?????!???Y?????!?©?¡
¢4£ ?!???!?A¤Y¥§¦¨? ¢§© ??¦?ª!? ¢ ¥©«&???!?¬¥®4¯©? £?°²±´³¤©¤± ¤Y§¥ ¢ ? £?° «#¥¬?§?µ«#¥¬? ± ¤ ±
? ¶?·&¸º¹»? ¼q½e¾S¹¬¿
¤Y¥§? ¢§±3¢ ¥¬?e¦ ± ??À Á«#¥¬?µÀ5?5¥»ª!¤
? £?ÃÄ£µÅA± ?yÆ?ÀÈÇeÀ
³¤©!£ ¦¨??É»É £?© ¤Y¥§¦¨? ¢§© ???§? £?© ?»? ±¤Ê ??É»¤ £?°Ëû±3¢§©!£ ¥¬Ì ©!£ «&?ÎÍY¥§? ± ¤ ±ËÏÑÐ ¸a¿
¢4£ ¤!? £?© ¦ ± ??À Á«#¥¬?µÀ5?5¥»ª!¤
Ò¢¥¬? ±¤Ó ??ÔAÇeÀÖÕ×À
ØAÙ4ÚvÛvÜvÜvÛvÝFÞ§Ù§ßáà?âµãCâwävåhÞ4æ&çTÜ&è3Ù§ßCéCâµê?â
ë ± ÉÎ5???¤?¤?t??«&?»? £»¢ ?¡À§ë¡¥§ÉÄ?©¯AìíìîÀ4Ç¥? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©?¤?t?׫&?»? £?¢ ?Q ± ?!? ° ? £?° ¥® à ?»ï¬Á
© ?¡ !¸ Ê ?»ï?? £ ? ³!£ É £ ï ± ??À?ð0? £ ÉÄ? £ Ô®Áñ?5¥µÁóò £ ?Yª?¿4ô§õ©õ©ö!À ð!÷©ø¬É©À
Ç ³!£ É £ ï ±¤±e± ?»§¥ à ¥§ùa?©Éûú ʤ± ÉÎ5???¤?¤?t?¡«&?»? £?¢ ? © ??ü×??? ± ú?É ± ÉÄ?§?µ«E ± ?!? ° ?¤?¥Í ¥®!Á
à ?»ï © ¥ ±¤Ê ??É»¤ ± Í ª © ¥§Ô©?!??? ±¤° À4ý ? £?© ?»? ±¤Ê ??É»¤ ±¤° «#¥¬?§? ©¤± ¥® ± ¤4ùeÉÄ? ©¤±¤© ª??»?©Éûú ©¤± ÉΪ!?3Á
¤Y¥©« ± ¿ ¢ ¤úþ?!??¤ £ ? £?© ?¥ÍT«&?»? £?¢4£ Ô ³¤©¤± Ô £?¢ ú¤?©ÉîúT¥® ÃÄ£?©¤± ??« ?¡¿ ± Í © ?µ¥® ± ?»ª!ù Óÿ± ??À Ç
¤Y¥ Åg¢4£ « © ¥®? ¢ ?Ä5? ³¤© ? ¢ §¥ à ¥§ùa?©Éûú ¤ £ ?!? ©!£ 4¯©?¤?t?qÔ £?³¤©!£ É»? ±?³¤©¤± «&? © ? ¢ ¤ú É?¥©« £ Á
ÉÄ? £ ú¤?§?Ä4¯©? £?°E© ¥¬ï £ ?©?¡À&Ç ³¤©¤± £µÅ ??? ±¤±c³¤©¤± Ô £»¢ ú¤?©Éûúc?!??¤ £ ? £?© ?t?e?§? £?© ?»? ±¤Ê ??É»¤ ± ?
ɻԧ? ¢ ??? ± úF¿ ¤ £ ? £?© ?t? ± É ³!£ 4¯¬?»ª!ùa?©Éîú Ô £ É»? £ Ô©? £ «??§??¤3ÉÄ?§??À¢¡ £ É £ ï ± ? ³¤© ? ¢ ?5¥®?µ?5¥µÁ
Ê ??? £þ¢ ¤ú ÉÄ?¬ª ¢ ???!? £ Ô?« ¥¬?©?µ« ¥¬? ±¤Ê ??É»¤ ± Í ±8± ? Å ???!? © ?¤?¥Í É ³ ??? ± ¥®4¯©? £ ÉÄ?§? ° À ¤£¨? £
« £µÅ ?»? ï??t?©¯ ³!£ 5?Ä?µ? £e¢ ¤úþü ±¤©!£ ¤ £?ÃÄ£ ¤ © ª à ¥ ʤ± ?¬¥¬?§?Ä5? ° ¿ ± ?!?§? © ??ÉΪ!ù Óÿ± Í3ÉîúþÔ©?¥Á
¥
ß 9'3@©è8A4æ&# B
ÚvÛ&%(' è?ÜvÜ&ÞD@©Þ²æ&è3çEè?ÜvÛFEG%©Û&%H)¤è84I'&ÛvÜ&è6PvÜ&#RQCß9'3@©è8A4æ&ß4ÛvÚ&èHS
V
½ £?© « ??«#¥¬? ©¤± ? ± Ô§??¤!? £?©!£ Ô ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À Y
¡ £?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£?© ??ü×??? ± ú?É ± ÉÄ?§?µ« ? ±q£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???3Á
? £ ÉÄ?©¯A«#¥¬? ©¤± ? À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À WHW
b Ë¥¬? ©¤± ?¤??É ³ ??? ± ¥®4¯©? £?ÃÄ£ Ô ±3¢ ¥!À ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À W ?ö
b 0?»? £?¢ ? © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸ À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ô©ô
Ç £?³¤©!£ É»? ± ª ³¤© ¥ Å ?!??? ± ú ¢ ¤úËÉ?¥©« £?³¤©!£ Ô§? © ¤ ± À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ô©ô
æ&è3çEè?ÜvÛFE à rq5sut C9v
wyx Á © ¥®?» £µÅ ??? ± ?׫#¥¬? ©¤± ?¤? ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ô©ø
b 0?»? £?¢ ¶Y¥»ª?É»É?¥ À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À `?W
£ © ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t????? ??? © ¥®?» £µÅ ??? ± úy«#¥¬? ©¤± ? À×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À `?c
` !Àa`!ÀXW ¡ © ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?¡Ô © ¥ Ó ??? ± ú y? ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?׶ ± Ô§???¤É?¥1? À `?c
` !Àa`!ÀÈô ¡ © ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ? £ ? © ¥ Å ??? ± ú ?? ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ú×¾¡¥»ª?ÉîÍ £ !Á
¢ ? © ¥ 1? À×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ` ?÷
£ © ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?׫&?»? £?¢ ? © ??ü×??? ± úyƤeqÕ&¸ ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À `HY
b 0?»? £?¢ ¾ £ 5??ɻɻ¤ £?ÃÄ£ ? «&?»? £?¢ ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬??? £?ÃÄ£ ¤ £?© ?YúD? À×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À c 3ô
Ç £?³¤©!£ É»? ± ª ³¤© ¥ Å ?!??? ± ú ¢ ¤úËÉ?¥©« £?³¤©!£ Ô§? © ¤ ± À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À cHc
æ&è3çEè?ÜvÛFEQàrq5sut v V
b 0?»? £?¢y³¤©!£ ÉÄ? £?°´± ?§? © ¥§? ±¤± À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À c6Y
b 0?»? £?¢?? ¤ £ ï ± À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ø ?W
b 0?»? £?¢?? ? °3¢ ?Ĥú ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ø (`
b 0?»? £?¢ ??É ³ ª?É»¤3¥ ¢ ¤ú © ??ü×??? ±¤± Æ ¤eqÕ&¸ À×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ø (?
c 5Àdc5ÀXW b 0?»? £?¢ ³!£ ¤ £©£?©©¢§± ?5¥¬?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤3¥!À À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×À ø©÷
b 0?»? £?¢ ? © ?ħ¥§¤3É?¥§? ±¤± À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ
¡ © ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤Y¥®ú £ ?!???¤¤Y¥ ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ±´± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£ «&?»? £?¢ ¥!À
Ç £?³¤©!£ É»? ± ª ³¤© ¥ Å ?!??? ± ú ¢ ¤úËÉ?¥©« £?³¤©!£ Ô§? © ¤ ± À×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ
øYÀ õ!ÀXW ½?? £ ï?Í £?¢§± « ?t?¨É»Ô§? ¢ ??? ± ú ± ?¨ ± ?!? ° ? £?° ¥® à ?»ï © ? ± ?§? £?©¤±¤±
«#¥¬? ©¤± ? ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ
øYÀ õ!ÀÈô ¶ © ¥ ¢§± ???!?e¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥®§¥ À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ
øYÀ õ!Àa` £ ??©Ô§?»???¨¿¤ª!¤Y¥®?®¥§? ± úF¿ © ??ü×??? ± ú À×À×ÀÿÀ×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ×À×ÀÿÀ
f
g è 1'32ËÙD#rÚvÛ0%(' è?ÜvÛ0P?Ùihvæ&Þ4ÜvÛvÝvÜ&Þ§Ù§è?ÜvÛvÛCÙ?%HTj)k2 ä%ß´Ü&èSÙl?vÛ&m´æ&ß9Q â
g è 1'32Eæ&ßD%©Ú&è6)¤Þ§ÙGn h &Þ4ÜvÛ&4¡ß4ÜvÛ&è§ävßCÜ&èËÚvÛ&%(' ß â
o â &p0è84q4¨ÛvÜ&@?â
r sutwv uxDyq !z& {yq|} t ~p z&§ © t &yq?? ?} t
Ç¥? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©?¤?t?þ«&?»? £?¢ ? ¥® à ?»ï © ? ¢ ¥§Ô©? £ Ô £ ü? ± Ô Ê¤± ÉÎ £C£ É»? £ Ô©?¤?¥Í ± ?3Á
ÉÄ? © ª¤«&???!? £ Ô¤¿ ± É ³!£ 4¯¬?»ª??µ« ?¥Í ³¤©¤±e± É»ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥§? ± úYÍAÔ © ¥®?» ±¤Ê ?¤?¥Í £ 裏¥§ÉÄ?»úYÍ?«#¥¬?§?ÎÁ
«#¥¬? ± ¤ ±y± ? ?? ³¤©¤± £?Å ??? ±¤° À ·¥? ± «t¿ ³!£ ÁñÔ ±3¢§± « £ «vª?¿ £ ï H? ú5É»?Yú¤?Ä??ÉîúËÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô £ Ô?¥§? ± ?
« ? £?ÃÄ£?ʤ± ÉÎ5???¤?¤?¥Í ³ ¥§¤??»? £ Ô?ÉÄ?¬¥§? ¢ ¥ © ?©?¤?¥Í ³!£?¢§³¤©!£?û© ¥©«#«??óÆ¢¡ ?ο © ?µ¥® ± ?»ª!ù Óÿ± Í
Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©?¤?t?r¥® ÃÄ£?©¤± ??« ?᥮ à ?»ï © ?¡À?£?ï?? Ê ? £ ?¬¥§¤ ± ? ³¤©!£?û© ¥©«#« ?C? Ó ¥¬?§?Ä4¯©? £
?§??ÉÄ? ±¤©!£ Ô?¥§?¤? ±?¢ ¤ú0ï £ 4¯©ü £?ÃÄ£ ¤Y§¥§É»É?¥×?®¥ ¢ ¥ Ê Ì?¦¡¦¨??¤!? ± Ô©?¤?¡¿5?µÀ ??À £ ï©??É ³ ? ʤ± Ô?¥§ùa?
?®¥ ¢ ¥§?¤?Yª!ùx? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯ © ¥§É Ê ?»?¬¥??wÉ?«tÀ ¿v?5¥ ³¤©¤± «&? © ¿ ³ ¥§¤??»?©?xì??p?kw ± w ?ì????9???¢? ± ?
Æ ¢?hÕÿ¿&?¢??? ± ??Õ?? à ±¤± ¿ ?5¥ ³¤± É?¥§?¤?¤?t???5¥0ú!?µ?r¤??i???1???????(???PÀ&¡ £ Ì»? £ «vª?¿?¤Y¥§¤ ³¤© ¥µÁ
Ô ± £ ¿#?!?»?T?!? £ ï?Í £?¢§± « £ ÉÄ? ±?³¤± É?¥¬?©¯TÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ³¤©!£?û© ¥©«#« ?¡À?£ ¢ ?5¥§¤ £ ¿ Ê ? £ ï??
