(а в)2 = а2 2ав + в2
(а в)3 = а3 3а2в + 3ав2 в3
а2 в2 = (а + в) (а в)
а3 + в3 = (а + в) (а2 ав + в2)
а3 в3 = (а в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени.
ам ан = ам + н
ам ан = ам н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а в)м = ам вм
а м = 1 ам
ам н = н ам
Корни.
нав =на нв
на мв = н мам вн
на в = на нв
(нам)х = нам х
нам = ам/н
мна = мна
(на)м = нам
Арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, а n-1, аn
а n-1 - аn = d
d – разность прогрессии
а2 = а1+ d
а3 = а2 + d = а1 + 2d
аn = а1 + d(n-1)
Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членов арифметической
прогрессии.
d – разность прогрессии.
d > 0 – прогрессия возрастающая
d < 0 – прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, а n-1, аn
а n+1 / аn = q
а2 = а1 q
q - знаменатель прогрессии.
а3 = а2 q = а1 q2
аn = а1 q n-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = аn q - а1 = а1 (qn -1 q – 1)
q – 1
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а1 (1 - qn)
1 - q
Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а1
1 - q
Вектора.
а = М1М2 =х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1
Длина вектораа =(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2
Умножение вектора на число а = d
Скалярное произведение векторова в = а в cos
cos = х1х2 + у1у2 + z1z2
х12 + у12 +z12 х22 +у22 + z22
а2 = а 2
а в = х1х2 + у1у2 + z1z2
Параллельность векторова в, то х1 = у1 = z1
х2 у2 z2
Перпендикулярность векторов
а в, то х1х2 + у1у2 + z1z2
Производная.
(c u) = с u
u = u v – u v
v v2
(c) = 0
(xn ) = n xn-1
(ax) = ax ln a
(ех ) = ех
(sin x) = cos x
(cos x) = - sin x
(tg x) = 1
cos2 x
(ctg x) = - 1
sin2 x
(ln x) = 1
х
(1 / х) = - 1
х2
(х) = 1
2 х
(х) = 1
Логарифмы.
logав = с
logа 1 = 0
logа а = 1
logа (m n) = logа m + logа n
logа m = logа m - logа n
n
logа m n = n logа m
logа n m = 1 logа m
n
logав = logсв
logс а
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2 x = 1
sin2 x
1 + tg2 x = 1
cos2 x
tg x ctg x = 1
Формулы сложения и вычитанияsin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos sin sin
tg ( ) = (tg tg)
(1 + tg tg)
ctg ( ) = ctg ctg 1
ctg ctg
sin + sin = 2 sin ( + ) cos ( )
2
sin sin = 2 cos ( + ) sin ( )
2
cos + cos = 2 cos ( + ) cos ( )
2
cos cos = 2 sin ( + ) sin ( )
2
tg tg = sin ( )
cos cos
ctg ctg = sin ( )
sin sin
sin2 sin2 = cos2 cos2 =
sin ( + ) sin ( )
cos2 sin2 = cos2 sin2 =
cos ( + ) cos ( )
Связь между тригонометрическими функциями
sin = 1 cos2
sin = tg
1 + tg2
sin = 1
1 + ctg2
cos = 1 sin2
cos = 1
1 + tg2
cos = ctg
1 + ctg2
tg = sin
1 sin2
tg = 1 cos2
cos
tg = 1
ctg
ctg = 1 sin2
sin
ctg = cos
1 cos2
ctg = 1
tg
Формулы преобразования произведения
sin sin = cos ( ) cos ( + )
2
cos cos = cos ( ) + cos ( + )
