Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Кафедра: Функциональный анализ и его приложения
Самостоятельная работа по математике
Владимир 2009
Задача 1. Коллинеарность векторов
а = { 2; -1; 6 } в = { -1; 3; 8 }
c1=5a – 2b = {5*2 – 2*(-1); 5*(-1) – 2*3; 5*6-2*8 } = {12; -11; 14 }
с2=2а – 5в = {2*2 – 5*(-1); 2*(-1) – 5*3; 2*6-5*8 } = {9; -17; -28 }
≠ ≠-
12/9 ≠ 11/17 ≠ -14/28
Ответ: не коллинеарны.
Задача 2. Косинус угла между векторами АВ и АС
А (3; 3; -1 ) B (5; 1; -2 ) C (4; 1; -3 )
= {2; -2; -1 } || = =
= {1; -2; -2 } || = =
cos (€) = =
Задача 3. Площадь параллелограмма построенного на векторах а и в.
а=5p-q b=p+q |p|=5 |q|=3 (p€q) = 5
S=|5p - q|*|p + q|=|5p*p + 5p*q - q*p - q*q|=|5p*q + p*q| =6*|p*q|=6|p|*|q|*sin(p€q)=
=6*5*3*sin5
sin5= 90*=45
Задача 4. Компланарность векторов а, в, с.
а = { 1; -1; 4 } в = { 1; 0; 3 } с = { 1; -3; 8 }
1*(0*8 - 3*(-3)) - (-1)*(1*8 - 1*3)+4(1*(-3) - 1*0)=9 + 5 - 12=2
2≠0 - не компланарны.
Задача 5. Объем тетраэдра с вершинами в точках А1 А2 А3 А4 и его высоту, опущенную из вершины А4на грань А1 А2 А3.
А1 = { 0; -3; 1 } А2 = { -4; 1; 2 } А3 = { 2; -1; 5 } А4 = { 3; 1; -4 }
= { -4; 4; 1 }
= { 2; 2; 4 }
= { 3; 4; -5 }
= * |(-4)*(2*(-5) - 4*4) - 4*(2*(-5) - 3*4) + 1*(2*4 - 3*2)=
=|40 + 64 + 40 + 48 + 8 - 6|=194=32,33
= |i*(4*4 - 1*2) - j*((-4)*4 - 2*1)+k*((-4)*2 - 2*4)= |14i + 18j - 16k|=
=√142+182-162=√264=*16,25=8,125
h==11,94
Задача 6. Расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через три точки
.
М1 (1; 2; 0 ) М2 (3; 0; -3 ) М3 (5; 2; 6 ) М0 (-13; -8; 16 )
(х-1) * ((-2)*6 - 0*(-3)) - (у-2)*(2*6 - 4*(-3)) + (z - 0)*(2*0 - 4*(-2))=0
(-12)*(х - 1) - 24*(у - 2) + 8*(z - 0) = 0
(-3)*(х - 1) - 6*(у - 2) + 2*(z - 0)=0
-3х - 6у + 2Z + 15 = 0
d==
Задача 7. Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору .
А (-3; -1; 7 ) B (0; 2; -6 ) C (2; 3; -5 )
={2; 1; 1}
2*(х + 3) + 1*(у + 1) + 1*(z - 7)=0
2х + у + z = 0
Задача 8. Угол между плоскостями
2у + z - 9=0
х - у + 2z - 1=0
п1={0; 2; 1 }
п2={1; -1; 2 }
cosφ===90
Задача 9. Координаты точки А, равноудаленной от точек В и С.
