Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет)
Гуманитарный факультет
Индивидуальная работа по дисциплине Эконометрика
на тему
Дискретное преобразование Фурье |
Выполнил: студент
Рогов Ш.В., группа 4071 |
Руководитель: Коростелева Т.А. |
|
|
Санкт – Петербург
2010
Дискретное преобразование Фурье
Существует две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование (1)
и
(2),
которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование
(3),
которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X(f), так и x(t) дискретны и пределы суммирования конечны:
(4)
Дискретные значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x(iT) используется обозначение x(i). Точно также вместо X(bk) записано X(k). Величина b зависит от интервала дискретизации: b=(NT)Г1.
К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x(i)=0 для i<0 и i>(N-1), а также определяя дискретные значения частот следующим образом: fk=bk . Покажем это.
Укажем некоторые особенности дискретного преобразования Фурье, знание которых необходимо для правильного составления алгоритма вычисления на ЭВМ.
1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста Fn=(2T)Г1, поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия fk= Fn:
Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X(k). Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…,N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X(k) при k>N/2? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p :
Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: :
т.е. X(-p)=X(N-p) . Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.
2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i=pN+q; p, q, - целые числа, причем 0 ≤ q ≤ N-1. Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:
Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X(k). Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k>N, то полученные значения X(k) полностью повторят уже имеющиеся: X(k+N) = X(k) . Поэтому для вычисления функций x(i) и X(k) вне множества 0,…,(N-1) следует брать значения их индексов по модулю N.
Другие работы по теме:
Жан Батист Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье. (21.3.1768-16.5.1830) Французский математик,член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, где родился, работал там же преподавателем. В 1796-98 преподавал в Политехнической школе.
Обработка электрического сигнала с помощью фильтрации
Методы цифровой обработки сигналов и их применение в различных сферах жизни человека. Характеристика и назначение полосового фильтра, особенности его реализации в цифровой форме. Реализация модели фильтра в Simulink. Возможности тулбокса WAVELET.
Цифровая фильтрация
Исследование обработки детерминированных сигналов в линейных, аналоговых и цифровых цепях
Лабораторная работа
В предыдущих лабораторных работах была изложена теория многочленной аппроксимации. Попробуем теперь изложить подобную теорию для аппроксимации периодических функций рядами Фурье. Ряд Фурье на интервале -N
Интегральные преобразования
Операционное исчисление и некоторые его приложения Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Прямое дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Введение Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
Преобразование Фурье
Kalmiik-forever Глава I Преобразование Фурье. §1. Класс Шварца. Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя. Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
Анализ Фурье
Жозеф Фурье очень хотел описать в математических терминах, как тепло проходит сквозь твердые предметы. Возможно, его интерес к теплу вспыхнул, когда он находился в Северной Африке.
Вейвлет-анализ сигналов и его применение
Идея и возможности вейвлет-преобразования. Свойства вейвлетов: непрерывное прямое и обратное образование. Понятие и оценка преимуществ, сферы применения дискретного вейвлет-преобразования. Поиск изображений по образцу. Многомасштабное редактирование.
Частотно-временной анализ сигналов
Плоскость частота-время для анализа и сравнения частотно-временных локализационных свойств различных базисов. Понятие базисных функций. Прямое и обратное преобразование Фурье. Сущность дискретного вейвлет-преобразования и примеры функции вейвлет.
Ряды и интеграл Фурье
Определение и свойства рядов и интеграла Фурье. Методы разложения периодических функций в ряд Фурье. Примеры решения задач.
Преобразование Фурье
В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих.
Преобразование Лапласа
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Выделение огибающей АМ-сигнала
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Южно-Уральский государственный университет Кафедра «Радиотехнические системы»
Расчёт полупроводникового выпрямител
Задача № 13 «РАСЧЕТ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ» Для питания электронного термометра от однофазной сети частотой f= 50 Гц используется однополупериодный выпрямитель, преобразующий переменное напряжение (АС) - в постоянное (DС). Он состоит (рис. 13, а) из понижающего трансформатора Т; полупроводникового диода VD; Г -образного сглаживающего RС-фильтра.
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Расчет переходных процессов в дискретных системах управления
Соотношение между входным и выходным сигналом дискретной системы автоматического управления. Дискретное преобразование единичного воздействия, функция веса дискретной системы. Определение связи между переходной и функцией веса дискретной системы.
Бэлэчану, Эманоил
Эманоил (Манолаке) Бэлэча́ну (рум. Emanoil Bălăceanu, ? — 1 мая 1842) — румынский землевладелец и мыслитель, социалист-утопист (фурьерист).
Дискретные сигналы
Дискретизация непрерывных сигналов. Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов. Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.
Дискретное преобразование Фурье
Разработка функции вычисления дискретного преобразования Фурье от входного вектора. Исследование свойств симметрии ДПФ при мнимых, четных и нечетных входных сигналах. Применение обратного преобразования Фурье для генерации периодической функции косинуса.
Системы базисных функций
Характеристика сигнала и его представление в виде математического ряда. Условия ортогональности двух базисных функций. Ряд Фурье, его интегральное преобразование и практическое использование в цифровой технике для обработки дискретной информации.
Принципы построения систем автоматического управления
Теория автоматического управления как наука, предмет и методика ее изучения. Классификация систем автоматического управления по различным признакам, их математические модели. Дифференциальные уравнения систем автоматического управления, их решения.
Фурье (Fourier), Жан Батист Жозеф
Он стал представлять математические функции тригонометрическими рядами. Рядами, состоящими из гармонических составляющих. Рядами Фурье – так назовут их потом. А сперва станут упрекать за недостаточную строгость выводов.