³!£ ? ± «#¥¬?©¯ ³¤©¤± ?Yú¤?¬ª!ù?Ô?ÉÄ?¬¥§? ¢ ¥ © ?©?¤?¥Í ³!£?¢§³¤©!£?û© ¥©«#«#¥µÍ ± ?¤¦ £?© «#¥§? ± ù £ Ô©? ©!£µÅ Á
¢ ???¤?¤?¥ÍeÉ ± ?¬ª3¥§? ± úYÍ ± ±S£ ï £ ü ± ï?¤Y¥µÍ ³!£ 4¯¬? £ Ô?¥¬?§?ĤúF¿?? © ?»ï§ª!ùa?©Éîúe?§? £?© ?»? ±¤Ê ??É»¤ ± ?
?µ?5¥§? ± úA¤Y¥§¤SÉ?¥©« ± ÍA«&?»? £?¢4£ ÔqÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± úF¿§?¬¥§¤ ±S© ?µ¥® ± ?»ª!ù Óÿ± Í ± ÍA¥® ÃÄ£?©¤± ??« £ Ô¤À
ý&¥§¤ ± ? Å ? ?µ?5¥§? ± ú ³!£ 5?Ä?µ?¤? ³¤©¤± Ô©?tï £?© ? ³!£?¢ Í £?¢ ú Óÿ± Í?Æ¢¡g¿ à ¥ © ¥§?!? ±¤© ª!ù Óÿ± Í
? © ?»ï§ª??µ«vª!ù?? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯EÔ©? ʤ± ÉÎ5???¤? £?ÃÄ£T© ??ü×??? ± úF¿&Ô§? ¢ ¯ Ì?¦¡¦¨??¤!? ± Ô©? £ ÉÄ?©¯C«&?»? £?¢ ¥
?®¥§Ô ± É ± ? £ ?ÿ? £?ÃÄ£ ¿3?5¥§É»¤ £ 4¯©¤ £ÿ³!£ 4? £ Ôÿ?!?µ« ± É ³!£ 4¯¬?»ª??»?©Éûú?É ³ ??? ± ¦ ± ¤Y¥ © ??üg¥¬?µ« £?°
?®¥ ¢ ¥ ʤ± À 8? ©!£ «&?r? £?ÃÄ£ ¿ ± ? £?Ãî¢ ¥ ³!£ ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûúg?®¥ ¢ ¥ ʤ± ¿ ¢ ¤úS¤ £ ? £?© ?¥ÍA? © ?»ï§ª©?»?©Éûúe« £ Á
¢§± ¦ ± ? ±¤©!£ Ô?¥¬??¯eÉÄ?¬¥ © ?t? ± ± É £ ? ¢ ¥§Ô?¥¬?©¯S? £ Ô©?t?׫&?»? £?¢ ? ± ¥® ÃÄ£?©¤± ??« ?¡À
Ç Ì»? £ « © ¥®? ¢ ?Ä5??¤Yª © É?¥ 5??¤¤? ±¤° ¹»ë ± ÉÎ5???¤?¤?t?8«&?»? £?¢ ??¹ © ¥§É»É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥¬?»?©Éûú
?!??É»¤ £ 4¯©¤ £ ?5¥ ± ï £ 5?»? © ¥§É ³¤©!£ ÉÄ? © ¥§?!???¤?¤?¥Í «&?»? £?¢4£ Ô © ??ü×??? ± ú ?®¥ ¢ ¥ Ê ± ?!? ° ? £?°
?
¡ z&§ © t v uxDyq ! !§}??§¢ ! £ ! ?¤¥x{ ux{z& ~ yq ! ! ¦! t¨§ &y!©
?? ?} u v yx{ª! §¬« u } ! ! !¦
¡ eª?ÉÄ?©¯t? © ?»ï§ª??»?©Éûú??5¥ ° ? ±?© ??ü×??? ± ?#É ± ÉÄ?§?µ« ? ± ?!? ° ?¤?¥Í×¥® à ?»ï © ¥ ±¤Ê ??É»¤ ± Í?ª © ¥§Ô®Á
?!??? ±¤° ? óƤeqÕ ¸ ?
A x = b, ? óôYÀXW®?
Ãî¢ ? A = {a ij } m i,j=1 ðA¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬???5¥®úË«#¥¬? ©¤± ?5¥ © ¥®?®«&? © ¥ ¯? m × m ? P¿¤¥ x = {x i } i=1 m ±
b = {b i } i=1 m Ô§??¤!? £?© ÁñÉÄ? £ 5ï??¤?±? x ∈ R m ± b ∈ R m ? PÀ
°
ý ? £?© ?»? ±¤Ê ??É»¤ ±´³¤©¤±Ë© ??ü×??? ±¤± Æ ¤eqÕ ¸²? ôYÀXW ? ¢Ô £ ?®« £?Å ?¤??? ©¤± É ± ?¬ª3¥§? ±¤±
W ©À © ¥§? à «#¥¬? ©¤± ?¤? A © ¥§Ô§??? m ±g© ¥§Ô§??? © ¥§? à ª © ¥§É»ü ±¤© ???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? {Ab}
É ± ÉÄ?§?µ«#¥l? ôYÀXW ? ± «&?»?»?r? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? © ??ü×??? ± ? 1³
°
ôYÀ © ¥§? à © ¥§É»ü ±¤© ???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? {Ab} © ¥§Ô§??? © ¥§? à ª A ± «&???¤¯©ü×? m
°
É ± ÉÄ?§?µ«#¥i? ôYÀXW ? ± «&?»?»?rï©??É»¤ £ ?!? Ê ? £ ??« ? £µÅ ??ÉÄ?©Ô £A© ??ü×??? ±¤° ³
` !À © ¥§? à «#¥¬? ©¤± ?¤? {Ab} ?!? © ¥§Ô§??? © ¥§? à ª A É ± ÉÄ?§?µ«#¥´? ôYÀXW ? e?!? ± «&?»?»?
°
© ??ü×??? ±¤° ? w?!??É £ Ô?«&??ÉÄ?©?5¥1?PÀ
????ü ± ?©¯AÉ ± ÉÄ?§?µ«vªe ± ?!? ° ?¤?¥Í0ª © ¥§Ô©?!??? ±¤° Ô§? £?©!£?ÃÄ£A³!£?© ú ¢ ¤Y¥l? m = 2 ?
a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2
à ? £ «&?»? ©¤±¤Ê ??É»¤ ±Ë£ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?e?5¥ ° ? ± ? £?Ê ¤Yª ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú ¢ Ô¬ª?Í ³¤© ú4« ?¥Í ¿5?®¥ ¢ ¥§?¤?¤?¥Í
ª © ¥§Ô©?!??? ± ú4« ± É ± ÉÄ?§?µ« ?¨À òq¤ú ?®¥§¤ £?° É ± ÉÄ?§?µ« ?x? ©¤± Ô £ ?®« £µÅ ?¤?t? ³¤©¤± © ??ü×??? ±¤±
µ
¦ ?¶¸·º¹3»½¼{¾6¿ÁÀ?Â?ÃÅÄÅÆÅÇDÈ?É?ÃÅÊ?˺¿ÁÌÅÃÅÃ(ÍkÎ?ÏÐÀÑÆÅÃÅÒÅ¿ÁÓ{Ô0Ã?ÈÖÕÅ×ÅÃR×ØÈÚÙ&È?ÆÅÃÅÃiÉ?Ã?É?Ê?ÈÑÛpÂ?ÃÅÆ?È?ÜÅÆÅÇ9Ýi¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×Ø¿ÁÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅýÝ
É?Ã?É?Ê?ÈÑÛrÎ?Ê?ÏÐ×?ÏÐÞ?Ï3Õ?ÏÐ׺àºá?Ò½¿
Ç ³ ? © Ô £ «?ÉΤª Ê ¥¬?yÉ ± ÉÄ?§?µ«#¥ ± «&?»?»?C? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? © ??ü×??? ± ? ¨?óƤeqÕ&¸ ?!?yÔ©?¥Á
©!£µÅg¢ ???5¥1?P¿?Ô £ Ô§? £?©!£ « ï©??É»¤ £ ?!? Ê ? £ « ? £?ÃÄ£?© ??ü×??? ±¤°S± Ô¡? © ?»?©¯§?µ«CÉΤª Ê ¥¬? ? ±
° °
£?¢ ? £?ÃÄ£ ? wÔ £ ï £?± Í0Ì»? ± Í´ÉΤª Ê ¥®úYÍ´É ± ÉÄ?§?µ«#¥rÔ©? ©!£?Åg¢ ???5¥1?PÀ
Ç ³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤ ± Í?Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± úYÍcÔ £ ?®« £µÅ ???C? Ó ? £?¢§± ?cÉΤª Ê ¥ ° À ?v¥§É»É?« £ ? ©¤± «
³¤©¤± «&? © É ± ÉÄ?§?µ« ?
5x 1 + 7 x 2 = 12,
7x 1 + 10x 2 = 17,
¤ £ ? £?© ¥®ú ± «&?»?»?r? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? © ??ü×??? ± ? x 1 = 1 ¿ x 2 = 1 À
¡ eª?ÉÄ?©¯ © ¥§É Ê ?»?eÔ§? ¢ ?»?©ÉûúËÔe« ? £µÅ ??ÉÄ??Ô§? F ʤ± ÉÄ?ÄyÉ ³ §¥§Ô?¥§ù Ó ? ° ?®¥ ³ ú¤? £?° ¿¤ª´¤ £ Á
? £?©!£?ÃÄ£ t = 2 ¿ β = 10 ? t ðפ £ ±¤Ê ??ÉÄ?©Ô £?© ¥®? © ú ¢4£ Ô ¢ ¤úg?®¥ ³¤± É ± «#¥§?!? ± ɻɻ? ʤ± ÉΧ¥¨Ô
F ¿ β ð £ É»? £ Ô?¥§? ± ?×É ± ÉÄ?§?µ« ??É Ê¤± ÉÎ5??? ± ú ³¤©¤± ?Yú¤? £ ?gÔ F À {¡ £?¢§©!£ ï??!?»? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± ?
« ? £µÅ ??ÉÄ?©Ô?¥ ʤ± ÉÄ?ÄSÉ ³ §¥§Ô?¥§ù Ó ? ° ?®¥ ³ ú¤? £?° É?«tÀkâ WÅc ã ± ± â W ?ö ã??PÀ1ä ÉÎ ±r³!£?¢ ÉÄ?¬¥§Ô ± ?©¯qÔ
É ± ÉÄ?§?µ«vª x 1 = 2.4 ± x 2 = 0 ¿µ? £¨³¤© ¥§Ô©?t? Ê ¥§ÉÄ? ± 離 ¢ ªY? © ¥§Ô©?¤? 12 ± 16.8 ¿µ?®À ??À £ ü ± ï¬Á
¤Y¥©«þÔ ³¤© ¥§Ô £?°rÊ ¥§ÉÄ? ± 0 ± 0.2 É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ùa? £ ü ± ï?¤ ±r© ??ü×??? ± ú 1.4 ± −1 À©ýv¥§¤ ± «
£ ï © ¥®? £ «t¿ Ô © ¥§É»É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥¬?µ« £ « ±¤Ã»© ª!ü×? Ê ? £ « « ? £µÅ ??ÉÄ?©Ô§? F x 1 = 2.4 ± x 2 = 0
ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤?¤?a« © ??ü×??? ± ?µ«EÉ ± ÉÄ?§?µ« ? Ô F À?ò??Ä £ Ô×? £ «t¿ Ê ? £r³¤© ú4« ?t??¿
É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ± ?eÌ»? ± « ª © ¥§Ô©?!??? ± ú4« ?5¥´?!??¤ £ ? £?©!£ « £ ? © ?Ä?µ¤?? ³!£?Ê ? ± ÉÎ ± Ô?¥§ùa?®Á
ÉûúFÀ¬Æ ± ÉÄ?§?µ« ?C?¬¥§¤ £?ÃÄ£ Ô ±3¢ ¥e?5¥®?µ?rÔ?¥§ù ??Éîú ³ £ Í £e£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤?¤? « ± À§Ç Ì»? £ «²ÉΤª Ê ¥¬?