А (х; 0; 0 ) B (4; 5; -2 ) C (2; 3; 4 )
АВ===
АС===
=
=х2 - 4х+29
х2 - х2 - 8х + 4х=29 – 45
-4х=-16
х=4
А (4; 0; 0 )
Задача 10. Канонические уравнения прямой
х - 3у + z + 2 = 0
х + 3у + 2z + 14 = 0
= i*((-3)*2 - 3*1)-j*(1*2 - 1*1)+k*(1*3 - 1*(-3) = -9i -j + 6k=
= { -9; -1; 6}
(-8; 0; 0 ) = =
Задача 11. Точка пересечения прямой и плоскости
= =
3х – 2у + 5z – 3 = 0
= = = t
3*(1 + 6t) - 2*(3 + t) + 5*((-5) + 3t) – 3 = 0
3 + 18t – 6 - 2t – 25 + 15t – 3 = 0
31t – 31 = 0
31t = 31
t = 1
х = 1 + 6*1 у = 3 + 1 z = (-5) + 3*1
х = 7 у = 4 z = -2
( 7; 4; -2 )
Другие работы по теме:
Расчет статически неопределимой рамы методом сил
Составление эквивалентной схемы рамы. Порядок составления канонического уравнения. Получение эпюры изгибающих моментов. Производство расчета поперечных сил действующих в раме и расчет продольных сил действующих в раме. Получение эпюры продольных сил.
Расчет статически неопределимых рам методом перемещений
Определяем число неизвестных метода перемещений. Выбираем основную систему метода перемещений. Строим эпюры изгибающих моментов в основной системе и от нагрузки. Определяем реакции во вновь введённых связях. Определяем концевые моменты.
Аффинные преобразования на плоскости
ПГУ им. Т.Г.Шевченко Курсовая работа. Тема: Аффинные преобразования на плоскости. Выполнила студентка 110 гр. физико-математического ф-та Пельтек Е.С.
Математические уравнения и функции
Варивант №2 адание 1 Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти: Длину стороны АВ; Внутренний угол А с точностью до градуса; Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
Теория вектора
Содержание: 1. Что такое вектор? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами.
Полиномы
--------------------------------------------------------------------------¬ ¦ Корень n-й степени и его свойства. ¦ ¦Пример 1. ¦ ¦ Решим неравенство х6>20 ¦
Векторная алгебра
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Векторная алгебра 3
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.
Системы линейных алгебраических уравнений
Высшая математика Контрольная работа №1 Вариант 3 Задание №1 Дана система линейных алгебраических уравнений: Требуется: Записать матрицу коэффициентов (А) и свободных членов (
Системы линейных алгебраических уравнений
Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
Площадь треугольника
Методика нахождения уравнения прямой исследуемого треугольника и параллельной ей стороне с использованием углового коэффициента. Определение уравнения высоты этого треугольника. Порядок и составление алгоритма вычисления площади данного треугольника.
Метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений, их характеристика и отличительные черты, особенности и сферы применения. Структура метода ортогонализации и метода сопряженных градиентов, их разновидности и условия, этапы практической реализации.
Математика
Многочленом (полиномом) от матрицы А наз. Выр-е вида: р(А)=а А +а А +… а АІ+а А+а А Пусть дан многочлен р(Х), если р(А)=0, т.е. р(А) – нулевая, то М. А наз. корнем многочдена р(Х)
Векторы
Упорядоченную совокупность ( x1, x2, ... , xn ) n вещественных чисел называют n-мерным вектором.
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Вектор в декартовой системе координат как упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Линейные операции с векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Свойства скалярного произведения. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение параболы.
Некоторые понятия высшей матаматики
Понятие матрицы, эллипса, гиперболы и параболы. Системы уравнений с матрицами. Проекция вектора на ось и действия с векторами. Плоскость и прямые линии в пространстве, их взаимное расположение. Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
РЕФЕРАТ "Собственные вектора и собственные значения линейного оператора" Понятие собственные векторы и собственные значения Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1.
Линейные функции
Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
Метод комплексных чисел в планиметрии
Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность. Коллинеарность векторов. Коллинеарность трёх точек. Перпендикулярность отрезков. Углы и площади. Угол между векторами. Площадь треугольника. Многоугольники. Прямая и окружность.
Метод комплексных чисел в планиметрии
Предисловие В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».
Квадратные формы
Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.