Задание 1.
Найти производные функций
a)
Пусть
, , тогда
b)
Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле
.
Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
По свойству логарифма
Таким образом,
c)
Продифференцируем уравнение, считая
y
функцией от х:
Задание 2.
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции
Областью определения функции
являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна
.
Функция нечетная
, т. к.
Функция не пересекается с осями
координат (уравнение
y
=0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.
Функция возрастает
в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убывает
в промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы
: максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость
.
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0)
<0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞)
>0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптоты
графика функции
:
1) вертикальная асимптота – прямая х=0
Т.к. и
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к. и
3) наклонных асимптот нет,
т. к.
и
Задание 3
. Найти экстремумы функции
Z
=
ln
(3 –
x
2
+ 2
x
–
y
2
)
Найдем частные производные первого порядка.
М (1; 0) – стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
>0 Следовательно, функция
Z
=
ln
(3 –
x
2
+ 2
x
–
y
2
) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к.
A
< 0.
Задание 4
. Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a)
Решаем методом замены переменной. Положим ,
тогда ,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим дифференцированием:
b)
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]
С
Проверим дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка
приводит интеграл к виду
Возвращаясь к аргументу х, получаем
Таким образом, ,
где
С=С1
+С2
Проверим дифференцированием:
Задание 5
. Вычислить определенный интеграл
Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим
Вернемся к переменной х.
Таким образом
,
Библиографический список
1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.
2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.
3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.
Другие работы по теме:
Методы анализа эффекивности деятельности предприятия
Экономический анализ — это метод исследования и познания объективного действия экономических законов. Метод экономического анализа базируется на диалектическом материализме, что означает изучение материалистической диалектики в единстве анализа и синтеза, индукции и дедукции.
Задачи Циолковского
Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное движение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.
Численные методы
Подавляющее большинство процессов реального мира носит линейный характер. Область, использования линейных моделей ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Методо МНК для линейной функции.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Шпаргалка по численным методам
{кофф линейноного уавнения} a:=y2-y1 b:=x1-x2 c:=-x1*(y2-y1)+y1*(x2-x1) {лежит ли точка на прямой} p:=false; if (x3-x1)*(y2-y1)-(y3-y1)*(x2-x1)=0 then p:=true;
Шпаргалка по численным методам
Определение точки пересечения отрезков, расстояния между точками, сортировка выбором, сортировка обменом, двоичный поиск, сортировка бинарными вставками.
Математика. Интегралы
*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x из (a,b) справедливо неравенство f(x ) (f(x *2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x
Дифференцирование Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций Пусть , тогда Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Интегрирование рациональной функции от тригонометрической и алгебраических иррациональностей. Тригонометрические подстановки для интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
Основные правила дифференцирования
Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.
Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов
Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.
Дифференцирующие и интегрирующие цепи
Лабораторная работа «Дифференцирующие и интегрирующие цепи» Полянчев С., Коротков Р. Цели работы: ознакомление с принципом действия, основными свойствами и параметрами дифференцирующих и интегрирующих цепей, установление условия дифференцирования и интегрирования, определение постоянной времени.
Дифференцирующие и интегрирующие цепи
Принцип действия, основные свойства и параметры дифференцирующих и интегрирующих цепей. Установление условия дифференцирования и интегрирования. Метод определения постоянной времени. Исследование прохождения прямоугольных импульсов через RC-цепи.
Функциональные устройства на ОУ
Понятие и назначение операционных усилителей, их структура и основные функции, разновидности и специфические признаки, сферы применения. Инвертирующее и неинвертирующее включение операционных усилителей. Активные RC-фильтры. Компараторы сигналов.
Интегрирование методом Симпсона
Московский Авиационный Институт Расчетно графическая работа по: алгоритмическим языкам и программированию. кафедра 403 Выполнил: Гуренков Дмитрий гр. 04-109 /____________/