å
¦ ?¶¸·º¹(æؼØçjÀ?Ï?ßÐ×Ø¿Áè&È?ÆÅÃ?È Õ½ÂØÏÑݺÏ&Ï?ßÐË?ÉÚÂØÏÐÎÐÂØÈ?ÆÅÆ?ÏÐÜ¢É?Ã?É?Ê?ÈÑÛ6ÇéÂ?ÃÅÆ?È?ÜÅÆÅÇ9Ý ¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×Ø¿ÁÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅýÝêÉ?Ã?É?Ê?ÈÑÛ Î?Ê?ÏÐ×?ÏÐÞ?Ï
Õ?ÏÐ×ëàºá?ÒÅ¿
Æ 5? ¢ ª??»? £ ??«&?»? ± ??¯¤¿ Ê ? £r¢ ¤úÿ« ? £?û± ͨ?®¥ ¢ ¥ Ê ? w?5¥ ³¤©¤± «&? © ¿»Ì?¤ £ ? £ « ±¤Ê ??É»¤ ± Í ?? ³¤©¤±
Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ±¤±Ë© ??ü×??? ± ú´Ô?¥ Å ? £ ¿ Ê ? £ ï?? ³¤©¤±´³!£?¢ ÉÄ?¬¥§? £ Ô©¤??q? ÃÄ£ ÔSÉ ± ÉÄ?§?µ«vª ³¤© ¥§Ô©?t?
Ê ¥§ÉÄ? ± «#¥® £c£ ?? ±¤Ê ¥® ± É»¯?ï?? £ ? ± Í ? £?Ê ?¤?¥Í ?µ?5¥ Ê ??? ±¤° ? wÔcÌ»? £ « ÉΤª Ê ¥¬? ÃÄ£ Ô £ Á
© ú¤?µ¿ Ê ? £ «#¥®§¥0?!??Ô¬ú!?µ¤Y¥1?PÀ ý £ ??ÉÄ?©¯ ÃÄ£?¢§± ?©Éûúþ4ùaï £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £ ? © ??ü×??? ± ? ± ?
£ ??«&? Ê ???¤? £?° ?5¥ ©¤± ÉΪ!?¤¤?? ³!£ £ É»?¡À
ë??µ«Qï £ 4¯©ü×? ³!£?© ú ¢4£ ¤EÉ ± ÉÄ?§?µ« ?¡¿(?§?µ« ? © ª ¢ ?!?»?eÔ©?¢ú5Ô¬¤ú¤?©¯ ± ¿ ?§?µ« ï £ 5?»??¿ ± ?3Á
?§? ©¤³¤© ?»? ±¤©!£ Ô?¥¬??¯ ³¤©¤±¤Ê¤± ?¤?ºï £ 4¯©ü £?° ³!£ ?§? ©¤± ? £?Ê ? £ ÉÄ? ±Q³¤©¤± © ??ü×??? ±¤± Æ ¤eqÕ ¸ ¿
Ô©?¢?µÔ?¥§?¤? £?° «#¥®4? « ±²£ ü ± ï?¤3¥©« ± Ô®Í £?¢ ?¤?¥Í ¢ ¥§?¤?¤?¥Í?? ³¤©¤±¤Ê¤± ?¤? ³ £ Í £?°Ë£ 離?ÉÎ £ Ô®Á
5???¤? £ ÉÄ? ± É ± ÉÄ?§?µ« ???PÀ
½¡¥ ³¤©¤± «&? © ¿ ³¤© ? ¢ ÉÄ?¬¥§Ô©¯??§?¡ÉÄ?»ï©??Ô×? © ?ÎÍ5«&? © ? £ « ³¤©!£ ÉÄ? © ¥§?¤ÉÄ?©Ô§?¨? ©¤± ³ ¥ © ¥®¤5?Ä4¯®Á
?¤?t? ³¤© ú4« ?t??¿ ³¤©!£ Í £»¢ ú Óÿ± ? Ê ? © ?Ä??Ô§? © ü ± ?¤? ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? ± ¤Y¥ ±C³ ? ©¤³ ??? ¢§± ¤Yª®¤ú © Á
?¤?t??? ÃÄ£e³ £ É»¤ £ ÉÄ? ± À§ý ©¤±²³ £ É»¤ £ ÉÄ? ± ¿§É £»¢ ? ©?Å ¥ Óÿ± ? ³ ¥ © ??Ì»? ± Í ³¤© ú4« ?¥Í ¿4?!? ³ ¥µÁ
© ¥®¤5?Ä4¯©?¤?¡¿Y? £g± ?!? ± «&??ùa?g? ±e£?¢ ? £?°e£ ï Ó ? ° ? £?Ê ¤ ± À 9ä ÉÎ ±eÅ ? £?¢ ?Yª ± ? ³ £ É»¤ £ Á
ÉÄ?§? ° ÉÎ5? à ¤3¥ÿ?5¥§¤Y £ ? ± ?©¯¤¿¤? £ ? ©¤±´³ £ É»¤ £ ÉÄ? ±0³ ? © ??ÉÄ??¤YªY?©Éûú0Ô £?¢ ? £?° ? £?Ê ¤???À4Æ £©£ ?®Á
Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Ó ¥®úCÉ ± ÉÄ?§?µ«#¥eª © ¥§Ô©?!??? ±¤° 離 ¢ ?»? ³ £ Í £Ë£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £?° À F¡e £ ÍY¥®ú £ 離?Á
ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ?©¯ ³¤©!£ ú5Ô¬¤ú¤?»?©ÉûúCÔ´? £ «t¿ Ê ? £ Ô0?®¥§Ô ± É ± « £ ÉÄ? ±T£ ? ³!£?© ú ¢ ¤Y¥ ¢ ? ° ÉÄ?©Ô ±¤°
« £µÅ ? £ Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?©¯ © ??ü×??? ± ? ± É © ¥®?» ±¤Ê ? £?° ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù×À{ä ÉÎ ± ¿ © ??üg¥®ú0?®¥ ¢ ¥ Ê ª?¿
É»?5¥ Ê ¥®§¥S?5¥ ° ? ± ± ? ± ù ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú ³ £ É»¤ £ ÉÄ?§? ° ¿ ³ ? ©¤³ ??? ¢§± ¤Yªµ¤ú © ?¤?¥Í ³ £ É»¤ £ Á
ÉÄ? ± ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? ± ¤3¥!¿§¥ÿ?®¥¬?§?µ«?? £?Ê ¤Yª ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú0?5¥ °3¢ ???¤? £?°Ë³¤© ú4« £?° ɨ? © ?»?©¯§? °
³ £ É»¤ £ ÉÄ?©¯©ù׿!? £A© ??ü×??? ± ??離 ¢ ?»?S?5¥ °3¢ ??? £ Ée?®¥ ¢ ¥§?¤? £?° ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù×ÀDä ÉÎ ± Å ? ± ?ÄÁ
«&??? ± ?©¯ ³!£?© ú ¢4£ ¤ ¢ ? ° ÉÄ?©Ô ±¤° ¿µ?µÀµ??Àµ?5¥ ° ? ± É»?5¥ Ê ¥®§¥t ± ? ± ù ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú?ÉÎ5? à ¤Y¥r?5¥µÁ
ì
¤Y £ ?!???¤? £?°þ± ³ ? ©¤³ ??? ¢§± ¤Yª®¤ú © ? £?°þ³ £ É»¤ £ ÉÄ?§? ° ¿%? £´³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú ³ £ Í £ £ 離?ÉÎ £ Ô®Á
5???¤?5¥®úT?®¥ ¢ ¥ Ê ¥!¿ ?¬¥§¤C¤Y¥§¤C?5¥ °3¢ ???¤?5¥®úT ± ? ± ú ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú ³!£?Ê ? ±C³ ¥ © ¥®¤5?Ä4¯©?5¥
? © ?»?©¯§? °²³ £ É»¤ £ ÉÄ? ± À
£ Ê ??Ô ±3¢ ? £ ¿ Ê ? £?³¤©¤± 4ùaï??¥Í © ¥§É Ê ?»?¬¥µÍ?? © ?»ï§ª??»?©Éûú ³!£ ¤ª ʤ± ?©¯ © ??ü×??? ± ? É#?®¥ ¢ ¥§?3Á
? £?° ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù×À?òq¤ú £ ?!??? £ ¤ ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± «&?»? £»¢4£ Ô?? © ?»ï§ª??»?©ÉûúeÔ©Ô§??ÉÄ? ±S£?³¤© ? ¢ ?ÎÁ
5??? ± ??? £?© «8«#¥¬? ©¤± ? ± Ô§??¤!? £?©!£ Ô¤À
C â " ã²Þ4æ&4q#í4¡ß?)!ævÛ0? Û Ù§è?Ý0)¤Þ4æ&Þ§Ù
¡ eª?ÉÄ?©¯rÔ§??¤!? £?© x ∈ R m ¿5¥r¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?5¥®úy«#¥¬? ©¤± ?5¥ A ± «&?»?»? © ¥®?®«&? © m × m À
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñØö ½ £?© « £?° Ô§??¤!? £?© ¥ x ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ³!£ ÉÄ?¬¥§Ô¬5???¤? £ ?´?µ«vª?ÔþÉ £©£ ?©Ô§?»?®Á
ÉÄ?©Ô ± ???!? £ ? ©¤± ?5¥¬?©?Ä4¯©? £ ? ʤ± ÉÎ £ x ?®¥§¤ £ ??¿ Ê ? £
W ©À x > 0 ¿ ³¤©¤± x = 0 ¿ x = 0 ⇔ x = 0 ¿
ôYÀ cx = |c| x ¿!??ÉÎ ± c ð ø÷Å?1?kùÁ??¿
` !À x + y x + y , x, y ∈ R m À
¡ ©¤±?ʤ± ÉÎ5???¤?¤?¥Í © ¥§É Ê ?»?¬¥µÍ×?5¥ ± ï £ 5?»? Ê ¥§ÉÄ? £ ª ³!£ ? © ?»ï§¤ú5ùa?©ÉûúgÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± ?¥? £?© Á
« ??Ô§??¤!? £?©!£ Ô
m
W ©À x 1 = |x i | ¿
i=1
m
ôYÀ x 2 = |x i | 2 ðA??Ô©¤Y ±3¢4£ Ô?¥r? £?© «#¥!¿
i=1
` !À x ∞ = max |x i | ð Ê ?»ï??rü×??Ô©É»¤Y¥®ú0? £?© «#¥!À
1 i m
·¥? ± ? £?© « ??ɻԬú!?®¥§?¤? ¢§© ª Ã É ¢§© ª ÃÄ£ «?ÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± « ± ?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥©« ±
√m x
x ∞ x 1 m x ∞ , x ∞ x 2 ∞ ,
? óôYÀÈôH?
x /√m x x .
1 2 1
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñØö ½ £?© « £?° ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?ú? ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ³!£ ÉÄ?¬¥§Ô¬5???¤? £ ??? °
ÔSÉ £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô ± ?×?!? £ ? ©¤± ?5¥¬?§?Ä4¯©? £ ? ʤ± ÉÎ £ A ?¬¥§¤ £ ??¿ Ê ? £
W ©À A > 0 ¿ ³¤©¤± A = 0 ¿ A = 0 ⇔ A = 0 ? ª ?Yª®4¯®Á«#¥¬? ©¤± ?¤? Ô©ÉÄ?
