Пономарева Т.Т., Комаров К В., Емельянов П. Ю.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК.
Известно, что решение многих задач из курса физики напрямую зависит от владения аппаратом математического анализа. Так, например, и уравнения колебания струны, которые рассматриваются как в математическом анализе, так и в курсе физики, но с разными подходами к их решению.
Существует несколько способов решения этих уравнений. При изучении уравнений колебания струны на курсе механики, студенты пользуются идеализаций, упрощений и вторым законом Ньютона. В курсе математического анализа же решение уравнений колебания струны легко решить методом характеристик или методом Даламбера.
Итак, для начала, нам нужно определить, что такое струна? Струна – это тонкая, гибкая, сильно натянутая нить с равномерно распределённой по всей длине плотностью.
Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения . Очевидно, что если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться (см. рис. 1).
u
рис. 1
Для упрощения задачи, будем ограничиваться рассмотрением малых, поперечных и плоских колебаний струны, то есть только тех колебаний, при которых отклонения точек струны от положения покоя малы. В любой момент времени все точки струны находятся в одной и той же плоскости и каждая точка колеблется, оставаясь на одном и том же перпендикуляре прямой, соответствующей состоянию покоя струны. Примем эту прямую за ось , и обозначим через – отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени . Итак, при каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени .
Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
,
где масса единицы длины, или линейная скорость струны, – сила действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, то есть , то получим уравнение свободных колебаний струны:
Для того чтобы определить полное движение струны, мы зададим в начальный момент времени форму и скорость струны, то есть положение её точек и их скорость в виде функций абсцисс x этих точек. Тогда начальными условиями задачи будут:
, .
Приведем уравнение
к каноническому виду и получим уравнение вида:
,
где
Запишем общее решение последнего уравнения:
,
где , и – произвольные функции.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний запишется в виде:
Подберем функции и таким образом, чтобы функция удовлетворяла приведенным начальным условиям, и тогда получим решение исходного уравнения:
(1)
Формулу (1) называют формулой Даламбера.
Пример 1. Найти формулу струны, определяемой уравнением в момент времени если .
Решение: Подставляя исходные данные в формулу (1) получим:
Воспользовавшись формулой суммы тригонометрических функций и одним из основных свойств интеграла:
,
т.е.
;
Если то
Ответ:
Пример 2. Найти решение уравнения , если , .
Решение: Из условий примера видно, что .
Согласно формуле (1), получим:
Ответ:
Пример 3. Методом Даламбера найти уравнение формы бесконечной струны, определяемой волновым уравнением , если в начальный момент форма струны с абсциссой x определяется соответственно заданными функциями , ,,.
Решение: Искомая функция описывается формулой Даламбера (1)
где , .
Тогда
.
Ответ: .
Итак, после решения уравнений колебания струны методом характеристик и разбора предложенных примеров, мы видим, что эти уравнения не так сложны, как кажется на первый взгляд. Разобрав метод характеристик, каждый студент способен сам решить рассмотренные уравнения.
Также можно сказать, что благодаря знаниям основных разделов математического анализа, некоторые физические явления, уравнения, формулы из курса физики становятся понятнее и доступнее для каждого студента физико-математического факультета. Таким образом, мы пытаемся показать актуальность межпредметных связей при изучении отдельных дисциплин студентами физико-математических факультетов различных вузов.
Библиографический список:
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Решение типичных и трудных задач. СПб. : Издательство «Лань», 2007. - 608 с.
2. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики: Учебник. - 2-е изд., перераб. и дополненное. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1982 - 336 с.
3. С.Л. Соболев Уравнения математической физики: Учебник. - 4-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1966 - 443 с.
Другие работы по теме:
Экономические циклы, безработица
Сущность и понятие экономического цикла, его основные фазы и их индикаторы, причины цикличности. Анализ колебаний объемов производства и уровня занятости в различных отраслях народного хозяйства в зависимости от факторов, вызвавших их спад или подъем.
Изучение колебаний цилиндрических конструкций систем управления летательных аппаратов
Введение Целью курсовой работы является изучение колебательных процессов на примере колебаний струны на разработанной установке. На установке можно изучать поперечные колебания струны, измерение собственных частот колебаний струны с закрепленными концами, снятие резонансной кривой на частоте основного тона, определение скорости распространения поперечных колебаний, определения затухания струны и устойчивости колебания.
