Решения с подробным описанием Векторы

Çàäà÷à 1. Äàíû âåêòîðû a = 3i + j è b = 2i + 3j.
(a) Ïîñòðîèòü âåêòîð åäèíè÷íîé äëèíû òîãî æå íàïðàâëåíèÿ, ÷òî è a.
(b) Ïîñòðîèòü âåêòîð a/2 − b.
Ðåøåíèå:
(a) Åñëè a - âåêòîð, à |a| - äëèíà âåêòîðà a, òî äëèíà âåêòîðà a/|a| ðàâíà åäèíèöå,
è îí ñîíàïðàâëåí ñ a. Äëèíà âåêòîðà ðàâíà êîðíþ èç ñóììû êâàäðàòîâ êîîðäèíàò: |a| =
√ √
3 2 + 1 2 = 10 , ïîýòîìó èñêîìûé âåêòîð
√ √
3 10 10
i + j.
10 10
(b)
1 5
a/2 − b = (3i + j)/2 − (2i + 3j) = 3i/2 − 2i + j/2 − 3j = − i − j.
2 2
Çàäà÷à 2. Äàíû âåêòîðà
? t ? ? 8 ? ? −8 −1 ?
a = ? 3 2 ? , b = ? t − 10 ? , c = ? ? .
−8 1
Íàéòî âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t, ïðè êîòîðûõ
(a) Âåêòîðà a è b êîëëèíåàðíû.
(b) Âåêòîðà a è c ïåðïåíäèêóëÿðíû.
(c) Âåêòîðà a, b è c êîìïëàíàðíû.
(d) Âåêòîðà a, b è c îáðàçóþò ïðàâûé áàçèñ.
Ðåøåíèå:
(a) Âåêòîðà a è b êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû.
Ïîñêîëüêó îòíîøåíèå ïîñëåäíèõ êîîðäèíàò -4, òî òàêèì æå äîëæíî áûòü è
îòíîøåíèå ïåðâûõ è âòîðûõ êîîðäèíàò:
8/t = −4 ⇐⇒ t = −2, (−2 − 10)/3 = −4.
(b) Âåêòîðà a è c ïåðïåíäèêóëÿðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ ñêàëÿðíîå
ïðîçâåäåíèå ðàâíî 0. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (ðàâíî ñóììå ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé
îäíîèì¼ííûõ êîîðäèíàò):
(a, b) = −8t − 3 + 2 = −8t − 1 = 0 ⇐⇒ t = −1/8.
(c) Âåêòîðà a, b è c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû,
ñîñòàâëåííîé èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ, ðàâåí 0:
t 3 2
8 t − 10 −8 =
−8 −1 1
= t · (t − 10) · 1 + 3 · (−8) · (−8) + 8 · (−1) · 2 − (−8) · (t − 10) · 2 − (−1) · (−8) · t − 8 · 3 · 1 =
= t 2 − 10t + 192 − 16 + 16t − 160 − 8t − 24 = t 2 − 2t − 8 = (t − 4)(t + 2).
Ðàâåíñòâî íóëþ âûïîëíåíî ïðè t = 4 èëè t = −2.
(d) Âåêòîðà a, b è c îáðàçóþò ïðàâûé áàçèñ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îïðåäåëèòåëü
ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ â ïîðÿäêå èõ ñëåäîâàíèÿ ïîëîæèòåëåí.
Ýòîò îïðåäåëèòåëü ïîäñ÷èòàí â ïðåäûäóùåì ïóíêòå è ðàâåí (t − 4)(t + 2). Ýòî
âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî ïðè t < −2 èëè t > 4.
Çàäà÷à 3. Äëèíà âåêòîðà a, |a| = 2. Äëèíà âåêòîðà b, |b| = 3. Óãîë ìåæäó
âåêòîðàìè a è b, ? = 60 ? . Íàéòè
(a) Äëèíû äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b.
(b) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ 2a − b è a + 3b.