»?û
ôYÀ cA = |c| A ¿¤??ÉÎ ± c ð ?÷Å?1?kùÁ??¿
` !À A + B A + B ¿ B ð?¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?5¥®úy«#¥¬? ©¤± ?5¥ © ¥®?®«&? © ¥ m × m ¿
c 5À A B A B À
½¡¥ ± ï £ 5?»? Ê ¥§ÉÄ? £ ª ³!£ ? © ?»ï§¤ú5ùa?©Éûú²ÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± ??? £?© « ??«#¥¬? ©¤± ?
m
W ©À A 1 = max |a ij | Á´«#¥§¤3É ± «#¥®4¯©?5¥®ú ÉΪ¤«#«#¥ « £?¢ ª®5? ° ÌÄ5?µ«&???!? £ Ô
1 j m i=1
ÉÄ? £ 5ï?? £ Ô¤¿
ôYÀ A 2 = 1 i m max (λ AA ∗ ) i ¿§? ¢ ??É»¯ (λ AA ∗ ) i ð pü Á £ ?gÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? ʤ± ÉÎ £ «#¥¬?®Á
©¤± ?¤? AA ∗ ¿
m
` !À A ∞ = max |a ij | Áe«#¥§¤3É ± «#¥®4¯©?5¥®ú ÉΪ¤«#«#¥á« £»¢ ª®5? ° ÌÄ5?µ«&???!? £ Ô
1 i m j=1
ÉÄ? ©!£ ¤ À
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñ À?½ £?© « ? «#¥¬? ©¤± ? ± Ô§??¤!? £?©!£ Ô¤¿ ª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú5ù Óÿ± ???!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô¬ª
Ax A x ¿5?5¥®?µ?rÔ?¥§ùa?©ÉûúËÉ £?à §¥§É £ Ô?¥§?¤?¤? « ± À
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñ À Dä ÉÎ ± A = sup Ax / x ¿¤? £ ? £?© «#¥ A ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éîú ³!£?¢ Á
x =0
ʤ± ?!???¤? £?° ? £?© «&? x Ô§??¤!? £?© ¥ x À
Ç¥ÉÄ?rÔ©Ô§? ¢ ???¤?¤?t? ? £?© « ? « ¥¬? ©¤± ? ³!£?¢§Ê¤± ?!???¤?8É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ± «E? £?© «#¥©«þÔ§??¤3Á
? £?©!£ Ô¤¿¤?®À ??À A α = sup Ax α / x α ¿ Ãî¢ ? α = 1, 2, ∞ À
x α =0
£ ???«&?»? ± «t¿ Ê ? £²³!£?¢§Ê¤± ?!???¤?5¥®úE? £?© «#¥0«#¥¬? ©¤± ?¤???!?Sï £ 4¯©ü×?SÉ £?à §¥§É £ Ô?¥§?¤? £?° É
? £?°0Å ?×? £?© « £?° Ô§??¤!? £?© ¥!À!ò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿ ³ ª?ÉÄ?©¯ A α ³!£?¢§Ê¤± ?!???5¥S? £?© «&??Ô§??¤3Á
? £?© ¥ x α ¿¬¥a? £?© «#¥ A β É £?à §¥§É £ Ô?¥§?5¥rÉ ? £?°?Å ?¢? £?© « £?° Ô§??¤!? £?© ¥ x α = x β ¿
? £ ??ÉÄ?©¯
A α = sup Ax α / x α , Ax β A β x β .
x =0
¡ eª?ÉÄ?©¯ sup Ax α / x α ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ¥¬?»?©Éûú ?5¥AÔ§??¤!? £?© ? x 0 ¿ ± x 0 α = x 0 β = 1 ¿
x =0
? £?Ãî¢ ¥ ¢ ¤ú?Ô§??¤!? £?© ¥ x 0 Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©Éûú A α = Ax 0 α = Ax 0 β A β x 0 β =
A β À
Ç ³¤©¤± £µÅ ??? ± úYÍ Ê ¥§ÉÄ? £A± É ³!£ 4¯¬?»ª!ùa?©Éûú´? Ó ? ¢ Ô§?q? £?© « ?
W ©À M (A) = m max |a ij | À
1 i,j m
·¥?¬¥²? £?© «#¥ËÉ £?à §¥§É £ Ô?¥§?5¥0É £ Ô©ÉÄ?µ« ± Ô©Ô§? ¢ ???¤?¤? « ± ? £?© «#¥©« ± Ô§??¤!? £?©!£ Ô¤¿ ? £ ?!?
»½»
ü×??? ±¤°?¢ ¤ú´? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? E
E = sup Ex / x = 1, M (E) = m.
x =0
m
ôYÀ S(A) = |a ij | 2 ??Ô©¤Y ±3¢4£ Ô?¥E? £?© «#¥ý?w? £?© «#¥ Ðÿ©!£ ï©??? ± ª?É?¥!¿ ? £?© «#¥
i,j=1 °
? ª © ¥ 1?PÀ
·¥?¬¥?? £?© «#¥A?¬¥§¤ Å ?SÉ £?à §¥§É £ Ô?¥§?5¥AÉ £ Ô©ÉÄ?µ« ± Ô©Ô§? ¢ ???¤?¤? « ± ? £?© «#¥©« ± Ô§??¤!? £?©!£ Ô¤¿
? £ ?!? ³!£?¢§Ê¤± ?!???5¥?? ±y£?¢ ? £?° ± ?S? ± Í ¿§?¬¥§¤þ¤Y¥§¤ ¢ ¤ú ? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? E Ô©?¥Á
³!£ 4?Yú5ùa?©Éûú © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
E = sup Ex / x = 1, S(E) = √m.
x =0
C â C ? ²ÞD@§æ&è3çTÜ&ÞD%H)k2þhvævÛ&A9'&ÛydCè?ÜvÜ&ÞD@©Þ?æ&è3çEè?ÜvÛFEÿ%©Û&%H)¤è84q# Û Þ DA?TD%(' Þ§ÙkS
' è?ÜvÜ&ÞD%H)k2¨4¡ß?)!ævÛ0?
¡ eª?ÉÄ?©¯g? © ?»ï§ª??»?©Éûú © ??ü ± ?©¯AÉ ± ÉÄ?§?µ«vª
Ax = b
¡ ©¤± 4ùaï £ « © ¥§É Ê ?»?§? £?¢ ? ± « ± ? £ É»? £ Ô©?¤?¥Í ú5Ô¬¤ú¤?»?©ÉûúQÔ £?³¤©!£ É £á³!£?û© ??üÿ? £ Á
ÉÄ? ± À ½?? ± ??ï©? Å ?¤?t?SÔ©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©?¤?t? £ ü ± ï?¤ ± ¿ ɻԬú!?®¥§?¤?¤?t?SÉ £ ¤ © ª à 5??? ± ?µ«¢¿F« £ Á
à ªY?AÉ ± 4¯©? £e± É»¤Y¥®? ± ?©¯AÔ©? ʤ± ÉÎ5???¤? £ ? © ??ü×??? ± ? ¢ ¥ Å ?×ÔSÉΤª Ê ¥¬??¿5¤ £?Ãî¢ ¥ £ ? £ ? ¢§± ?3Á
ÉÄ?©Ô§???¤? £ ± ± É ³!£ 4¯¬?»ª??»?©Éûú ? £?Ê ?¤? ° «&?»? £?¢ ¿r¤ £ ? £?© ? °?³¤©¤± £ ?©ÉΪY?©ÉÄ?©Ô ±¤±?£ ü ± ï £ ¤
£ ¤ © ª à 5??? ± ú0?®¥g¤ £ ?!? Ê ? £ ? ʤ± ÉÎ £S£?³ ? © ¥§? ±¤°´³!£ ?µÔ £ ¤ú¤?»?S?5¥ ° ? ± ? £?Ê ? £ ? © ??ü×??? ± ??À
·¥? £´³¤©!£?± ÉîÍ £?¢§± ?µ¿(??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥¯? ³ £ Í £0£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???5¥!¿%? £ ??ÉÄ?©¯0«#¥®4?t? ³!£ Á
û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± ? wÔ £ ?®«vª Ó ??? ± ú D?ÿÔ®Í £?¢ ?¤?¥Í ¢ ¥§?¤?¤?¥Íþ? ?µ?5¥ Ê ??? ±¤° ÌÄ5?µ«&???!? £ ÔE«#¥¬? ©¤± ?¤?
± ± ¤ £ « ³!£ ?!???!?0Ô§??¤!? £?© ¥ ³¤© ¥§Ô©?¥Í Ê ¥§ÉÄ?§? ° ? e« £?à ªY?0Ô©?¢?µÔ?¥¬?©¯?ï £ 4¯©ü ± ? £ ü ± ï?¤ ± Ô
© ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?µ« £ « © ??ü×??? ±¤± À4Õ ³¤©¤±!£?©¤± Ô©?¢ú5É»?Yú¤?©¯¤¿%¤Y¥§¤Y¥®ú É ± ?¬ª3¥§? ± ú © ?µ¥® ± ?»ª??»?©Éûú
Ô © ??üg¥¬?µ« £ « ³¤©¤± «&? © ??¿ Ê ¥§ÉÄ? £ ? © ª ¢ ? £ ¿§¥ ± ? £?Ãî¢ ¥ ± ?!??Ô £ ?®« £µÅ ? £ À
£ ¨ü ± ï?¤ ± £ ¤ © ª à 5??? ± ú ³!£ ú5Ô¬¤ú5ùa?©ÉûúF¿¤¤Y¥§¤ ³¤© ¥§Ô ± £ ¿Yª Å ? ³¤©¤± Ô©Ô £?¢ ? ¢ ¥§?¤?¤?¥Í´Ô
³ ¥©«vú¤?©¯qÔ©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©? £?° «#¥§ü ± ?¤? ?wÉ?«tÀkâ WÅc ã ± ± â W ?ö ã??P¿¬? £ ??ÉÄ?©¯¡Ô?«&??ÉÄ? £ É ± ÉÄ?§?µ« ?
»?æ
? ôYÀXW ? © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?»?©Éûú © ??ü×??? ± ?qÉ ± ÉÄ?§?µ« ?
(A + ?A)x = b + ?b, ? óôYÀa`1?
Ãî¢ ? ?A «#¥¬? ©¤± ?5¥!¿%ÌÄ5?µ«&???!?©? ¤ £ ? £?©!£?° ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûú £ ü ± ï?¤Y¥©« ± É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ùrÁ
°
Óÿ± ÍyÌÄ5?µ«&???!? £ Ô «#¥¬? ©¤± ?¤? A ¿ ?b Ô§??¤!? £?© ¿(¤ £ « ³!£ ?!???!?©?h¤ £ ? £?©!£?ÃÄ£ ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éîú
°
£ ü ± ï?¤Y¥©« ± É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ??Ô¬ª!ù Óg± Í ¤ £ « ³!£ ?!???!? Ô§??¤!? £?© ¥ b À j¡eª?ÉÄ?©¯ ± ?µÔ§??ÉÄ?©?¤? £ ?!???¤¤ ±
?A ± ?b ¿ ± «#¥¬? ©¤± ?¤? A ± A + ?A ?!?¡Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤?¡¿¤? £ ??ÉÄ?©¯rÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª!ùa?
A −1 ± (A + ?A) −1 À
¡ eª?ÉÄ?©¯ x ? £?Ê ? £ ? © ??ü×??? ± ??É ± ÉÄ?§?µ« ? ? ôYÀXW ? P¿ x ∗ ? £?Ê ? £ ? © ??ü×??? ± ?¨É ± ÉÄ?§?µ« ?
° °
? ôYÀa` ? PÀ{£¨?!??? ± « ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ ?x = x − x ∗ ¿%Ô©?¢?µ?rÔ?¥¬?µ«vª!ù ± üÿ¯ ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ??úYÁ
« ± Ô®Í £?¢ ?¤?¥Í ¢ ¥§?¤?¤?¥Í ?A ± ?b ? w?!? ± ??ï©? Å ?¤?t? £ ü ± ï?¤ ±á£ ¤ © ª à 5??? ± ú ³¤©¤±
Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ±¤±T© ??ü×??? ± úþ?!?gª ʤ± ?©?rÔ?¥§ùa??ÉûúD?PÀ Ç?É ± ¤ª² ± ?!? ° ? £ ÉÄ? ± ?®¥ ¢ ¥ ʤ± « £µÅ ? £
© ¥§É»É?« £ ? © ?»?©¯ £ ? ¢ ?Ä4¯©? £ Ô¬ ± ú5? ± ? £ ü ± ï £ ¤ ³¤© ¥§Ô £?°EÊ ¥§ÉÄ? ±E±þ£ ü ± ï £ ¤þÌÄ5?µ«&???!? £ Ô
«#¥¬? ©¤± ?¤?¡À
W ©ÀD¡eª?ÉÄ?©¯ ?A = 0 ¿5¥ ?b = 0 À§¼e??? ôYÀXW ? ± ? ôYÀa` ? ¢ÉÎ5? ¢ ª??»?µ¿ Ê ? £
x = A −1 b,
x ∗ = A −1 (b + ?b).
£ ??©É»ù ¢ ¥ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúË?!? ³!£?Ê ¤Y¥ © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô
x ∗ − x = A −1 (b + ?b) − A −1 b = A −1 ?b,
?b
?x = x ∗ − x = A −1 ?b A −1 ?b = A −1 b ,
b
b = Ax A x ,
?b
?x A −1 A x .
b
ýv¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ « ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú £ ?!???¤¤Y¥ £ ?©? £ É ± ?§?Ä4¯©? £?°?³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ±?© ??ü×??? ± ú
Æ ¤eqÕ&¸a¿5Ô©?¢?µÔ?¥§?¤?5¥®ú £ ?©? £ É ± ?§?Ä4¯©? £?°²³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯©ù ³¤© ¥§Ô £?°´Ê ¥§ÉÄ? ±
?x ?b
A −1 A . ? óôYÀdc8?
x b
» ¥
ôYÀD¡eª?ÉÄ?©¯ ?b = 0 ¿5¥ ?A = 0 À4¼e??? ôYÀXW ? ± ? ôYÀa` ? ¢ÉÎ5? ¢ ª??»?
x = A −1 b,
x ∗ = (A + ?A) −1 b.
£ ??©É»ù ¢ ¥ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú
x ∗ − x = (A + ?A) −1 − A −1 b.
¡ © ? £ ï © ¥®?»ª??µ«?Ô©? © ¥ Å ??? ± ?