Колебания
называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени. Колебания бывают: Вынужденные Гармони ёеские
Все формулы школьной физики
Механика кинематика движение по окружности закон всемирного тяготения закон Гука сила трения сила и импульс закон сохранения импульса закон сохранения энергии
Некоторые уравнения математической физики в частных производных
Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
Методические указания
Целью данной работы является изучение принципа действия струнных преобразователей угла наклона и получение навыков математической обработки результатов измерений
Как снимается звук?
Одна из важнейших составляющих звучания гитары – характеристика установленных на ней звукоснимателей. То, как именно будет звучать струна, зависит от общей конструкции инструмента, качества его сборки, материала корпуса и грифа.
Сила трения
С трением мы сталкиваемся на каждом шагу. Вернее было бы сказать, что без трения мы и шагу ступить не можем. Но несмотря на ту большую роль, которую играет трение в нашей жизни, до сих пор не создана достаточно полная картина возникновения трения.
Лютня маркиза де Садова
Так чем же "Гранд-садора" отличается от обыкновенной гитары? Первое, что бросается в глаза, – два грифа и куча струн (некоторые из них сдвоены). Однако два грифа сегодня не такая уж редкость.
Что такое гусли
Гусли представляют собой плоский ящик-резонатор с натянутыми над ним струнами. Под разными названиями — каннель, канклес, кок-ле, кантеле, кюсле, кёсле — этот многострунный щипковый инструмент известен у народов Прибалтики и Поволжья.
Про фортепиано
Фортепиано - это собирательное название класса клавишно-струнных музыкальных инструментов - роялей и пианино.
Классическая гитара
Классификация. Характерные особенности. Составные части классической гитары.
Мензура
Одна из этих точек располагается на бридже, другая на порожке (nut). Именно исходя из мензуры инструмента, строгими математическими формулами рассчитываются места установки ладов.
Почему гитара с тремоло расстраивается?
Выполнив их, вы добьетесь того, что гитара перестанет расстраиваться по вине тремоло. Не забывайте о том, что в самом тремоло или в его установке могут быть дефекты, следовательно, внимательно следуйте изложенным ниже инструкциям по проверке тремоло.
Аль-уд (ла-уд)
Уд (аль-уд - по-арабски буквально дерево, отсюда происходит испанская версия названия инструмента - ла-уд) - струнный щипковый инструмент.
Шпора по математике 4 семестр
БИЛЕТ№15 Основы комбинаторики. Комбинаторика это раздел математики в котором изучается вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечного числа различных элементов.
Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
Дифференциальные уравнения гиперболического типа
Метод распространяющихся волн. Вывод уравнения колебаний струны. Формула Даламбера. Вывод формулы Даламбера. Физическая интерпретация. Уравнение поперечных колебаний стержней. Задача о собственных значениях. Частоты собственных колебаний камертона.
Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определённой повторяемостью во времени.
Ряды и интеграл Фурье
Определение и свойства рядов и интеграла Фурье. Методы разложения периодических функций в ряд Фурье. Примеры решения задач.
Физика и музыка
Две эти области человеческой деятельности действительно связаны между собой. Причем достаточно сильно. Жаль, что зачастую взаимосвязь между ними люди или не чувствуют, или вообще не знают про нее, или... просто еще не задумывались об этом.
Выявление и изучение сезонных колебаний
Выявление и изучение сезонных колебаний Четверг, Март 27th, 2008 При анализе многих рядов динамики можно заметить определённую повторяемость (цикличность, закономерность в колебаниях), изменениях их уровней. Например, в большинстве отраслей экономики это проявляется в виде внутритрудовых чередований, подъёмов и спадов выпуска продукции, неодинаковым потреблением сырья и энергии, колебания уровней себестоимости, прибыли и других показателей.
Определение спектра амплитудно-модулированного колебания
Аналитическая запись колебания UW(t). Определение коэффициентов аn. Определение коэффициентов bn. Определение постоянной составляющей А0. Определение амплитуд An и начальных фаз Yn. Аналитическая запись АМ колебания. Построение графиков АЧХ и ФЧХ АМ.
Градационная коррекция
изменение градационных кривых (градационных характеристик) воспроизводимого оригинала. Градационная коррекция может быть осуществлена ручной ретушью, фотомеханическим способом, средствами вычислительной техники.