Что общее может быть между числами Фибоначчи и пифагоровыми тройками? Что может связывать числа, которые образуют последовательность, начинающуюся двумя единицами, остальные члены которой получаются сложением двух предыдущих членов, с числами, квадрат одного из которых равен сумме квадратов двух других? Могут ли они вообще быть связаны? Это мы сейчас увидим. Связь довольно интересная.
Прежде всего, давайте определим математические понятия. Хотя последовательность Фибоначчи и пифагоровы тройки хорошо известны, приведем их определения. Последовательность Фибоначчи определяется следующим образом:
.
Пифагорова тройка представляет собой набор из трех натуральных чисел таких, что
.
Вот какая интересная связь имеется между ними. Возьмем четыре последовательных числа последовательности Фибоначчи. Пусть это будут числа . Теперь выполним следующие действия:
1. Умножим первое число на четвертое, самое большое на самое маленькое, и обозначим их произведение через : .
2. Удвоим произведение остальных двух чисел и обозначим его через : .
3. Перемножим числа, стоящие на нечетных местах (считая слева) и прибавим к этому произведению произведение остальных двух чисел. Обозначим полученное число через ^ .
Получим пифагорову тройку .
Разве это не красиво? И доказательство этого удивительно просто!
Давайте докажем, что действительно пифагорова тройка. Так как — четыре последовательных числа последовательности Фибоначчи, то . Мы можем выразить все через и и записать четверку чисел следующим образом:
.
Давайте посмотрим, чему равны и :
,
,
.
Таким образом, наша тройка чисел имеет вид , где числа и являются последовательными членами последовательности Фибоначчи и есть по крайней мере одно число в этой последовательности, которое меньше, чем каждое из них.
Неужели эти числа образуют пифагорову тройку? В этом можно легко убедиться. В самом деле, сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего:
,
.
Сложим эти два числа:
.
Кроме того,
.
Замечательно, не правда ли?
Давайте рассмотрим несколько примеров.
1) Возьмем числа . Имеем
,
,
.
И вот
,
.
2) Другой пример, с несколько большими числами. Возьмем числа . Тогда
,
,
и
,
.
Другие работы по теме:
Числа Фибоначчи: технический анализ
Министерство образования и науки Украины Одесский государственный экономический университет кафедра________________________ Реферат по курсу "Экономический анализ"
Волновая теория Эллиотта
Волновая теория Эллиотта Ральф Нельсон Эллиотт был инженером. После серьезной болезни в начале 1930-х гг. он занялся анализом биржевых цен и показателей, в частности индекса Доу-Джонса. Сделав ряд весьма успешных предсказаний, он в 1939 году опубликовал серию статей в журнале Financial World Ma-azine.
Изображение токов и напряжений комплексными числами
Связь комплексных амплитуд тока и напряжения в пассивных элементах электрической цепи. Законы Кирхгофа для токов и напряжений, представленных комплексными амплитудами. Применение при расчёте трёхфазных цепей.
Кольцевой орбитальный резонанс
Кирилл Бутусов В 1978 г. нами была опубликована работа «Золотое сечение в Солнечной системе» [1], где было показано, что в Солнечной системе наблюдается явление резонанса волн биений, приводящее к тому, что периоды и частоты обращений планет образуют геометрическую прогрессию со знаменателями Ф = 1,6180339 и Ф = 2,6180339, хорошо отображаемые числовыми рядами: Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...) и Люка (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...), см. табл. 1, где n – числа Люка и Фибоначчи, а δ% – отклонение от резонансного значения nT в %.
Филлотаксис и последовательность Фибоначчи
Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом
Уровни коррекции Фибоначчи
Одним из важных инструментов технического анализа являются технические уровни. Это определенное значение цены, которое при приближении к нему курса будет препятствием для дальнейшего продвижения.
Уровни Фибоначчи
Известный итальянский математик эпохи Возрождения Фибоначчи, точное имя которого произносится и пишется как Leonardo Bonacci, в свое время исследовал последовательность чисел.
Инструменты Фибоначчи для анализа валютного рынка
Леона?рдо Фибоначчи или Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano, Fibonacci; в переводе с итальянского «сын Боначчи») – выдающийся математик средневековья. Жил в городе Пиза, в Италии. Он стал современником строительства знаменитой Пизанской башни.
Равносоставленность и задачи на разрезание
Равносоставленность Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Египетские дроби
Египетские дроби Одним из древнейших письменных документов человечества является папирус Райнда, датируемый ориентировочно 1600 г. до н.э. Замечательно, что это также древнейшее математическое сочинение. Древние египтяне записывали рациональные дроби как суммы чисел, обратных натуральным: 2/5 = 1/3 + 1/15, 6 / 7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 и т. д.
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Числовые ряды
Математическое описание последовательности чисел Фибоначчи. Представление фрагмента корзины "Гармония Мироздания" как образца формирования числовых рядов. Особенности построения живой спирали "Китовраса", ее практическое применение в древнем мире.
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.
Журналист моя будущая профессия
Автор: Сочинения на свободную тему С самого раннего детства мы мечтаем стать взрослыми, завести семью, каждый день ходить на работу, как наши родители. Но детство проходит, и наступает время всерьёз задуматься: « Кем я хочу стать?»
Соня и Раскольников читают Евангелие
Сцена чтения Евангелие в романе психологически наиболее напряженная и интересная. Я с интересом читал и по ходу действия думал, сумеет ли Соня убедить Раскольникова в том, что жить без Бога нельзя, сможет ли своим примером направить его в веру.
Картина В.Л. Боровиковского Портрет Е. Н. Арсеньевой
Картина В.Л. Боровиковского "Портрет Е. Н. Арсеньевой" Автор: Разное Перед нами картина художника В.Л. Боровиковского. На этой картине изображён портрет Е.Н. Арсеньевой. Эта интересная молодая особа, примерно двадцати пяти лет. По её взгляду видно, что она довольна своей жизнью. Е.Н. Арсеньева из интеллигентной семьи, так как она одета в красивое, белое платье.
Рекурсия
Содержание Рекурсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пример 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Программное определение числовых массивов
Одномерные числовые массивы, образование элементами целочисленного массива невозрастающей последовательности. Программное нахождение суммы элементов каждой возможной строки матрицы и формирование массива из найденных сумм, вывод массива-результата.
Базис стандартной и рекурсивной схемы. Верификация программы
Базис класса стандартных схем программ. Стандартная схема в линейной форме. Протокол выполнения программы рекурсивной схемы. Слабейшие предусловия операторов программы в линейной форме. Верификация программы с помощью метода индуктивных утверждений.
Обработка двумерных массивов матриц .
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ. КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И АДМИНИСТРИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ.
Коды Фибоначи Коды Грея
Реферат по курсу “Теория информации и кодирования ” Тема: "СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОДЫ" 1. КОДЫ ФИБОНАЧЧИ 1.1 ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ В математике существует большое количество иррациональных (несоизмеримых) чисел, т. е. обозначающих длину отрезка несоизмеримого с единицей масштаба. Ряд из них широко используется как в математике, так и в др. областях.
Эйкен Говард
Эйкен Говард Хатауэй (Aiken Howard Hathaway) (9 марта 1900, Хоубокен, шт. Нью-Джерси - 14 марта 1973, Сент-Луис, шт. Миссури), американский математик, создатель одной из первых электромеханических вычислительных машин "Марк-1".