2
Ðåøåíèå:
(a) Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b, â âåêòîðíîì
âèäå ìîæíî çàïèñàòü êàê a − b è a + b. Äëèíó âåêòîðà ìîæíî ïîñ÷èòàòü
êàê êâàäðàòíûé êîðåíü èç åãî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íà ñåáÿ. Ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ìîæíî ïîñ÷èòàòü êàê ïðîèçâåäåíèå èõ äëèí íà
êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, ïîýòîìó ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà
íà ñåáÿ ìîæíî ïîñ÷èòàòü òàêèì îáðàçîì:
1
(a − b, a − b) = (a, a) − 2(a, b) + (b, b) = |a| 2 + |b| 2 − 2|a||b| cos ? = 4 + 9 − 12 = 7,
2
1
(a + b, a + b) = (a, a) + 2(a, b) + (b, b) = |a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| cos ? = 4 + 9 + 12 = 19,
√ √ 2
ïîýòîìó äëèíû äèàãîíàëåé ðàâíû 7 è 19 .
(b) Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, íàòÿíóòîãî íà 2 âåêòîðà, ðàâíà äëèíå âåêòîðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ äâóõ âåêòîðîâ. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ
ïî ìîäóëþ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ äëèí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, à ïî
íàïðàâëåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðíî èì îáîèì è îáðàçóåò ñ íèìè ïðàâóþ òðîéêó
âåêòîðîâ, ïîýòîìó:
(2a − b) × (a + 3b) = 2a × a + 6a × b − b × a − 3b × b = 0 + 6a × b + a × b − 0 = 7a × b,
√
äëèíà ïîñëåäíåãî âåêòîðà ðàâíà 7 · 2 · 3 sin 60 ? = 21 3 .
Çàäà÷à 4. Äàíû òî÷êè A(3, 5, 4), B(−1, −3, 5), C(−5, −3, 0) è O(0, 0, 0).
(a) Íàéòè êîñèíóñ óãîë ìåæäó îòðåçêàìè AB è AC.
(b) Íàéòè ïëîùàäü ABC.
(c) Íàéòè îáú¼ì òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû OABC.
(d) Íàéòè äëèíó âûñîòû ïèðàìèäû, îïóùåííîé èç âåðøèíû O.
Ðåøåíèå:
(a)
? −5 −3 ? ? 3 5 4 ? ? −8 −8 −4 ?
AC = C − A = ? ? − ? ? = ? ?
0
? −1 −3 ? ? 3 5 4 ? ? −4 −8 ?
AB = B − A = ? ? − ? ? = ? ?
5 1
Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ðàâíî
ïðîèçâåäåíèþ èõ äëèí íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè.
Äëèía âåêòîðà
AC = (−8) 2 + (−8) 2 + (−4) 2 = 12.
Äëèía âåêòîðà
AB = (−4) 2 + (−8) 2 + 1 2 = 9.
Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå ïîïàðíûõ
ïðîèçâåäåíèé îäíîèì¼ííûõ êîîðäèíàò.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
AB, AC = (−4) · (−8) + (−8) · (−8) + 1 · (−4) = 92
AB, AC 92
cos ∠ AB, AC = = = 23/27.
AB · AC 108
3
(b) Âåêòîðíoe ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ âåêòîðoì, äëèíà êîòîðîãî
ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, íàòÿíóòîãî íà ïåðâûå äâà.
Òàê êàê íà òå æå 2 âåêòîðà âìåñòî ïàðàëëåëîãðàììà ìîæíî íàòÿíóòü òðåóãîëüíèê,
è åãî ïëîùàäü áóäåò â 2 ðàçà ìåíüøå, òî â êà÷åñòâå îòâåòà ìîæíî âçÿòü
ïîëîâèíó äëèíû âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà.
Ïîäñ÷èòàåì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñòîðîí:
? −5 −3 ? ? 3 5 4 ? ? −8 −8 −4 ?
AC = C − A = ? ? − ? ? = ? ?
0
? −1 −3 ? ? 3 5 4 ? ? −4 −8 ?
AB = B − A = ? ? − ? ? = ? ?
