Национальный научно-исследовательский университет
-ИрГТУ-
Кафедра прикладной геологии
Реферат по высшей математике
На тему: «Основные элементарные функции,
их свойства и графики»
Выполнил:
.
Проверил:
преподаватель
Коваленко Е.В.
Иркутск 2010
Содержание:
Показательные функции: 3
Степенные функции: 4
Логарифмические функции: 8
Тригонометрические функции: 9
12
Обратные тригонометрические функции: 12
Список использованной литературы: 16
Список рисунков: 16
Показательные функции:
Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.
Сформулируем основные свойства показательной функции :
Область определения — множество (R) всех действительных чисел.
Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.
При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.
Является функцией общего вида.
Рис. 1 График функции 
, на интервале x [-3;3]
Рис. 2 График функции 
, на интервале x [-3;3]
Степенные функции:
Функция вида у(х)=хn, где n – число R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=хІ (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=хі (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени Ѕ) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).
Степенная функция у=хІ
D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;
При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).
Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).
В зависимости от числового множителя, стоящего перед хІ, функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.
Рис. 3 График функции 
, на интервале x [-3;3]
Степенная функция у=хі
График функции у=хі называется кубической параболой. Степенная функция у=хі обладает следующими свойствами:
D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;
При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
Функция возрастает на всей области определения.
Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
Рис. 4 График функции 
, на интервале x [-3;3]
В зависимости от числового множителя, стоящего перед хі, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.
Степенная функция с целым отрицательным показателем:
Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:
D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;
E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;
Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.
Рис. 5 График функции 
, на интервале x [-3;3]
Степенная функция с дробным показателем
Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)
D(x) R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;
E(y) (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;
Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.
Функция проходит через начало координат в любом случае.
Рис. 6 График функции 
, на интервале x [0;3]
Рис. 7 График функции 
, на интервале x [0;5]
Рис. 8 График функции 
, на интервале x [-3;3]
Логарифмические функции:
Логарифмическая функция у = loga x обладает следующими свойствами :
Область определения D(x) (0; + ∞).
Область значений E(y) ( - ∞; + ∞)
Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).
Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.
График функции у = loga x может быть получен из графика функции у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.
Рис. 9 График функции 
; на интервале x [0;5]
Рис. 10 График функции 
; на интервале x [0;5]
Тригонометрические функции:
Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.
Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.
Функция y = sin (х).
Область определения D(x) R.
Область значений E(y) [ - 1; 1].
Функция периодическая; основной период равен 2π.
Функция нечетная .
Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Z.
График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.
Рис. 11 График функции 
; на интервале x [-2 
;2 
]
Функция y = cos(х).
Область определения D(x) R.
Область значений E(y) [ - 1; 1].
Функция периодическая с основным периодом 2π.
Функция четная.
Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.
График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12.
Рис. 12 График функции ; на интервале x [-2 ;2 ]
Функция y = tg х.
Область определения: D(x) π/2 + πk, kZ.
Область значений E(y) (- ∞; + ∞)
π- основной период функции.
Функция нечетная.
Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).
График функции у = tg х изображен на рисунке 13.
Рис. 13 График функции 
; на интервале x (- 
; 
)
Функция y = ctg х.
Область определения функции: D(x) xπ/2 +πk, kZ.
Область значений функции E(y) (- ∞; + ∞).
Функция периодическая с основным периодом π.
Функция нечетная.
Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).
График функции у = ctg х изображен на рисунке 14.
Рис. 14 График функции 
; на интервале x (-��;)
Обратные тригонометрические функции:
Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями.
Функция y = arcsin (x):
Свойства функции y = arcsin (x):
1. Область определения D(x)[−1;1]
2. Область значения E(y) [−π/2;π/2]
3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D
5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x
6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х)
График функции y = arcsin (x) изображен на рисунке 15.
Рис. 15 График функции 
; на интервале x [- 
;]
Функция y = arccos (x):
Свойства функции y = arccos (x):
1. Область определения D(x)[−1;1]
2. Область значения E(y) [0;π]
3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D
5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x
6. y=arccos(x) функция общего вида
График функции y = arccos (x) изображен на рисунке 16.
Рис. 16 График функции 
; на интервале x [- ;]
Функция y = arctg (x):
Свойства функции y = arctg (x):
Область определения D(x)(- ∞;+∞)
Область значения E(y) [−π/2;π/2]
y=arctg (x)- непрерывная строговозрастающая функция на D
График y = arctg(x) симметричен графику y = tg(x) относительно линии y=x
y=arctg (x) нечетная функция.
График функции y = arctg (x) изображен на рисунке 17.
Рис. 17 График функции 
; на интервале x [- 5; 5]
Функция y = arcсtg (x):
Свойства функции y = arcсtg (x):
Область определения D(x)(- ∞;+∞)
Область значения E(y) [0 ; π]
y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D
График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x
y=arcctg (x) функция общего вида.
График функции y = arcctg (x) изображен на рисунке 18.
Рис. 18 График функции 
.
Список использованной литературы:
Алгебра и начала анализа, учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений ; С.М. Никольский; М. Просвещение, 2001
Конспект лекции по высшей математике.
Некоторые изображения взяты из сети Интернет, графики функции построены в программе Microsoft Office Exel.
Список рисунков:
3
Рис. 1 График функции , на интервале x [-3;3] 3
Рис. 2 График функции , на интервале x [-3;3] 4
Рис. 3 График функции , на интервале x [-3;3] 5
Рис. 4 График функции , на интервале x [-3;3] 5
Рис. 5 График функции , на интервале x [-3;3] 6
Рис. 6 График функции , на интервале x [0;3] 7
Рис. 7 График функции , на интервале x [0;5] 7
Рис. 8 График функции , на интервале x [-3;3] 8
Рис. 9 График функции ; на интервале x [0;5] 9
Рис. 10 График функции ; на интервале x [0;5] 9
Рис. 11 График функции ; на интервале x [-2;2] 10
Рис. 12 График функции ; на интервале x [-2;2] 11
Рис. 13 График функции ; на интервале x (- ;) 11
Рис. 14 График функции ; на интервале x (-��;) 12
Рис. 15 График функции ; на интервале x [- ;] 13
Рис. 16 График функции ; на интервале x [- ;] 14
Рис. 17 График функции ; на интервале x [- 5; 5] 15
Рис. 18 График функции . 15
16