(A + ?A) −1 − A −1 = A −1 A (A + ?A) −1 − A −1 (A + ?A) (A + ?A) −1 =
= A −1 (A − (A + ?A)) (A + ?A) −1 = −A −1 ?A (A + ?A) −1 .
ý ? ³ ? © ¯
?x = −A −1 ?A (A + ?A) −1 b = −A −1 ?A x ∗ ,
?A
?x = A −1 ?A x ∗ A −1 A x ∗ .
A
òq¤ú £ ?!???¤¤ ±²£ ?©? £ É ± ?§?Ä4¯©? £?°y³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ±²© ??ü×??? ± ú Æ ¤eqÕ&¸a¿4Ô©?¢?µÔ?¥§?¤? £?°Ë£ ?©? £ Á
É ± ?§?Ä4¯©? £?°Ë³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯©ù «#¥¬? ©¤± ?¤??É ± ÉÄ?©?µ«&?¡¿ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúËÔ©? © ¥ Å ??? ± ?
?x ?A
A −1 A . ? óôYÀÈøH?
x ∗ A
Ç¥É ³!£ « ? ± «t¿ Ê ? £0£ ?©? £ É ± ?§?Ä4¯©?¤?t? ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± δ(x) = ?x / x ± δ(x) =
?x / x ∗ £ ?? ±¤Ê ¥§ùa??Éûú ¢§© ª Ã#£ ? ¢§© ª à ¥r?5¥¢ï©??É»¤ £ ?!? Ê ? £ «#¥®4?t? ³!£?© ú ¢ ¤Y¥ O( ?x 2 )
± É Ê¤± ?®¥§ùa?©Éûú²?!? © ¥®?» ±¤Ê¤± « ? « ± À%¼e??? ôYÀdc ? ± ? ôYÀÈø ? ¥ÉÎ5? ¢ ª??»?®¿ Ê ? £
δ(x) cond(A) ?A / A ± ± δ(x) cond(A) ?b / b ,
Ãî¢ ? cond(A) = A −1 A ʤ± ÉÎ £ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± «#¥¬? ©¤± ?¤? A À jä ÉÎ ± ³!£ Á
°
û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± ?b → 0 ± ?A → 0 ¿4? £0±y³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ © ??ü×??? ± ú ?x → 0 À
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ¿ ??ÉÎ ± ? £?© «#¥ «#¥¬? ©¤± ?¤? ³!£?¢§Ê¤± ?!???5¥ ? £?© «&?cÔ§??¤!? £?© ¥!¿ ? £Q³!£ ¤ª?Á
Ê ???¤?¤?t? £ ?!???¤¤ ± ?!?Ä4¯¬?»ú ª®¤ª Ê ü ± ?©¯¤¿t?¬¥§¤?¤3¥§¤ ÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª!ùa?á?¬¥§¤ ± ? ?b → 0
± ?A → 0 ¿ Ê ? £²£ ?!???¤¤ ±C³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± ? ôYÀdc ? ± ? ± ± ?i? ôYÀÈø ? ³¤© ??Ô © ¥ Ó ¥§ùa?©ÉûúCÔ
» ?
ä ÉÎ ±Qʤ± ÉÎ £?£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± cond(A) = A −1 A «#¥® £ ¿ ? £ É ± ÉÄ?§?µ«#¥
? ôYÀXW ? Í £?©!£ ü £¨£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???5¥!¿®??ÉÎ ±×Å ? £ ? £ Ô§?Ä ± ¤ £ ¿¬? £q³ £ Í £¨£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???5¥!À1?¡¥§¤ £ ?
?µ?5¥ Ê ??? ± ? ʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± É Ê¤± ?¬¥¬?»?©Éûú?ª û©!£µÅ ¥§ù Ó ? ï £ 4¯©ü ± «0?®¥§Ô ± É ± ? £ ?
? £?Ê ? £ ÉÄ? ± Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©? £?° «#¥§ü ± ?¤?þ?w¤ £ ±¤Ê ??ÉÄ?©Ô?¥q? ± ¦ © t ¢ ¤úS?®¥ ³¤± É ± «#¥§?!? ± ÉPÁ
É»? ʤ± ÉΧ¥1?PÀ!ý&¥§¤ ¿3??ÉÎ ± Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©!£ Ô £?¢ ú¤?©Éûú0?5¥ÿ¤ £ « ³ ¯©ùa?§? © ?¡É?? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù t
? ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯?Ô®Í £?¢ ?¤?¥Í ¢ ¥§?¤?¤? Í O(2 −t ) ? P¿?? £ÿ³¤©¤± ?µ?5¥ Ê ??? ±¤±eʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???3Á
? £ ÉÄ? ± O(2 t/2 ) ?!?Ä4¯¬?»ú à ¥ © ¥§?!? ±¤©!£ Ô?¥¬?©¯r¤ª Ê ü?ª!ù ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯¤¿ Ê ?µ« O(2 −t/2 ) À
ë ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± cond(A) = A −1 A £ 裏¥ ¢ ¥§ùa?CÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± « ±
É»Ô £?° ÉÄ?©Ô?¥©« ±
W ©À cond(A) ≥ 1 À ò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿ A A −1 = E ⇒ 1 = E = A A −1
A A −1 = cond(A) À
ôYÀ cond(c A) = cond(A) ¿ c ÷Å?1?kùÁ??À
°
` !À cond(A B) cond(A) cond(B) À
c 5À cond(A −1 ) = cond(A) À
max d ii
øYÀ cond(D) = 1 i m min d ii ¿®??ÉÎ ± D ° ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úr«#¥¬? ©¤± ?5¥R? D = diag(d ii ) ? PÀ
1 i m
£ Ê ??Ô ±3¢ ? £ ¿ ʤ± ÉÎ £á£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± ?®¥§Ô ± É ± ? £ ?á? £?ÃÄ£ ¿¢¤Y¥§¤Y¥®ú ± É ³!£ 4¯¬?»ª©?»?¬Á
ÉûúË? £?© «#¥!À?ä ÉÎ ± ª ʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± ?!?ÿ?5¥ ³¤± É?¥§?¤? ± ? ¢ ??¤3É»??Ô©?tï © ¥§?¤? £?°
? £?© « ?¡¿¤? £e³!£ ª¤« £ Ê ¥§? ± ù cond(A) = A 2 A −1 2 À
Ç¥? ʤ± ÉΤú¤?©¯ cond(A) ¢ ¤ú ³¤©!£?± ?µÔ £ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤??? © ª ¢ ?5¥®úF¿©¥ ± ? £?Ãî¢ ¥??!??Ô©?¥Á
³!£ 4? ± «#¥®ú´?®¥ ¢ ¥ Ê ¥!¿ ³!£ Ì»? £ «vª ³!£ ¤ª Ê ???¤?¤?t? £ ?!???¤¤ ±²³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ±Ë© ??ü×??? ± ú ¨? ôYÀXW ?
?!? ± «&??ùa? ³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤ £?ÃÄ£ ?µ?5¥ Ê ??? ± úF¿ ? £c³!£ « £?à ¥§ùa? ³!£ ?Yú¤?©¯¤¿ ¤Y¥§¤ ³¤©!£?± ÉíÍ £?¢§± ?
³!£ ?§? © ú´? £?Ê ? £ ÉÄ? ± À
¡ £ ú5É»? ± «EÉ?« ?tÉΠʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± ?5¥ ³¤©¤± «&? © ??É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°e³!£ £ Á
ÅA± ?§?Ä4¯©? £8£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? A = A ∗ > 0 À¥¸ ?¬¥§¤ £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? Åÿ£?© Á
¢ ¥§? £ Ô?¥ ¦ £?© «#¥ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥!À¡Æ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥ ³!£ £µÅA± ?©?Ä4¯©?¤? λ i > 0 ¿
i = 1, . . . , m ¿ ¥eÉ £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ± ? ± «QÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?gÔ§??¤!? £?© ? ? i ¿ i = 1, . . . , m
» f
£ ï © ¥®?»ª!ùa? £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? ° ï?¥®? ± ÉgÔ ³¤©!£ ÉÄ? © ¥§?¤ÉÄ?©Ô§? R m À?Ç¥? ³¤± ü×?µ«Q? £?© «vª É ± « Á
«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°²³!£ £µÅS± ?©?Ä4¯©? £A£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° « ¥¬? ©¤± ?¤?
A = max (λ ) = max λ 2 = max λ ,
2 1 i m AA ∗ i 1 i m i 1 i m i
± ?»? ʤ± ÉÎ £S£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ±
max λ i
cond(A) = 1 i m .
min λ i
1 i m
?v¥®?» £µÅA± « ± É»¤ £ « £ ? © ??ü×??? ± ?qÉ ± ÉÄ?§?µ« ? ? ôYÀXW ? ± Ô§??¤!? £?© b ³!£ ï?¥®? ± ÉΪ
m m
x = C i ? i , b = β i ? i .
i=1 i=1
¡ £?¢ ÉÄ?¬¥§Ô ± «áÌ»? ±Ë© ¥®?» £?Å ??? ± ú²Ôl? ôYÀXW ?
m m m m
A C i ? i = β i ? i ⇒ C i A(? i ) = β i ? i ⇒
i=1 i=1 i=1 i=1
m m β
i=1 C i λ i ? i = i=1 β i ? i ⇒ C i λ i = β i ⇒ C i = λ i i .
ä ÉÎ ± ?µ?5¥ Ê ??? ± ? β i ?®¥ ¢ ¥§? £ É ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯©ù ε i ¿?? £ Ô © ¥®?» £µÅ ??? ±¤±?© ??ü×??? ± ú x
ªA¤ ε i À £ Ì?¦¡¦ ± ? ± ???!?¬¥ C i = β λ i i + λ ε i i ³!£ ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ ?C i =
λ i
¡ eª?ÉÄ?©¯ ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± |ε i | ε ¿ i = 1, . . . , m ¿ λ k «#¥§¤3É ± «#¥®4¯©? £ ¡ ¿?¥ λ l « ± Á
° °
? ± «#¥®4¯©? £ ¡ É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?q?µ?5¥ Ê ??? ± úy« ¥¬? ©¤± ?¤? A À4ý £?Ãî¢ ¥e« ± ? ± « ¥®4¯©?5¥®ú £ ü ± ï?¤Y¥
?C k © ??ü×??? ± ú x É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª??»?E?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ùºÔ§??¤!? £?© ¥ ? k ¿#¥þ«#¥§¤?É ± «#¥®4¯©?5¥®ú
£ ü ± ï?¤Y¥ ?C l ?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ù Ô§??¤!? £?© ¥ ? l À
°
Ò £ 4¯©üg¥®ú0Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?5¥ ʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ±0£ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?µ¿ Ê ? £A£ ü ± ï?¤ ± £ ¤ © ª à Á
5??? ± úeÔ ¢4£ 4¯×?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ±¤° ? k ± ? l É ± 4¯©? £ÿ± É»¤Y¥ Å ¥§ùa? © ??üÿ??? ± ??À?½¡¥ à ¤ú ¢ ? £ Ì»? £
« £µÅ ? £e³¤© ? ¢ ÉÄ?¬¥§Ô ± ?©¯S?¬¥§¤ ¿
¦ ?¶¸·º¹ ¥ ¼ £¢?ÂØÈ?Îë¿!ÃÅÀ?Ï?ßÐ×Ø¿Áè&È?ÆØ¿qÏ?ßÁ®¿ÐÉ?Ê¥¤qÎqÕ½ÂØÏ?É?ÒºÏ?É?Ê?ç¦ ? k , ? l ¨ Í?ÎuÒ½ÏÐÊ?ÏÐ×?ÏÐÜ$ÂØÈ?è3¿ÁÊ ÏÐÙ0Ã?ßÐÒÅÃRÎÐݺÏÑá?ÆÅÇ9Ý
ᮿÁÆÅÆÅÇ9Ý?Í®É?ÕÅ×Ø¿ÁÎë¿}ÃÅÀ?Ï?ßÐ×Ø¿Áè0È?Æ?Ϥҽ¿ÁÒÖÕÅ×?ÈÑÏ?ßÐ×Ø¿ÁÀÑËëÈ?Ê?É?à ©ÑÊ?¿}Ï?ßÁ®¿ÐÉ?Ê¥¤?Õ?Ï?áÖáØÈ?Ü?É?Ê?Î?Ã?ÈÑÛéÏ?ßÐ×Ø¿ÁÊ?Æ?ÏÐÜ?Û?¿ÁÊ?×ÅÃÅÌÅÇ
A −1 áÅÂ?à¤Õ½ÂØÏ?ÝëÏ Ï?ßÐË?ÉÚÂØÏÐÎÐÂØÈ?ÆÅÆ?ÏÐÜ ¢ £ øÎ?Ê?ÏÐ×?ÏÐÞ?Ï Õ?ÏÐ×ëàºá?ÒÅ¿
??ÉÎ ± Ô ³ £ É»¤ £ ÉÄ? ± ? ? k ¿ ? l ? £ ü ± ï?¤ ± Ô®Í £?¢ ?¤?¥Í ¢ ¥§?¤?¤?¥Íe5? Å ¥¬?rÔ©?YªY? ©¤± ¤ © ª à ¥ © ¥µÁ
¢§± ª?É?¥ ε ¿©? £¡¢ ? ° ÉÄ?©Ô ± ? £ ï © ¥¬?©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? A −1 ? wÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ? © ??ü×??? ± úAÉ ± ÉÄ?§?µ« ?