5 1
Âû÷èñëèòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî, ïîäñ÷èòàâ
ïñåâäîîïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, â êîòîðîé â ïåðâîé ñòðî÷êå ñòîÿò êîîðäèíàòíûå
îðòû, à âî âòîðîé è òðåòüåé - êîîðäèíàòû ïåðâîãî è âòîðîãî âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâåííî.
i j k
−8 1 −4 1 −4 −8 −8 −8
AB × AC = −4 −8 1 = i −8 −4 − j −8 −4 + k =
−8 −8 −4
= i ((−8) · (−4) − (−8) · 1) − j ((−4) · (−4) − (−8) · 1) + k ((−4) · (−8) − (−8) · (−8)) =
= 40i − 24j − 32k.
Äëèía âåêòîðà
√
AB × AC = 40 2 + (−24) 2 + (−32) 2 = 40 2.
√
Îòñþäà ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà 20 2 .
(c) Ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì òð¼õ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ïî ìîäóëþ ðàâíîå
îáú¼ìó ïàðàëëåëåïèïåäà, íàòÿíóòîãî íà ýòè òðè âåêòîðà. Çíàê ÷èñëà "+",
åñëè ýòè òðè âåêòîðà îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ, è " ", åñëè ëåâóþ.
Îáú¼ì ïàðàëëåëåïèïåäà èíà÷å ìîæíî ïîñ÷èòàòü êàê ïëîùàäü îñíîâàíèÿ,
óìíîæåííóþ íà äëèíó âûñîòû. Íà òå æå òðè âåêòîðà âìåñòî ïàðàëëåëåïèïåäà
ìîæíî íàòÿíóòü òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó. Ó ïèðàìèäû îáú¼ì ñîñòàâëÿåò 1/3
ïëîùàäè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû, óìíîæåííîé íà âûñîòó ïèðàìèäû. Â ýòîé
ñèòóàöèè äëèíû âûñîò ïèðàìèäû è ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû, à îñíîâàíèå ïèðàìèäû
ïî ïëîùàäè â 2 ðàçà ìåíüøå (òðåóãîëüíèê ïîëîâèíà ïàðàëëåëîãðàììà). Ïîýòîìó
îáú¼ì ïèðàìèäû áóäåò â 6 ðàç ìåíüøå îáú¼ìà ñîîòâåòñòâóþùåãî ïàðàëëåëåïèïåäà.
Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ îáú¼ìà ïèðàìèäû äîñòàòî÷íî ðàçäåëèòü íà 6 ìîäóëü
ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òð¼õ âåêòîðîâ èç îäíîé å¼ âåðøèíû â îñòàëüíûå.
? −5 −3 ? ? 0 0 0 ? ? −5 −3 ?
OC = C − O = ? ? − ? ? = ? ?
0 0
? −1 −3 ? ? 0 0 0 ? ? −1 −3 ?
OB = B − O = ? ? − ? ? = ? ?
5 5
? 3 5 4 ? ? 0 0 0 ? ? 3 5 4 ?
OA = A − O = ? ? − ? ? = ? ?
4
Âû÷èñëèòü ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¼õ âåêòîðîâ ìîæíî, ïîäñ÷èòàâ îïðåäåëèòåëü
ìàòðèöû, â êîòîðîé â ïåðâîé ñòðî÷êå ñòîÿò êîîðäèíàòû ïåðâîãî âåêòîðà, âî
âòîðîé âòîðîãî, à â òðåòüåé - êîîðäèíàòû òðåòüåãî âåêòîðà.
Ïîäñ÷èòàåì îïðåäåëèòåëü ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû:
3 5 4
−1 −3 5 −5 −3 0 =
= 3 · (−3) · 0 + 5 · 5 · (−5) + (−1) · (−3) · 4 − (−5) · (−3) · 4 − (−1) · 5 · 0 − (−3) · 5 · 3 =
= 0 − 125 + 12 − 60 + 45 = −128.
Ïîýòîìó ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (OA, OB, OC) = −128. Îòñþäà îáú¼ì ïèðàìèäû
ðàâåí 64/3.
