 2)/2Ц3 = 1/Ц3

tg2x = Ц3 или tg2x = 1/Ц3

2x = p/3 + pn, nОZ; 2x = p/6 + pn, nОZ;

x1 = p/6 + pn/2, nОZ ; x2 = p/12 + pn/2, nОz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nОZ ; x2 = p/12 + pn/2, nОz.

6. Уравнение видаasinx + bcosx = с

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nОZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nОZ.

7. Дробно-рациональные тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений.

Пример 1. 1/(Ц3-tgx) – 1/(Ц3 +tgx) = sin2x

Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения

tgx № ± Ц3, х № ± p/8 + pn, nОZ и х № ± p/2 + pn, nОZ.

Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла.

(Ц3 + tgx - Ц3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)

x1 = pn, nОZ

Второе уравнение имеет вид

2tg2x - 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nОZ.

Ответ: x1 = pn, nОZ; х2 = ± p/4 + pn, nОZ.

8. Иррациональные тригонометрические уравнения

Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

Пример 1. Ц( cos2x + Ѕ) + Ц( sin2x + Ѕ) = 2.

Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.

cos2x + Ѕ + 2 Ц(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) + sin2x + Ѕ = 4

Ц(( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ)) = 1; ( cos2x + Ѕ) ( sin2x + Ѕ) = 1

( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ - Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 - Ѕ cos2x) = 1;

1 – ј cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nОz

Ответ: x = p/4 + pn/2, nОz.

9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений.

Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.

Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + pn, nОZ; х2 + 5х - (6+pn) = 0, nОz;

Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nОZ; х1,2 = (-5 ± Ц(49 + 4pn))/2, nОz

Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n і -49/4p; n і -3.

Литераура:

“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г.

(стр. 116 - 125)

“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,

А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,

С . И . Шварцбурд, 1993 г.

(стр. 62 - 78)