Ax = b ? ³¤© ??Ô © ¥ Ó ¥¬?»?AÌ»? £ ??¤ © ª à ÔAÔ©?t??ú5?YªY?©? ° ÌĤ ±¤³ É©¿4¤ £ ? £?© ? ° ?§?µ« ¢ ± ?¤?!?»?
Ôq?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ±¤± Ô§??¤!? £?© ¥ ? l ¿ Ê ?µ«þï £ 4¯©ü×? ʤ± ÉÎ £?£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± À3·¥? £×£ ?µ?5¥ Ê ¥µÁ
?»?µ¿ Ê ? £´£ ü ± ï?¤3¥ © ??ü×??? ± úþÉ ± ÉÄ?§?µ« ? « £µÅ ?»?0ï??t?©¯ ?µ?5¥ ʤ± ?§?Ä4¯©? £ ï £ 4¯©ü×? ε À ¡ ©¤±
± É ³!£ 4¯¬? £ Ô?¥§? ±¤± ? £?Ê ?¤?¥Íy«&?»? £?¢4£ ÔAÉ ± ?¬ª3¥§? ± ú´ªµ¤ª Ê üg¥¬?»?©ÉûúF¿¤??ÉÎ ± Ô§??¤!? £?©Ë³¤© ¥§Ô©?¥Í
Ê ¥§ÉÄ?§? °0£?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®5??? ³ £ Í ± « “ É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? «?Ô§??¤!? £?© ¥©«tÀ
¼¨? £?Ãî¢ ¥ © ¥®?»ª¤« ? £?³¤©¤± «&???Yú¤?©¯¡«&?»? £»¢S© ? à ª®¤ú ©¤± ?®¥§? ±¤± À ? ¥ ¢ ¥ ¢§± « Éûúÿ?!??¤ £ ? £?© ? «
«#¥®4? « δ ? ? © ª ¢ ?¤? ° Ô £?³¤©!£ É© ¤¤Y¥§¤ ± « "!¸? ± Ô?«&??ÉÄ? £ É ± ÉÄ?§?µ« ?
A x = b,
É © ??ü×??? ± ?µ« x ¿ Ô © ¥®?» £µÅ ??? ±¤± ¤ £ ? £?©!£?ÃÄ£ ¤ £ Ì?¦¡¦ ± ? ± ???!?©? C i = λ β i i ¿?離 ¢ ?µ« © ?ÎÁ
üg¥¬?©¯SÉ ± ÉÄ?§?µ«vª
(A + δE) x = b,
© ??ü×??? ± ù x δ ¤ £ ? £?©!£?° É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ùa??¤ £ Ì?¦¡¦ ± ? ± ???!??? C δi = λ i β + δ i À
Æ © ¥§Ô©? ± « © ??ü×??? ± ú £ ï©? ± ÍTÉ ± ÉÄ?§?µ«t¿ É Ê¤± ?¬¥®ú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?Yª!ù É ± ÉÄ?§?µ«vªþÔ§??¤!? £ Á
©!£ Ô ? i ? £?© « ±¤©!£ Ô?¥§?¤? £?° ? ? i = 1 ? PÀ§Æ¢?5¥ Ê ¥®§¥rÔ©? ʤ± ÉÎ ± «
x 2 = (x, x) = m C 2 = m β i 2
i=1 i i=1 λ i
x δ 2 = (x δ , x δ ) = i=1 m C δi 2 = i=1 m λ i β + δ i 2
» µ
ä ÉÎ ± λ i + δ = 0 ¿%? £ δ→0 lim x δ = x À%ý&¥§¤ ¤Y¥§¤ C i − C δi = λ i (λ δβ i + δ) i ¿%? £?¢ ¤ú
ï £ 4¯©ü ± Í??µ?5¥ Ê ??? ±¤° λ i Ô©Ô§? ¢ ??? ± ? δ ?!? £ ¤Y¥®?µ?rÔ?¥¬?»?þÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤? £?ÃÄ£ Ô¬ ± ú5? ± úF¿#¥
¢ ¤ú0?µ?5¥ Ê ??? ±¤° λ i δ
|C εi | = | |λ β + δ| | i | C i | = | |λ β i | |
i i
? £ ??ÉÄ?©¯yÔ©¤Y§¥ ¢ ÉΧ¥ à ¥¬?µ« ?¥Í ¿?É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ± Í?«#¥®4? « λ i ¿vÔ ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ © ?ÎÁ
ü×??? ± úËÉÄ?¬¥§?!?»?A«&???¤¯©ü×??À
» å
C â f åhß?)!ævÛ0?&# %Hh&è6?vÛ&ß9'324Ü&ÞD@©ÞCÙ4Ûy7#ß â
g æ&è6T @©Þ9'324Ü&#Sè?4¡ß?)!ævÛ0?&#´â
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñØö
b Ë¥¬? ©¤± ?5¥A?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ³¤© ¥§Ô £?°´± ± Ô§? © ͤ?!? ° ? 5??Ô £?°´± ± ? ±YÅ ?!? ° ? ¢? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©? £?° ¿¤??ÉÎ ±e¢ ¤ú´?»?¡ÌÄ5?µ«&???!? £ Ô a ij Ô©? ³!£ 4?Yú5ùa?©Éûú © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
a ij = 0 ³¤©¤± i > j (i < j) À§·¥? ± «#¥¬? ©¤± ?¤? ± «v??ùa?AÔ ±3¢
¦ ?¶¸·º¹ ? ¼ £¢?ÂØÈ?Îë¿uÉ?ÝëÈÑÛ?¿ÁÊ?ÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅÃéÃ?ÀÑÏ?ßÐ×®¿Áè0È?ÆØ¿qÕÅ×Ø¿ÁÎë¿Áà ¦ Î?È?×ëݽÆÅà½à Ê?×?È?˺Þ?ÏÁÂ#¤?ÆØ¿ÁàéÛ?¿ÁÊ?×ÅÃÅÌØ¿½Í9É?ÕÅ×Ø¿ÁÎë¿%$
¨
ÂØÈ?Îë¿Áà&¦ ÆÅÃÅè3ÆÅà½à Ê?×?È?˺Þ?ÏÁÂ#¤?ÆØ¿Áà¢Û?¿ÁÊ?×ÅÃÅÌØ¿
¨
? ¨Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?¤?t??? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?t?׫#¥¬? ©¤± ?¤? £ 裏¥ ¢ ¥§ù ?eÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± « ± É»Ô £?° ÉÄ?©Ô?¥©« ±
W ©À¥ÉΪ¤«#«#¥ ± ³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ? £?¢ ? £?± «&???¤?¤?¥Í ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?¥Í «#¥¬? ©¤± ? ??ÉÄ?©¯C? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©?5¥®úË«#¥¬? ©¤± ?5¥r? £?ÃÄ£SÅ ?×?5¥ ± «&??? £ Ô?¥§? ± ú ³
ôYÀ £?³¤© ? ¢ ?Ä ± ?§?Ä4¯Ë? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? © ¥§Ô§??? ³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ù ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯®Á
?¤?¥Í0ÌÄ5?µ«&???!? £ Ô k³
` !ÀFÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥0? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? É £ Ô ³ ¥ ¢ ¥§ùa?²Ér??? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯®Á
?¤? « ± ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± ³
c 5ÀY?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤?5¥®ú¨?wÉ?«tÀ ³¤©¤± £µÅ ??? ± ú´ÉÄ? © À ?HY ? #? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú´«#¥¬? ©¤± ?5¥?5? à ¤ £
£ ï © ¥ Ó ¥¬?»?©Éûú ±?£ ï © ¥¬???5¥®ú0¤0?!? ° ? £µÅ ?¡? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú´«#¥¬? ©¤± ?5¥g? £?ÃÄ£ÿÅ ?q?5¥ ± «&??? £ Á
Ô?¥§? ± úFÀ
' ' è84¡è?Ü0)?ß4ævÜ&#Sè²Þ4æ0)¤ÞD@©Þ4Ü&ß9'324Ü&#Sè?4¡ß?)!ævÛ0?&#
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñØö Ç ? Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤?5¥®ú´«#¥¬? ©¤± ?5¥ U ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?° ¿5??ÉPÁ
± ? © ¥§?¤É ³!£ ? ±¤©!£ Ô?¥§?¤?5¥®úy«#¥¬? ©¤± ?5¥ U T É £ Ô ³ ¥ ¢ ¥¬?»?SÉ £ ï © ¥¬?©? £?° U −1 ¿
» ì
b £?¢ ª®4¯ £?³¤© ? ¢ ?Ä ± ?§?Ĥúr«#¥¬? ©¤± ?¤? |det(U)| = 1 ¿®?®ÀÖ¤ À 1 = det(E) = det(U U T ) =
det(U ) det(U T ) = det 2 (U ) À
Ç¥ÉÄ?¢É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥ £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?5¥ ³!£ « £?¢ ªµ4ù © ¥§Ô©?¤? 1 Àµò?? ° Á
ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿!??ÉÎ ± ? É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? ° Ô§??¤!? £?© ¿¤É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ±¤° É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤? £ «vª
°
ʤ± ÉΤª λ ¿!? £ ??ÉÄ?©¯ U ? = λ? ¿!? £?Ãî¢ ¥
? ? ? ? ?
(U ?, U ?) = (λ?, λ?) = |λ| 2 (?, ?)
⇒ |λ| 2 = 1
(U ?, U ?) = (?, U T U ?) = (?, ?)
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £r¢ ? ° ÉÄ?©Ô ± ?׫#¥¬? ©¤± ?¤? x ??5¥rÔ§??¤!? £?© ?!? ± ?®«&???Yú¤?»?g? ÃÄ£ÿ¢ ± ?Yª
U ? = (U ?, U ?) = (?, ?) = ?