(d) ×òîáû íàéòè äëèíó âûñîòû â ïèðàìèäå, îïóùåííîé èç âåðøèíû O äîñòàòî÷íî
ñïðîåêòèðîâàòü âåêòîð
? 3 5 4 ? ? 0 0 0 ? ? 3 5 4 ?
OA = A − O = ? ? − ? ? = ? ?
íà âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñíîâàíèþ, íà êîòîðîå îïóñêàåòñÿ âûñîòà, èëè
íà âåêòîð íîðìàëè ê ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îñíîâàíèå. À îí ñ÷èòàåòñÿ
òàê. Ðàññìîòðèì âåêòîðà
? −1 −3 ? ? 3 5 4 ? ? −4 −8 ?
AB = B − A = ? ? − ? ? = ? ?
5 1
è
? −5 −3 ? ? 3 5 4 ? ? −8 −8 −4 ?
AC = C − A = ? ? − ? ? = ? ?
0
×òîáû ïîëó÷èòü âåêòîð íîðìàëè (ïåðïåíäèêóëÿðíûé) ê ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òðè òî÷êè, ìîæíî âçÿòü äâà âåêòîðà, ëåæàùèå â ýòîé ïëîñêîñòè è èõ
âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ òðåòèé âåêòîð, íàïðàâëåííûé
ïåðïåíäèêóëÿðíî îáîèì âåêòîðàì è îáðàçóþùèé ñ íèìè ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ.
Âû÷èñëèòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå â òð¼õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî, ïîäñ÷èòàâ
ïñåâäîîïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, â êîòîðîé â ïåðâîé ñòðî÷êå ñòîÿò êîîðäèíàòíûå
îðòû, à âî âòîðîé è òðåòüåé - êîîðäèíàòû ïåðâîãî è âòîðîãî âåêòîðîâ ñîîòâåòñòâåííî.
i j k −8 1 −4 1 −4 −8 −8 −8
AB × AC = −4 −8 1 = i −8 −4 − j −8 −4 + k =
−8 −8 −4
= i ((−8) · (−4) − (−8) · 1) − j ((−4) · (−4) − (−8) · 1) + k ((−4) · (−8) − (−8) · (−8)) =
= 40i − 24j − 32k.
Îäíà èç ãåîìåòðè÷åñêèõ èíòåðïðåòàöèé ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî åãî ìîäóëü ðàâåí äëèíå îäíîãî âåêòîðà, óìíîæåííîé íà
äëèíó ïðîåêöèè íà íåãî âòîðîãî âåêòîðà. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ÷òîáû óçíàòü
äëèíó ïðîåêöèè, íàäî ìîäóëü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðàçäåëèòü íà äëèíó
âåêòîðà, íà êîòîðûé ïðîèñõîäèò ïðîåêöèÿ.
Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå ïîïàðíûõ
ïðîèçâåäåíèé îäíîèì¼ííûõ êîîðäèíàò.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
OA, AB × AC = 3 · 40 + 5 · (−24) + 4 · (−32) = −128
5
Äëèía âåêòîðà
√
AB × AC = 40 2 + (−24) 2 + (−32) 2 = 40 2.
Äëèíà ïðîåêöèè âåêòîðà OA íà âåêòîð AB × AC:
OA, AB × AC 128 √
OA = = √ = 8 2/5.
AB×AC AB × AC 40 2
Çàäà÷à 5. Äàíû âåêòîðà
? 1 2 3 ? ? −1 ? ? 7 ? ? 6 ?
a = ? ? , b = ? 3 2 ? , c = ? −3 ? , d = ? 10 17 ? .
5
(a) Äàêàçàòü, ÷òî âåêòîðû a, b è c îáðàçóþò áàçèñ.
(b) Íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà d â ýòîì áàçèñå.
Ðåøåíèå:
(a) Òðîéêà âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå IR 3 îáðàçóåò áàçèñ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç êîîðäèíàò ýòèõ âåêòîðîâ, íå ðàâåí
íóëþ.
1 2 3
−1 3 2 =
7 −3 5
= 1 · 3 · 5 + 2 · 2 · 7 + (−1) · (−3) · 3 − 7 · 3 · 3 − (−1) · 2 · 5 − (−3) · 2 · 1 =
= 15 + 28 + 9 − 63 + 10 + 6 = 5.
