Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.
Постановка задачи
Дано уравнение кривой второго порядка:
. (1)
Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром 
:
I. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
II. Привести уравнение кривой при 
к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.
V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.
Получение канонической системы координат. Построение графиков
I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра
В прямоугольной декартовой системе координат 
кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:
,
если хотя бы один из коэффициентов 
, 
, 
отличен от нуля.
Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:
Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:
;
;
.
Для данной кривой они равны:
1). Если 
, то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но 
. Таким образом, если 
, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом 
, то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.
2). Если
, то данная кривая — центральная. Следовательно, при 
данная кривая — центральная.
Если 
, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если 
, то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом 
. В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если
, то уравнение (1) определяет эллипс.
Если 
, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если 
, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.
а) Если и 
, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
Следовательно, если 
, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.
б) Если и 
, то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если 
, то уравнение (1) определяет гиперболу.
Используя полученные результаты, построим таблицу:
| Значение параметра β | | | | | |
| Тип кривой | Эллипс | Парабола | Гипербола | Две пересекающиеся прямые | Гипербола |
II. Переход от общего уравнения кривой к каноническому
Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:
(2.1)
Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку 
. При этом координаты 
произвольной точки 
плоскости в системе координат и координаты 
в новой системе координат 
связаны соотношениями
Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:
(2.2)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
(2.3)
В уравнении (2.3) коэффициенты при 
приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно 
(2.4)
Решив систему (2.4), получим:
Центр кривой имеет координаты 
, 
. Поставим найденные значения 
в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид
,
. (2.5)
Так как 
, то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол 
. При повороте осей координат на угол координаты 
произвольной точки плоскости в системе координат и координаты 
в новой системе координат 
связаны соотношениями
(2.6)
Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим
Раскроем скобки и приведем подобные члены
Приводя подобные члены, получим уравнение
(2.7)
Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении 
равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :
. (2.8)
Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на 
. Мы можем это сделать, так как 
, потому что если 
(то есть 
), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и 
, что противоречит основному тригонометрическому тождеству 
. Получим уравнение
. (2.9)
Решая уравнение (2.9), получим
, 
.
Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: 
, 
. Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:
Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть
, (2.10)
Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:
и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:
И, соответственно, уравнение
(2.11)
— это каноническое уравнение исходной гиперболы.
III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой
Пусть 
и 
— фокусы, 
— эксцентриситет, 
— центр, а 
— директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: 
, 
, где 
и 
. Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что 
, 
, и значит 
. Отсюда получаем 
, 
.
Эксцентриситет гиперболы (2.11)
.
Директрисы гиперболы задаются уравнениями: 
и 
. Подставляя найденные значения 
и , получаем:
Прямые 
и 
в канонической системе координат 
называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:
IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат
Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .
Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — 
, то есть оси 
и 
проходят через точку 
.
В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси 
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 
с заданным угловым коэффициентом 
, имеет вид 
. Следовательно, ось в системе координат задана уравнением 
, или 
, где в роли точки
выступает центр гиперболы точка 
.
Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент 
. Следовательно, ось в системе координат задана уравнением 
, или 
.
V. Построение графиков гиперболы
Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Вывод
Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.
Список используемой литературы
1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.
4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука, 1993.