Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
1. Линейная функция. Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом, а число -- свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси .
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2. Квадратичная функция. Это функция вида ().
Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .
Рис.1.9.Парабола ()
В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке ()
3. Степенная функция. Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:
а). Если , то . Тогда , ; если число -- чётное, то и функция -- чётная (то есть при всех ); если число -- нечётное, то и функция -- нечётная (то есть при всех ).
Рис.1.11.График степенной функции при
б). Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если -- чётное число, то и -- чётная функция; если -- нечётное число, то и -- нечётная функция.
Рис.1.12.График степенной функции при
Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).
в). Если -- не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .
Рис.1.13.График степенной функции при
При , по определению, ; тогда .
Рис.1.14.График степенной функции при
4. Многочлен. Это функция вида , где , . Число называется степенью многочлена. При и многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При и ( ) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае ; при чётном значении степени характерный вид графика таков:
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при
или таков:
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при
а при нечётном значении степени -- таков:
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при
или таков:
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при
5. Показательная функция (экспонента). Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
Рис.1.19.График показательной функции при
При вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
Число называется основанием показательной функции.
6. Логарифмическая функция. Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
Рис.1.21.График логарифмической функции при
При график получается такой:
Рис.1.22.График логарифмической функции при
Число называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.
7. Функция синус: . Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:
Рис.1.23.График функции
8. Функция косинус: . Эта функция связана с синусом формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график таков:
Рис.1.24.График функции
9. Функция тангенс: (в англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
Рис.1.25.График функции
10. Функция котангенс: (в англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.
Рис.1.26.График функции
11. Абсолютная величина (модуль): , . Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки до точки 0:
Функция чётная, её график такой:
Рис.1.27.График функции
12. Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости расстояние от точки до точки определяется по формуле (по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию
Эта функция имеет область значений
График её ограничения на круг построен в примере 1.8.
Аналогично, расстояние в пространстве от точки до точки определяется по формуле и задаёт функцию
Эта функция имеет ту же область значений
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия. Функция , задаваемая формулой
где , -- фиксированные числа, а , называется арифметической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число -- разностью прогрессии. Функцию можно представить как ограничение на множество натуральных чисел линейной функции с угловым коэффициентом и свободным членом . Арифметическую прогрессию можно задать и другим, рекуррентным способом:
при
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием .
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия. Функция , задаваемая формулой
где , -- фиксированные числа, а , называется геометрической прогрессией. Число называется при этом первым членом прогрессии, а число -- знаменателем прогрессии. Функцию (при , ) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел показательной функции с основанием , умноженной на постоянный коэффициент , то есть функции
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задать и иначе, рекуррентным способом:
при
Другие работы по теме:
Электромагнитное взаимодействие
Электромагнитное взаимодействие Мир состоит из взаимодействующих частиц. Всё, что мы видим, построено из элементарных частиц, есть такие кирпичики мироздания. На макроскопическом уровне много взаимодействий, на самом деле, в основании всего лежит четыре типа фундаментальных взаимодействий.
Одаренность, талант, гениальность
Общие способности. Структура способностей. Совокупность способностей, которая обусловливает успешную деятельность человека в широких областях деятельности.
О тождественности уровней
Обобщение теории относительности возможно на основе предположения об общей физической природе материи и энергии; исключительность скорости света при этом преодолевается, парадоксальным образом сохраняясь. Для взгляда наблюдателя электромагнитное излучение отличается от элементарных частиц "точкой зрения" наблюдателя, его "местом" в мире.
, ивное сообщение
Несколько монографий, статьи в профильной периодике, электронные ресурсы, статистические материалы
1. 1 Применение биосурфактантов 8
Содержание Введение 7 1 Литературный обзор 8 1.1 Применение биосурфактантов 8 1.2 Классификация биосурфактантов 10 1.3 Физико-химические свойства биосурфактантов 13
Эти совсем не элементарные частицы
Квантовая хромодинамика (КХД), являющаяся собой попытку развить внутреннюю структуру элементарных частиц посредством математического формализма унитарной симметрии SU(3) теории групп, возникла на выводах теории относительности.