¡ ©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ? £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¥Í «#¥¬? ©¤± ?8?¬¥§¤ Å ? £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®ú «#¥¬? ©¤± ?5¥!¿ ³!£ Á
É»¤ £ 4¯©¤Yª (U V )(U V ) T = U V V T U T = U U T = E À
? ËævÛ&4¡è?æ&#)((' è84¡è?Ü0)?ß4ævÜ&#RQ Þ4æ0)¤ÞD@©Þ4Ü&ß9'324Ü&#RQý4¡ß?)!ævÛ0?¢â
W ©À 0 óDñ21 ñ½ô4365ëðDô7598@1A5B3!ðDõ4CD5uïDñ?ð{ñFEF365?ô7GBHBGPI?ö b Ë¥¬? ©¤± ?5¥ ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§? £ Ô £ ¤ P ij ³!£ Á
¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúF¿???ÉÎ ± ªS? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô ± ?©¯ i ð?ª!ù ± j ð?ª!ù ÉÄ? ©!£ ¤ ± ? ± ±
i ð3? °´± j ð3? ° ÉÄ? £ 5ï??¤???P¿4?5¥ ³¤©¤± «&? © ¿4«#¥¬? ©¤± ?5¥ P 24 © ¥®?®«&? © ¥ 5 × 5 ± «&?»?»?SÔ ±3¢
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 0 0 0 0
0 0 0 1 0
P 24 = 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
¡ ©¤± ª¤« ? £?Å ??? ±¤± «#¥¬? ©¤± ?¤? A © ¥®?®«&? © ¥ 5 × 5 ?5¥ P ij ÉÎ5??Ô?¥yª?«#¥¬? ©¤± ?¤? A
³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ùa?©Éûú i ðY¥®ú ± j ðY¥®úrÉÄ? ©!£ ¤ ± ¿©¥ ³¤©¤± ª¤« ? £µÅ ??? ±¤± É ³¤© ¥§Ô?¥eª A ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô®Á
¤ú5ùa?©Éûú?ü ð3? °A±RQ Á&? ° ÉÄ? £ 5ï??¤?¡À?¡ ©!£ Ô§? © ¯??§??¿ Ê ? £ «#¥¬? ©¤± ?5¥ P ij ð £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úFÀ
ôYÀRS 5B3!ðDõ4C7TUH?ðV5BW ñ½ô9õV8?ö Ç ? Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤?5¥®ú?«#¥¬? ©¤± ?5¥ Q ij (?) ÌÄ5?µ«&???!?¬¥ © ? £?ÃÄ£
Ô © ¥ Ó ??? ± ú £ ?? ±¤Ê ¥¬?»?©Éîú £ ?¡? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? Ê ?»?©? © ¯?« úSÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± ¿ © ¥§É ³!£ Á
£µÅ ???¤?¤? « ± ?5¥ ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ±¤± ÉÄ? ©!£ ¤ ± ÉÄ? £ 5ï?? £ Ô?É×? £ «&? © ¥©« ± i ± j ¿§?5¥ ³¤©¤± «&? © ¿
æºû
«#¥¬? ©¤± ?5¥ Q 24 (?) © ¥®?®«&? © ¥ 5 × 5 ± «v?»?»?AÔ ±3¢
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 0 0 0 0
0 cos ? 0 −sin? 0 0
Q 24 (?) = 0 1 0 0
0 sin ? 0 cos ? 0
0 0 0 0 1
ýv¥§¤ ± ??«#¥¬? ©¤± ?¤?Ñ?5¥®?µ?rÔ?¥§ùa?©ÉûúE?¬¥§¤ Å ? «#¥¬? ©¤± ?5¥©« ±C³¤©!£ ÉÄ? £?ÃÄ£²³!£ Ô £?©!£ ?¬¥!¿ «#¥¬? ©¤± Á
?5¥©« ± ¶ ± Ô§???¤É?¥!À?¡ ©!£ Ô§? © ¯µ?§??¿ Ê ? £ «#¥¬? ©¤± ?5¥ Q ij ð £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®ú?À
` !ÀXS 5B3!ðDõ4C7TYGP3!ðV5P` ñ½ô9õV8?ö b Ë¥¬? ©¤± ?5¥ £ ? © ¥ Å ??? ± ú Ì»? £ ?¬¥§¤Y¥®ú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯®Á
°
?5¥®ú «#¥¬? ©¤± ?5¥ P ? © ¥®?®«&? © ¥ m × m ? P¿ Ê ? £T¢ ¤ú ³¤©!£?± ?µÔ £ 4¯©? £?ÃÄ£ ?!???Yª®5??Ô £?ÃÄ£ m Á
«&? © ? £?ÃÄ£ Ô§??¤!? £?© ÁñÉÄ? £ 5ï??5¥ v = (v 1 , v 2 , . . . , v m ) T É ³¤© ¥§Ô§? ¢ ± Ô £S© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô £
P v = σ v e, ? óôYÀa?1?
Ãî¢ ? e = (1, 0, . . . , 0) T ¿4¥r¤ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?!?¬¥ σ = −1, ??ÉÎ ± v 1 0, À
1, ??ÉÎ ± v 1 < 0.
¡ £ ¤Y¥ Å ?µ«t¿ Ê ? £ ¿5??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ P ± «&?»?»?SÔ ±3¢
u u T
P = E − 2 , ? óôYÀÈ÷H?
u T u
Ãî¢ ? u = v−σ v e ¿?? £ Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©Éûú © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô £ ? ôYÀa? ? P¿µ?µÀ ??À P ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûúÿ«#¥¬? ©¤± ?!? °
£ ? © ¥ Å ??? ± ú ¨? ± ± «#¥¬? ©¤± ?!? ° ¾¡¥»ª?ÉîÍ £ ¢ ? © ¥ 1?PÀ
Æ¢?5¥ Ê ¥®§¥SÔ©? ʤ± ÉÎ ± «
u T u = (v T − σ v e T ) · (v − σ v e) =
= v|| 2 − 2σv 1 v + v|| 2 = −2 v (σv 1 − σ 2 v ) = −2σ v u 1 .
ý ? ³ ? © ¯ÿ?®¥ ³¤± ü×?µ«áÔ§??¤!? £?© v ÔrÔ ±3¢ ? v = u + σ v e ¿ ± Ô©? ʤ± ÉÎ ± «
u u T u u u T e
P v = u + σ v e − 2 − 2σ v =
u T u u T u
uu
= u + σ v e − 2u + 2σ v 1 = σ v e.
2σ v u 1
æØ»
Ç¥?tï £?© ¤ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?!?©? σ ?!? ³!£ ?µÔ £ ¤ú¤?»? ³ ? © Ô £?° ¤ £ « ³!£ ?!???!?§? u 1 Ô§??¤!? £?© ¥ u £ ï © ¥¬? ± ?©¯®Á
ÉûúyÔ??Yª®4¯¤¿§ï £ 5?»?×? £?ÃÄ£ |u 1 | v ¿ Ê ? £ ª¤«&???¤¯©üg¥¬?»??Ô¬ ± ú5? ± ? £ ü ± ï £ ¤ £ ¤ © ª à 5?ÎÁ
? ± úFÀ
b Ë¥¬? ©¤± ?5¥ P É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ?5¥ ±0£?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥!¿ ¢ ? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £
(u T ) T u T u u T
P T = E − 2 = E − 2 ,
u T u u T u
u u T u u T u u T u u T u (u T u) u T
P P T = E − 4 + 4 = E − 4 + 4 = E.
u T u (u T u) 2 u T u (u T u) 2
Æ Ã ? £ «&?»? ©¤±¤Ê ??É»¤ £?° ? £?Ê ¤ ± ? © ??? ± ú ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?g¾¡¥»ª?ÉîÍ £ ¢ ? © ¥ ¨? ª¤« ? £µÅ ?ÎÁ
? ± ?¢«#¥¬? ©¤± ?¤? £ ? © ¥ Å ??? ± ú P ?5¥ Ô§??¤!? £?© ? ??ÉÄ?©¯ £ ? © ¥ Å ??? ± ? ³¤©!£?± ?µÔ £ 4¯©? £?ÃÄ£ Ô§??¤!? £ Á
© ¥ y ∈ R m £ ?©? £ É ± ?§?Ä4¯©? £ m−1 ð¡«&? © ? £?ÃÄ£ ³!£?¢§³¤©!£ ÉÄ? © ¥§?¤ÉÄ?©Ô?¥ S £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?ÃÄ£
Ô§??¤!? £?© ª u À¤ý&¥§¤ £?° Ô©?rÔ £?¢ ÉÎ5? ¢ ª??»? ± ??ÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± Í´É £©£ ?©? £ ü×??? ±¤°
u u T
W ©À!??ÉÎ ± s ∈ S ¿!? £ P s = s − 2 u T u s = s ¿¤?®¥§¤Ë¤Y¥§¤ u T s = 0 ¿
u u T
ôYÀ P u = u − 2 u = −u ¿
u T u
` !À ³¤©!£?± ?µÔ £ 4¯©?¤? ° Ô§??¤!? £?© y ∈ R m « £µÅ ? £A³¤© ? ¢ ÉÄ?¬¥§Ô ± ?©¯AÔrÔ ±3¢ ? y = αu + βs
? α ± β ð??!??¤ £ ? £?© ?t?פ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?!?©???ο5? £?Ãî¢ ¥ P y = αu − βs À
? ²Þ4Ú0)!Û ) !æ&è6T @©Þ9'324Ü&#Sèp4¡ß?)!ævÛ0?&#´â
îêï(ð{ñ½ò(ñÁóDñ½ô9õDñØö b Ë¥¬? ©¤± ?5¥A?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ³¤© ¥§Ô £?° ? 5??Ô £?° ? ³!£?Ê ? ± ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?°
± ±´³¤© ¥§Ô £?° ? 5??Ô £?° ? t«#¥¬? ©¤± ?!? ° ¾???É»ÉÄ???!ï©? ©¤Ã ¥!¿3??ÉÎ ±?¢ ¤ú´?»?¡ÌÄ5?µ«&???!? £ Ô
Aij Ô©? ³!£ 4?Yú5ùa?©Éûú²É £©£ ?©? £ ü×??? ± ú a ij = 0 ³¤©¤± i > j + 1(i < j − 1) À
ý&¥§¤ ± ?׫#¥¬? ©¤± ?¤? ± «&??ùa?AÔ ±3¢
¦ ?¶¸·º¹ f ¼ 9¢?ÂØÈ?Îë¿yÉ?ÝëÈÑÛ?¿ÁÊ?ÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅÃ?ÃÅÀ?Ï?ßÐ×Ø¿Áè&È?ÆØ¿yÕÅ×Ø¿ÁÎë¿Áà ¦ Î?È?×?ݽÆÅà½à Õ?ÏÐÄÅÊ?Ã}Ê?×?È?˺Þ?ÏÁÂ#¤?ÆØ¿Áà}Û?¿ÁÊ?×ÅÃÅÌØ¿½ÍºÉ?ÕÅ×Ø¿ÁÎë¿
¨
$ pÂØÈ?Îë¿Áà&¦ ÆÅÃÅè3ÆÅà½à Õ?ÏÐÄÅÊ?à Ê?×?È?˺Þ?ÏÁÂ#¤?ÆØ¿Áà Û?¿ÁÊ?×ÅÃÅÌØ¿
¨
æ½æ
Æ ª¤«#«#¥ ±?³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ? £?¢ ? £?± «&???¤?¤?¥Í ³!£?Ê ? ± ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?¥Í ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?¤?¥Í
«#¥¬? ©¤± ? ??ÉÄ?©¯ ³!£?Ê ? ± ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú?«#¥¬? ©¤± ?5¥á? £?ÃÄ£?Å ?C?5¥ ± «&??? £ Ô?¥§? ± úFÀêe?ùaï?¥®ú
«#¥¬? ©¤± ?5¥ £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?³!£?¢4£ ï??5¥U? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± ? ³!£»¢4£ ï ± ú É?«tÀ ÷ ?W ? ³!£?Ê ? ± ? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?!??À
C â v åhè6)¤Þ87 # æ&è3çEè?ÜvÛFE à rq5sut
b 0?»? £?¢ ? © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸ « £µÅ ? £ ª?ÉÎ £ Ô©? £A© ¥®? ¢ ?Ä ± ?©¯S?5¥ ¢ Ô§? û© ª ³¤³ ??«&?»? £ Á
¢4£ Ô¤
W ©À»ý £?Ê ?¤?t??? ³¤© ú4« ?t?¸?(«&?»? £?¢ ?¡¿ ³!£ ?µÔ £ ¤ú5ù Óÿ± ? ³¤©¤±¡£ ?©ÉΪY?©ÉÄ?©Ô ±¤±?£ ü ± ï £ ¤ £ ¤ © ª à Á
5??? ± ú ³!£ ¤ª ʤ± ?©¯?? £?Ê ? £ ? © ??ü×??? ± ? ?®¥e¤ £ ?!? Ê ? £ ? ʤ± ÉÎ £?£?³ ? © ¥§? ±¤° À¬ý&¥§¤ ± ?r«&?»? £?¢ ?