(b) ×òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà d â ýòîì áàçèñå, íåîáõîäèìî íàéòè òàêèå
âåùåñòâåííûå ÷èñëà x 1 , x 2 è x 3 , ÷òî ax 1 + bx 2 + cx 3 = d , èíà÷å ãîâîðÿ, íàäî
ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
? ? x 1 − x 2 + 7x 3 = 6
? 2x 1 + 3x 2 − 3x 3 = 10 .
? ? 3x 1 − 2x 2 + 5x 3 = 17
Ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ
? 1 −1 7 | 6 ?
? 2 3 −3 | 10 ? .
3 −2 5 | 17
Íàïîìèíàíèå: äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ
äàííîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ïîñëåäíþþ ñëåäóåò ïîäâåðãàòü ýëåìåíòàðíûì
ïðåîáðàçîâàíèÿì íàä ñòðîêàìè. Ïðè ýòîì ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñèñòåì óðàâíåíèé,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèöå äî ïðèìåíåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïîñëå
- ñîâïàäàþò.
Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàä ñòðî÷êàìè ìàòðèöû áûâàþò òð¼õ òèïîâ:
(a) Îáìåí ìåñòàìè ðÿäîâ ñ íîìåðàìè i è j (ñîêðàù¼ííî R i ↔ R j ) ,
(b) Óìíîæåíèå ðÿäà ñ íîìåðîì i íà íåíóëåâîå ÷èñëî r (ñîêðàù¼ííî R i → rR i ) ,
(c) Çàìåíà ðÿäà ñ íîìåðîì i íà íåãî ìèíóñ êðàòíîå ðÿäà j (ñîêðàù¼ííî R i →
R i − rR j ) ,
Öåëü çàêëþ÷àåòñÿ â ïðèâåäåíèè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû ê òðàïåöèåâèäíîé
ôîðìå, ïðè÷¼ì òàê, ÷òîáû â êàæäîé ñòðî÷êå ïåðâûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì
áûëà åäèíèöà, è âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû íàä ýòîé åäèíèöåé áûëè íóëÿìè. Èç
òàêîé ïðèâåä¼ííîé òðàïåöèåâèäíîé ôîðìû ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû
ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ å¼ ðåøåíèå.
? 1 −1 7 | 6 ? ? 1 −1 7 | 6 ?
2 3 −3 | 10 −−−−−−−→ R 2 →R 2 −2R 1 0 5 −17 | −2 −−−−−−−→ R 3 →R 3 −3R 1
? ? ? ?
3 −2 5 | 17 3 −2 5 | 17
? 1 −1 7 | 6 ? ? 1 −1 7 | 6 ?
? 0 5 −17 | −2 ? −−−−→ R 2 ↔R 3 ? 0 1 −16 | −1 ? −−−−−−−→ R 3 →R 3 −5R 2
0 1 −16 | −1 0 5 −17 | −2
? 1 −1 7 | 6 ? ? 1 −1 7 | 6 ?
0 1 −16 | −1 −−−−−−→ R 3 →R 3 /63 0 1 −16 | −1 −−−−−−−−→ R 2 →R 2 +16R 3
? ? ? ?
0 0 63 | 3 0 0 1 | 1
21
? 1 −1 7 | 6 ? ? 1 −1 0 | 17 ?
? 0 0 1 0 | 0 1 | −5 21 1 ? −−−−−−−→ R 1 →R 1 −7R 3 ? 0 0 0 1 | 1 0 | −5 21 1 3 ? −−−−−−−→ R 1 →R 1 +R 2
21 21
? 1 0 0 | 38 ?
? 0 0 1 | 0 1 0 | −5 21 1 7 ?
21
Ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ïîñëåäíåé ìàòðèöåé â êà÷åñòâå ðàñøèðåííîé ìîæíî çàïèñàòü
êàê
? ? x 1 = 38/7
?
x 2 = −5/21 .
? ? x 3 = 1/21
Ýòî è áóäóò êîîðäèíàòû âåêòîðà d.