Вычисление радиальных
функций матье-ханкеля
Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и
компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак – научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н.,
и.о. зав. кафедрой КТ
Функции Матье, в отличие
от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции
Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые
методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и
т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и
имеют ограниченную применимость.
Функции Матье возникают
при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:
, (1)
где - некоторая вещественная положительная константа и - оператор Лапласа.
Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с
декартовыми: , .
Полагая в методе разделения
переменных, получаем уравнения:
, ,
где - константа разделения.
Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.
Дифференциальное
уравнения Матье имеет вид
, (2)
где обычно переменная имеет
вещественное значение, а - заданный вещественный ненулевой
параметр.
Собственные значения и граничные условия
(3)
соответствуют чётным
функциям Матье , а собственные значения и граничные условия
(4)
нечётным функциям Матье
В силу свойств симметрии
уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье
1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную
2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще
всего обозначаются таким образом: , , , .
Собственные значения , отвечающие
функциям ,
, , , обозначаются
через , , , .
Модифицированное
уравнение Матье
(5)
получается из уравнения
Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5)
или , это уравнение
имеет либо решение , либо решение , которые являются
соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.
Функции, являющиеся
решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).
Различают РФМ 1, 2, 3 и 4
рода: , , , .
Вычисление функций
Матье I рода
Радиальные функции Матье
первого рода являются решениями ОДУ второго порядка
, (6)
удовлетворяющие в нуле
условию
, если (7)
, если
И на бесконечности
условию
~, (8)
где - задано, а () - собственные значения задачи (2),
(3), (4),
Параметр используются для
различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного
значения для π и 2π периодических собственных функций:
Для решения задачи
(6)-(8) используем модификацию метода фазовых функций.
Введём замену переменных:
(9)
(10)
Здесь -
"масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию при , её выбор
находится в нашем распоряжении.
Подставляя (9), (10) в
исходное уравнение (6) задачи для и :
(11)
(12)
где и .
Для совместного решения
задач Коши для и используется следующий приём.
Функцию ищем
в точках .
На каждом из отрезков вспомогательные функции находятся, как
решение задач Коши
(13)
где .
Поскольку для любых
решений и
,
уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы
«назад» для вычисления , ,
, , (14)
причём .
Итак, краткий алгоритм
решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:
1.
Решаются
совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка величины , , ;
2.
Полагая , по формуле
(14) вычисляем , ;
3.
По формуле (10)
вычисляем функции , ;
4.
Из (9) и (10)
получаем выражение для производной функции
.
В качестве сглаживающей
функции предлагается следующая функция
, где .
Вычисление функций
Матье III рода
Волновая радиальная
функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного
дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:
, . (15)
Условие на бесконечности
~, . (16)
Для уравнения (15)
условие (16) эквивалентно условию:
,
и при достаточно больших линейному
соотношению:
, .
(17)
Решение задачи (17)
существует, единственно и при достаточно больших представимо асимптотическим рядом
.
Рассмотрим алгоритм нахождения
функций .
Для их вычисления нужно перенести граничное условие
,
где , справа налево от точки
до точки .
Воспользуемся вариантом
ортогональной дифференциальной прогонки.
По всему отрезку переносим
соотношение
,
потребовав выполнение
условия для
всех , , где и удовлетворяют системе
дифференциальных уравнений 1-ого порядка
.
Функции Матье 3-его рода
ищем по формуле:
,
где .
Функции Матье 2-ого рода вычисляются
по формуле:
.
функция матье
дифференциальное уравнение
Описанные алгоритмы
вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком
диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью
используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.
Литература
1. Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и
др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. – Третья конференция
по дифференциальным уравнениям и приложениям. – Тезисы докладов. Руссе,
Болгария, 1985. – с.4.
2. Миллер У. мл. Симметрия и разделение
переменных / Пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 342 с.
3. Справочник по специальным функциям с
формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. – М.
– 1979. – 832 с.:ил.
Другие работы по теме:
Однофакторный дисперсионный анализ 3
дисперсионный анализ. Вариант 1. 10. Двух и трёх факторные Д. А. Содержание задания. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры (р). Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения.
Магнитное поле Процесс формирования
Graphics Магнитное поле Содержание . 1 Чем создаётся 2 Вычисление 3 Магнитные свойства веществ 4 Проявление магнитного поля 5 Взаимодействие двух магнитов 6 Явление электромагнитной индукции 7Токи Фуко Graphics
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Поль Мориа
Записи оркестра, в котором этот человек был дирижером, расходились в СССР, да и во всем мире, огромными тиражами. Поль Мориа приезжал в СССР в 1967 году вместе с Мирей Матье и в 1978 году — уже как дирижер эстрадно-симфонического оркестра.
Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы
Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Преобразование графиков функции
Text Text Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах) Graphics
Триангуляция
Московский колледж геодезии и картографии Работу выполнил Комосов Д.Ю. Студент группы АГС – 41. 1.Исходные данные……………………………………………………………… 3 2.Решение треугольников……………………………………………… 5
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Вычисление корней нелинейного уравнения
Нахождение нулей функции графическим методом. Вычисление корней уравнения при помощи вычислительных блоков Givel и Root. Поиск экстремумов функции. Разложение функции в степенной ряд.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Использование программирования в математике
Содержание Задание 1. Вычисление значения арифметического выражения Задание 2. Использование условного оператора Задание 3. Использование циклических структур Задание 4. Работа с двумерными массивами Задание 5. Использование процедур Задание 6. Текстовый файл
Абстрактный экспрессионизм
Представителями абстрактного экспрессионизма были Джексон Полок (1904 - 1984), Вильям де Кунинг (1912 - 1956), Марко Ротко (1903 - 1970). Послевоенный абстракционизм прямо не связывал себя с геометрической традицией абстракционизма.
Гастон IV де Фуа
Введение 1 Биография 2 Брак и дети Введение Гастон IV де Грайи или де Фуа (фр. Gaston de Grailly (de Foix); 26 февраля 1423(14230226) — 25 июля 1472, Ронсеваль) — граф де Фуа и де Бигорр, виконт де Беарн с 1436, виконт де Кастельбон 1425—1462, виконт де Нарбонн 1447—1468, пэр Франции с 1458, сын Жана I де Грайи, графа де Фуа, и Жанны д'Альбре, дочери Карла I д'Альбре, гасконский военачальник на службе короля Франции во время Столетней войны.
Братья Ленен
План Введение 1 Биография 2 Наследие Введение Луи Ленен. Счастливое семейство, 1642. Лувр Братья Ленен (фр. Le Nain), Антуан (Antoine) (ок. 1588 — 25 мая 1648), Луи (Louis) (ок. 1593 — 23 мая 1648) и Матье (Mathieu) (1607 -20 апреля 1677) — французские художники.
Аделаида Савойская
План Введение 1 Биография 2 Браки и дети Введение Аделаида Савойская (Аделаида Морьенская) (фр. Adиle de Savoie, Adйlaпde de Maurienne, ок. 1092 — 18 ноября 1154, Монмартр, Париж, Франция) — королева Франции в 1115 — 1137 годах, жена короля Франции Людовика VI и Матье I де Монморанси. Аделаида была дочерью графа Гумберта II Савойского и Гизелы Бургундской.
Монморанси-Лаваль, Матьё де
Матье-Жан-Фелисите, герцог де Монморанси-Лаваль (фр. Mathieu Jean Felicitй de Montmorency, duc de Montmorency-Laval ), (10 июля 1760 — 24 марта 1826) — французский государственный и политический деятель, представитель знатного французского рода Монморанси.
Работа в среде Visual Basic
Создание приложения для вычисления значений функций и определение суммы этих функций: эскиз формы, таблица свойств объекта, список идентификаторов и непосредственные коды процедур. Результаты вычислений и выводы, проверка работы данной программы.
Для чего нужна процедура Function?
Функция выполняет служебное действие, например вычисление, и возвращает значение. Вызвать функцию можно, написав её имя и передав ей аргументы, в нужном месте вашей программы.
Алгоритмизация и програмирование
РЕФЕРАТ ояснительная записка содержит 15 листов, 2 рисунка, 3 использованных источника, 1 приложение. СТРУКТУРА ЭВМ, СХЕМА АЛГОРИТМА, ПРОГРАММА, РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Расчет задач вычислительных систем
Алгоритм и программа вычисления функции на параллельной структуре. Разложение функции в ряд Маклорена. Однопроцессорный и многопроцессорный алгоритмы решения. Программа на Паскале. Размер буферной памяти между звеньями. Матрица вероятностных переходов.
ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции
Изучение представления, основных способов расчета для целых положительных, простых чисел и ряда точек, и вычисления путем аппроксимации логарифма гамма-функции. Предоставление функциональных моделей, блок-схем и программной реализации решения задачи.
Расчет задач вычислительных систем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ” Кафедра “Обчислювальна техніка та програмування”
Метки. Оператор GOTO. Процедура Halt
С.А. Григорьев Операторы в Паскале могут быть помечены. Метки - это идентификаторы, или целые числа от 0 до 9999, они могут записываться перед любым выполняемым оператором и отделяются от него двоеточием. Оператор может иметь любое количество меток. Все метки, использованные в программе, должны быть описаны в разделе описаний с ключевым словом LABEL.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Оператор выбора case
Для программирования разветвлений в алгоритме чаще всего используется условный оператор if…then или if…then…else. Однако если путей выбора много, то запись алгоритма с помощью условного оператора становится сложной.
Работа в среде Visual Basic
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский Государственный Университет» социально-экономический факультет