Таблица производных Дифференцирование сложных функций
Контрольная работа Дисциплина: Высшая математика Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций 1. Таблица производных Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации.
Преобразование графиков функции
Text Text Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Graphics
Исследование элементарных функций
Красноярский Государственный Педагогический Университет им. В.П. Астафьева. Реферат На тему: «Исследование элементарных функций». Выполнила: Квашенко Д.В.
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Решение матриц
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
Степенные ряды
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.
Основные правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.
Познанский июнь
Введение 1 Обзор 2 Последствия Список литературы Введение Познанский июнь или Познанские протесты 1956 года (польск. Poznański Czerwiec; также известно как Познанское восстание 1956 года) — первое из нескольких крупных выступлений против коммунистического правительства Польской народной республики.
Эндрюс авиабаза
План Введение 1 Обзор 2 На базе расположены 3 Самолёты Список литературы Введение Объединенная база Эндрюс Морской Авиации США[1] (анг. Joint Base Andrews Naval Air Facility) (IATA: ADW, ICAO: KADW, FAA LID: ADW) расположена в г. Кэмп-Спрингс, шт.Мэриленд — в 24 км на юго-восток от центра Вашингтона.
Коронационный сборник 14 мая 1896 года
Коронационный сборник 14 мая 1896 года (надпись на обложке: «Коронованы въ Москвѣ. 14 мая 1896 года») — библиографическое название вышедших в свет в 1899 году 2-х богато иллюстрированных томов, содержащих обзор коронаций всех российских монархов, детальное описание коронования императора Николая II и императрицы Александры Феодоровны, а также правительственные и иные документы в связи с коронационными торжествами.
Полани, Джон Чарлз
Джон Чарлз Полани (род. 23 января 1929 года, Берлин, Германия) — канадский химик венгерского происхождения, сын известного британского химика и философа Майкла Полани, лауреат Нобелевской премии по химии 1986 года «за внесенный вклад в развитие исследований динамики элементарных химических процессов», которую он разделил с Ли Яном и Дадли Хершбахом.
Хершбах, Дадли Роберт
Дадли Роберт Xершбах (англ. Dudley Rоbert Herschbach; род. 18 июня 1932 года, Сан-Хосе, США) — американский химик, лауреат Нобелевской премии по химии 1986 года «за внесенный вклад в развитие исследований динамики элементарных химических процессов», которую он разделил с Ли Яном и Джоном Полани.
Динамическое представление сигналов
Свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления. Динамическое представление посредством дельта-функции. Обобщенные функции.
Математическая программа "Производная"
Методика проектирования программы, основной функцией которой является нахождение формулы производной на основании введенной пользователем исходной формулы, представляющей собой суперпозицию элементарных функций. Структура и возможности программы.
Динамическое представление данных
Р Е Ф Е Р А Т на тему : Динамическое представление сигналов Выполнил: Зазимко С.А. Принял : Котоусов А.С. МОСКВА Динамическое представление сигналов. Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
Виды взаимодействия
Существует 4 не сводящихся друг к другу вида взаимодействий. Это гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. В физике причиной изменения движения тел является сила. Исследуя окружающий нас мир, мы можем заметить множество разнообразных сил: сила тяжести, сила сжатия пружины, сила, возникающая при столкновении тел, сила трения и другие.
Современная научная картина мира 2
СОВРЕМЕННАЯ НАУЧНАЯ КАРТИНА МИРА. Познание мира человеком есть диалектически сложный и противоречивый процесс, творческий по своему характеру. До 1873 г. господствовала механическая картина мира, которая сменилась релятивистской картиной мира. Первым шагом на пути построения новой научной физической картины мира явилась гипотеза М.Планка: атомы излучают свет дискретными порциями, квантами.