2
sin cos = sin ( + ) + sin ( )
2
tg tg = tg + tg
ctg + ctg
ctg tg = ctg + tg
tg + ctg
ctg ctg = ctg + ctg
tg + tg
Формулы двойных угловsin2 = 2 sin cos
sin = 2 sin () cos ()
cos2 = cos2 sin2 =
= 1 2sin2 =
= 2cos2 1
tg2 = 2 tg
1 tg2
= 2
ctg tg
tg = 2 tg (/2)
1 tg2 (/2)
ctg2 = ctg2 1
2 ctg
= ctg tg
2
ctg = ctg2 (/2) 1
2 ctg (/2)
sin x = a
x = (-1)n arksin a + n
cos x = a
x = arkcos a + 2n
tg x = a
x = arktg a + n
ctg x = a
x = arkctg a + n
Формулы приведенияsin ( /2 ) = + cos
sin ( /2 + ) = + cos
sin ( ) = + sin
sin ( + ) = sin
sin (3/2 ) = cos
sin (3 /2 + ) = cos
sin (2 ) = sin
sin (2 + ) = + sin
----------------
cos (/2 ) = + sin
cos (/2 + ) = sin
cos ( ) = cos
cos ( + ) = cos
cos (3/2 ) = sin
cos (3/2 + ) = + sin
cos (2 ) = + cos
cos (2 + ) = + cos
-----------------
tg (/2 ) = + ctg
tg (/2 + ) = ctg
tg ( ) = tg
tg ( + ) = + tg
tg (3/2 ) = + ctg
tg (3/2 + ) = ctg
tg (2 ) = tg
tg (2 + ) = + tg
-------------
ctg (/2 ) = + tg
ctg (/2 + ) = tg
ctg ( ) = ctg
ctg ( + ) = + ctg
ctg (3/2 ) = + tg
ctg (/2 + ) = tg
ctg (2 ) = ctg
ctg (2 + ) = + ctg
sin ( ) = sin
cos ( ) = cos
tg ( ) = tg
В прямоугольном треугольнике
a2 + b2 = c2
a = c sin
a = b tg
b = c cos
теорема синусов:
a = b = c
sin sin sin
теорема косинусов:
a2 = b2 + c2 2 bc cos
S = Ѕ ab
Площади фигур ПрямоугольникS = a b = Ѕ d1 d2 sin,
d1 и d2 - диагонали
- угол пересечения диагоналей
ПараллелограммS = a h = a b sin
S = Ѕ d1 d2 sin
ТрапецияS = a + b h = Ѕ d1 d2 sin
2
Круг
S = l r = r2
2
ТРЕУГОЛЬНИК
S = Ѕ ah = Ѕ ab sin
Формула Герона:
S = p (p a) (p b) (p c)
p = a +b + c
2
Площадь треугольника описанного окружностью:
S = a b c
4r
Площадь треугольника с вписанной окружностью:
S = Ѕ r P
где Р – периметр
радиус описанной окружности:
R = a b c
4S
радиус вписанной окружности:
r = 2S
a + b + c
длина окружности:
l = 2r
Квадрат
S = a2 = d2/2
Ромб
S = a2 sin = ah = Ѕ dD
где d - малая диагональ
D - большая диагональ
Объемы тел:
ПараллелепипедV = Sосн h
КубV = abc = a3
Призма
V = Sосн h = Sсеч l
l - грань призмы
ПирамидаV = 1/3 Sосн h
ЦилиндрV = Sосн h = r2 h = 1/4 d2 h
r - радиус основания
d - диаметр основания
КонусV = 1/3 Sосн h = 1/3 r2 h
Шар
V = 4/3 r3
Площади поверхностейПризма
Sп = Sбок + 2Sосн
Sбок = ph = Sсеч l
p = a + b +c
Куб
Sп = 6a2
Пирамида четырехугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Ѕ Pосн h
h – высота боковой грани
Пирамида треугольная
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = Sосн cos
- угол наклона грани
ЦилиндрSп = Sбок + Sосн
Sбок = 2 rh
Sосн = 2r (h + r)
Конус
Sп = Sбок + Sосн
Sбок = rl
Sосн = r (l + r)
ПараллелепипедSп = Sбок + 2Sосн
Sбок = Pосн l
ШарS = 4 r2
Значения углов 0 /6 /4 /3 /2
sin 0 Ѕ 2/2 3/2 1 0
cos 1 3/2 2/2 Ѕ 0 -1
tg 0 1/3 1 3 - 0
ctg - 3 1 1/3 0 -
