Автореферат к доказательству теоремы Ферма.
Данное доказательство, оформленное в виде статьи, посвящено объяснению того факта, что формальное математическое доказательство великой теоремы Ферма тривиально.
Вот оно:
допустим, что диофантово уравнение
(1)
имеет целые решения при
n
>2, тогда
(2)
и должно быть целым. Однако, правая часть выражения (2) не является целым рациональным выражением и не даёт целый результат по определению. Следовательно, предположение о том, что диофантово уравнение имеет целые решения, не верно.
Автор выражает удивление, что до него никто не осветил данную математическую проблему с этой стороны. В статье, однако, затронуты глубинные вопросы гносеологии, сопутствующие решению проблемы. Автор считает, что статья доступна для понимания не только суперматематикам, но и обычным людям, проявляющим интерес к данной проблеме.
Доказательство теоремы Ферма.
Посвящаю моему учителю математики
Зильбербергу Осипу Михайловичу.
1. Введение.
Математика – это абстрактная наука для описания конкретных процессов. То есть, математический абстрактный процесс описывает множество реальных физических процессов.
Например, 1+1 = 2
может означать, что в копилку с одной монетой бросили еще одну; что в комнату, где находится человек, зашел еще один человек; что рыболов поймал рыбу и поместил ее в садок, а потом поймал еще рыбу и поместил ее в тот же садок и т.д. и т.п.
Любой математический процесс оперирует абстрактными (условными) величинами. Не исключение и понятие целого числа. Рассмотрим понятие математической единицы и целого числа. Математическая единица это самое простое из всех целых чисел, основа понятия целого числа. Ведь любое целое число это просто сумма целых единиц. Однако же, реально не существует ничего целого, все можно разделить. Тем более, не существует двух абсолютно одинаковых объектов, с которыми можно было бы произвести физически реальную операцию добавления, как в приведенном примере. Т.е. реально будет или чуть больше или чуть меньше двух. (Ведь монеты могут быть разных номиналов, а если номинал один, то все равно монеты различаются по массе и размерам, тут все зависит от точности измерений. Еще больше различий у рыб и людей.)
Исторически понятие целого числа возникло из простых арифметических действий, простейшее из которых приведено в примере. Исходя из вышеизложенного очевидно, что арифметика это «теория целых чисел», и служит для описания простейших процессов, единичных процессов, процессов очень сильно ограниченных в пространстве и времени. Уяснив, что такое целое число, перейдем к теореме Ферма.
Теорема Ферма утверждает, что уравнение вида
(1)
Не имеет целых положительных решений при n > 2.
Применим к теореме способ доказательства «от противного». Допустим, что уравнение (1) имеет целые решения при n > 2, тогда все три переменных x, y, zбудут целыми числами, тогда два из трех тоже будут целыми; пусть это будут xи y, тогда (1) можно записать в виде
(2)
Или
(3)
Подкорневое выражение можно привести к элементарным арифметическим действиям:
nраз,
или
раз.
Причем, сколько именно раз не так важно. Важно то, что суть этого математического процесса сводится к повторению операции сложения целого числа с самим собой. Результат такой операции тоже будет целым.
Аналогично для .
(Замечание: естественно, что nдолжно быть конечным и целым.)
Теперь посмотрим, что такое .
Это обратная возведению в степень операция, по аналогии, как вычитание обратная сложению операция. (Заметим, что в природе не существует обратных процессов. Нельзя дважды войти в одну и ту же реку. Невозможно вернуться точно в то же исходное положение. Это можно сделать с большей или меньшей степенью приближения по одному или нескольким параметрам. Таким образом, обратные процессы это мысленные, абстрактные, или другими словами, теоретические математические процессы.)
Целые числа можно получить из целых только с помощью целых рациональных выражений. Т.е. с помощью сложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень. Извлечение корня (или возведение в дробную степень) не является целым рациональным выражением. Поэтому выражения вида (2) и (3) не дают целый результат по определению.
Или подробнее:
Операцию извлечения корня невозможно определить через вычитание при неизвестном основании прямого процесса.
То есть, возведение в целую положительную степень можно представить как сложение целого числа с самим собой определенное число раз. Это (исходное) целое число можно получить, вычитая его из результата такое же число раз.
раз , прямой процесс.
раз, обратный процесс.
При этом, очевидно, для того, чтобы получить тот же математический объект в результате обратного процесса, необходимо совершить точную последовательность обратных действий над результатом прямого процесса. Если же для обратного процесса предлагается не выражение вида , где
- целое, то тогда неизвестно, что нужно вычитать и какое число раз. Задачу невозможно определить в рамках понятия о целых числах и целочисленных операциях. Следовательно, и о каком-либо решении неопределенной задачи говорить не приходится. Следовательно, предположение о том, что уравнение (1) имеет целые решения при n > 2 неверно, что и требовалось доказать.
Комментарий: Тот факт, что диофантово уравнение имеет целые решения при n = 2 , является исключением из общего правила, и может быть объяснено скорее всего тем, что квадратная функция это довольно медленно возрастающая функция. Она описывает процессы, по скорости и ограниченности в пространстве близкие процессам, которые описываются линейными функциями. (Т.е. тривиальными арифметическими действиями, из которых и возникло математическое представление о целом числе). Поэтому решения уравнения (1) при n = 2 иногда попадают в множество целых чисел (скорее всего это возможно при небольших значениях переменных, когда квадратная функция возрастает довольно медленно).
Одесса, 04.02.2002 г.
Другие работы по теме:
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Простое доказательство великой теоремы Ферма
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений.
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U''.
Элементарное доказательство великой теоремы Ферма
Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Доказательство теоремы Ферма для n=3
Доказательство великой теоремы Ферма для n=3 методами элементарной алгебры с использованием метода решения параметрических уравнений. Диофантово уравнение, решение в целых числах, отсутствие решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1
Великая теорема Ферма
Вели?кая теоре?ма Ферма? (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных неопределенных спусков
Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков Решение задач в науке определяется верифицированным методом доказательства. Как мы видим из разнообразной литературы по проблеме решения Великой теоремы Ферма неразличение исторических счастливых случайных, и оттого многообразных, находок и логических т.е. теоретических нормальных закономерных изобретений сделало из числового уравнения задачу «икс» для многих поколений математиков.
Теорема Ферма история и доказательства
ГОРОДСКОЙ КЛАССИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ РЕФЕРАТ Великая теорема Ферма Подготовил: Петров А. А., 9Б класс (физ-мат) г. Кемерово - 1998 Содержание 1. Биография Ферма
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U' и U'' и умножения равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 11) (k+3)-я цифра в числе a^n + b^n – c^n (где k – число нулей на конце числа a + b – c)
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство теоремы Ферма для n 4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
О необычности путей развития математики
Теорема есть некое математическое утверждение, правильность которого требует построения логической цепочки доказательств, основанной на использовании законов формальной логики с привлечением аксиом – истин, принимаемых как само собой разумеющееся.
Великая теорема Ферма
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно.
Великая теорема Ферма
Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма».
Гипотеза Биля
Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.