£ ï?? Ê ? £E³¤©¤± «&???Yú5ùa?©Éûú ³¤©¤±8© ??ü×??? ±¤± ñ?!?»ï £ 4¯©ü ± Í “ É ± ÉÄ?§?µ«tÀ Æ ± ÉÄ?§?µ« ? ¤Y¥§¤ £?ÃÄ£
³!£?© ú ¢ ¤Y¥ « £µÅ ? £ É Ê¤± ?¬¥¬?©¯þ?!?»ï £ 4¯©ü ± « ± ?®¥§Ô ± É ± ? £ ? ¢4£ ÉÄ?¬ª ³ ? £?° Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯®Á
? £?° ?§?Îͤ? ± ¤ ± À
ôYÀ(¼??§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤?t?r«&?»? £?¢ ?¡¿%É ³!£ « £?Ó ¯©ùh¤ £ ? £?© ?¥Í © ??ü×??? ± ? ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûúy¤Y¥§¤
³¤© ? ¢ ?Ä ³!£ ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?§?Ä4¯©?¤?¥Í ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ±¤° ¤ © ??ü×??? ± ù×À¥·¥? ± «&?»? £?¢ ? £ ï?? Ê ? £
³¤©¤± «&???Yú5ùa?©Éûú ³¤©¤±Ë© ??ü×??? ±¤± ï £ 4¯©ü ± Í “ É ± ÉÄ?§?µ«tÀ
C â B êÿÞ?hvæ&ÞD%1# Û Tjhvæ&ß9d?Ü&è?ÜvÛFEw7&'0E % ?ßD4¡Þ?hvæ&Þ§Ù§è?ævÝvÛ
W ©À Æ¢¦ £?© «vª® ±¤© ª ° ?©? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± ?A? £?© « ??Ô§??¤!? £?© ¥ ± ? £?© « ??«#¥¬? ©¤± ?¤?¡ÀFò £ Á
¤Y¥ ÅA± ?§??¿ Ê ? £ max |a ij | ?!?¡ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú´? £?© « £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?¡À
1 i,j m
ôYÀ&¡ ©!£ Ô§? © ¯??§??¿ Ê ? £ M (A) ª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú¤?»? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± ù ? £?© « ? ± É £?à §¥§É £ Á
Ô?¥§?5¥rÉ¡? £?© «#¥©« ± Ô§??¤!? £?© ¥ x α ¢ ¤ú α = 1.2.3 À
` !À?¡ ©!£ Ô§? © ¯µ?§??¿ Ê ? £ S(A) ª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú¤?»? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± ù?? £?© « ? ± É £?à §¥§É £ Ô?¥§?5¥
É¡? £?© «#¥©« ± Ô§??¤!? £?© ¥ x α ¢ ¤ú α = 1.2.3
c 5À!ò £ ¤Y¥ ÅS± ?©??¿ Ê ? £ ? £?© « ??Ô§??¤!? £?©!£ Ôrª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú5ùa?e?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥©« ? ôYÀÈô ? PÀ
x ∞ x 1 m x ∞ ,
√m x
x ∞ x 2 ∞ ,
æ ¥
øYÀ4¼e? £ ï © ¥®? ± ?§?q?5¥ ³ £ É»¤ £ ÉÄ? ± « ? £µÅ ??ÉÄ??Ô £ x : x α = 1 ¢ ¤ú α = 1, 2, 3 À
? !À?ò £ ¤Y¥ ÅA± ?§? ³!£»¢§Ê¤± ?!???¤? £ ÉÄ?©¯r? £?© «?«#¥¬? ©¤± ? A α ? £?© «&?¨Ô§??¤!? £?© ¥ x α ¢ ¤ú
α = 1.2.3 À
÷YÀ?¡?? © ? ʤ± ÉÎ ± ?§??É»Ô £?° ÉÄ?©Ô?¥ ʤ± ÉÄ?Ä £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ±´± ¢4£ ¤3¥ ÅA± ?©? ± Í À
ö!ÀDb £µÅ ? £ ± ªY?©Ô§? ©?Åg¢ ¥¬??¯¤¿ Ê ? £ ??ÉÎ ±0£?³¤© ? ¢ ?Ä ± ?§?Ä4¯e«#¥¬? ©¤± ?¤? «#¥®?¿!? £ «#¥¬?®Á
©¤± ?5¥ ³ £ Í £S£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???5¥a!r¡ ©¤± Ô§? ¢§± ?§? ³¤©¤± «&? © À
Y !À??¡¥§¤ £?° «&?»? £»¢ © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸ ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú0? £?Ê ?¤? « "!
W ?õ!ÀD¡ £?Ê ?µ«vª ³¤©¤±²© ??ü×??? ±¤± Æ ¤eqÕ&¸h? £?Ê ?¤?r« ± «&?»? £?¢ ¥©« ± ?5¥SÔ©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©? £?°
?§?Îͤ? ± ¤?? ³!£ ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ © ??ü×??? ± ú D!
WHW©ÀYë?? £ ÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ?»ª??»? ʤ± ÉÎ £?£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ±e³¤©¤±?³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £ « © ??ü×?ÎÁ
? ±¤± Æ ¤eqÕ&¸A!
W µôYÀD?¡¥§¤0?®¥§Ô ± É ± ? £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ?©¯AÉ ± ÉÄ?§?µ« ? £ ?S? £?Ê ? £ ÉÄ? ± Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©? £?°
?§?Îͤ? ± ¤ ± !
WØ`!ÀYò £ ¤Y¥ ÅA± ?§??¿ Ê ? £r¢ ¤úË? £?© « « ¥¬? ©¤± ?ËÔ©? ³!£ 4?Yú5ùa?©ÉûúË?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
M (A)
m A ∞ M (A)
S(A)
√m A 2 S(A)
? ?
5 7
WÅc5À4Ç¥? ʤ± ÉÎ ± ?§? ʤ± ÉÎ £S£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± «#¥¬? ©¤± ?¤? A = ?
7 10 ?
W µør?v¥§É»É?« £ ? ©¤± ?§?×É ± ÉÄ?§?µ«vª
x + 0.99 x = 1.99,
1 2
0.99 x 1 + 0.98x 2 = 1.97,
ª ¤ £ ? £?©!£?° ? £?Ê ?¤? « © ??ü×??? ± ?µ«8ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú x 1 = 1 ± x 2 = 1 À Ç¥? ʤ± ÉÎ ± ?§?A¤3¥§¤ ± «
£ ü ± ï?¤Y¥©« ³¤© ¥§Ô £?°´Ê ¥§ÉÄ? ±´£ ?©Ô§? Ê ¥¬?»? © ??ü×??? ± ? x 1 = 3 ± x 2 = −1.0203 À
æ ?
b c § v t ed ~p z&§j© t ! £ ! ?¤ ¦ gfihqp
Ò £ 4¯©ü ± ?¤ÉÄ?©Ô £ ? £?Ê ?¤?¥Íÿ? ³¤© ú4« ?¥Í??Ë«&?»? £?¢4£ Ô © ??ü×??? ± ú Æ ¤eqÕ ¸ £ É»? £ Ô?¥§? £ ?5¥
³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ±¤± É ± ÉÄ?§?µ« ?þ? ôYÀXW ? ¤AÌ?¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©? £?° É ± ÉÄ?§?µ«&?aÉ ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬?®Á
©¤± ?!? ° À
ý&¥§¤ ¿§??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ A = L U ¿ Ãí¢ ? L ð 5??Ô?¥®ú??sr ¡ ? ? ?¿4? ±YÅ ?Yú!ú??P¿ U ð´Ô§? © ͤ?Yú!ú
? st u u ¡ ? Ä¿ ³¤© ¥§Ô?¥®úD?#? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?t?q«#¥¬? ©¤± ?¤?¡¿!? £r± ÉîÍ £?¢ ?Yª!ù Æ ¤eqÕ&¸ ? ôYÀXW ? « £µÅ ? £ ?®¥µÁ
³¤± É?¥¬?©¯AÔrÔ ±3¢ ?
L U x = b.
????ü×??? ± ?¡?¬¥§¤ £?° É ± ÉÄ?§?µ« ??É»Ô £»¢§± ?©Éûúˤ © ??ü×??? ± ù ¢ Ô¬ª?ͲƤeqÕ ¸
Ly = b ? ³¤© ú4« £?° Í £?¢ ? ,
U x = y ? £ ï © ¥¬?©?¤? ° Í £?¢ ? .
½¡¥??¬¥§¤ £ « LU Á © ¥®?» £µÅ ??? ±¤±?£ É»? £ Ô?¥§?SÍ £?©!£ ü £g± ?µÔ§??ÉÄ?©?¤? ° «&?»? £?¢ ¶3¥»ª?É»É?¥!À??¡¥ Å Á
¢ ¥®ú ± ?´Ì»? ± Í?É ± ÉÄ?§?µ« © ??ür¥¬?»?©Éîú ³¤©!£?Ó ? Ê ?µ« ? ôYÀXW ? P¿&?¬¥§¤?¤Y¥§¤ £ ? ± ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?t??À
ò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿!?®¥ ³¤± ü×?µ«áÉ ± ÉÄ?§?µ«vª Ly = b ÔrÔ ±3¢ ?
l 11 y 1 = b 1 ,
l 21 y 1 + l 22 y 2 = b 2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
l y + l y + . . . + . . . + l y = b ,
m−1,1 1 m−1,2 2 m−1,m−1 m−1 m−1
l m1 y 1 + l m2 y 2 + . . . + . . . + l m,m−1 y m−1 + l mm y m = b m .
¼e? ³ ? © Ô £?ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± úËÔ©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú y 1 = b 1 /l 11 ¿4¥g?®¥¬?§?µ«?Ô©ÉÄ? £ ÉÄ?¬¥®4¯©?¤?t?q?µ?5¥µÁ
Ê ??? ± ú y i ³!£ ¦ £?© «vª®5?
i−1
b i − l ik y k
y i = k=1 l ii i = 2, . . . , m.
Õ??5¥® £?û±¤Ê ? £ ¿ ³¤©¤±0£ ï © ¥¬?©? £ «?Í £?¢ ? © ??üg¥¬?»?©Éûú´É ± ÉÄ?§?µ«#¥ U x = y
u 11 x 1 + u 12 x 2 + u 13 x 3 + . . . + . . . + u 1m x m = y 1 ,
u 21 x 2 + u 23 x 3 + . . . + . . . + u 2m x m = y 2 ,
. . . . . . . . . . . . ,
u m−1,m−1 x m−1 + u mm x m = y m−1
u x = y .
mm m m
¼e? ³!£ ÉÎ5? ¢ ?!? ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± úËÔ©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú x m = y m /u mm ¿!?®¥¬?§?µ«?Ô©ÉÄ? £ ÉÄ?¬¥®4¯©?¤?t?
¤ £ « ³!£ ?!???!?©? x i Ô§??¤!? £?© ¥ x ³!£ ¦ £?© « ª®5?
m
y i − u ik x k
x i = k=i+1 u i = m − 1,m − 2,...,1.
ii
Ç £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¥ÍS«&?»? £?¢ ¥µÍ ± É ³!£ 4¯¬?»ª??»?©Éîú © ¥®?» £µÅ ??? ± ?r?5¥ ³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ? £?© Á
? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?° « ¥¬? ©¤± ?¤? Q ±0³¤© ¥§Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° R ? ?Ðüwvax1?º?!? QR ð © ¥®?» £µÅ ??? ± ?
«#¥¬? ©¤± ?¤? A ? PÀ4Ç Ì»? £ «?ÉΤª Ê ¥¬?×ƤeqÕ ¸²? ôYÀXW ? ?®¥ ³¤± É»?rÔ?¥¬?»?©ÉîúËÔrÔ ±3¢ ?
QRx = b,
±y© ??ü×??? ± ?ÿÉ ± ÉÄ?§?µ« ? ? ôYÀXW ? ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú £?³¤± É?¥§?¤?¤? « Ô©?rü×? £ ï © ¥¬?©?¤? «8Í £?¢4£ « ± ?
É ± ÉÄ?§?µ« ??É ³¤© ¥§Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?!? °
Rx = Q T b.
f â " y?? S qæ&ß7?H' Þ?dEè?ÜvÛ&èp4¡ß?)!ævÛ0?&#
¡ eª?ÉÄ?©¯ A m ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?5¥®úy«#¥¬? ©¤± ?5¥ © ¥®?®«&? © ¥ m × m À
°
? ñ FG?ð{ñ21A5 £ ï LU Á © ¥®?» £µÅ ??? ±¤± «#¥¬? ©¤± ?¤?¡À
ä ÉÎ ± Ô©ÉÄ? à §¥§Ô©?¤?t??« ± ? £?© ??«#¥¬? ©¤± ?¤? A m £ ?? ±¤Ê ?¤? £ ?A?Yªµ¤úF¿¤?µÀ ??À
a a
11 12
a 11 = 0, = 0, . . . , det(A m ) = 0,
a 21 a 22
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ A m ?!?rÔ©? ©!£µÅg¢ ???5¥!¿(? £Ë³ ? © ??ÉÄ?¬¥§? £ Ô©¤ £?° ÉÄ? ©!£ ¤
± ÉÄ? £ 5ï?? £ ÔE« £µÅ ? £ ¢4£ ï ± ?©¯©ÉûúF¿ Ê ? £ ï??xÔ©ÉÄ?0Ô§? ¢ ª Óÿ± ? G? à §¥§Ô©?¤?t?¸?ÿ« ± ? £?© ? ï??¢ ±
£ ?? ±¤Ê ?¤? £ ?S?Yª®¤úFÀ
? GPI?59??5B3 ñÁó4??EF3?HBG(ö ¼¨É ³!£ 4¯¬?»ª??µ«á«&?»? £?¢ «#¥¬?§?µ«#¥¬? ±¤Ê ??É»¤ £?°Ë± ? ¢ ª!¤¤? ±¤± À
ä ÉÎ ± m = 1 ¿!? £ a 11 = l 11 · u 11 À
¡ eª?ÉÄ?©¯ ¢ ¤ú m − 1 É ³¤© ¥§Ô§? ¢ ± Ô £ A m−1 = L m−1 · U m−1 ¿ ³!£ ¤Y¥ Å ?µ«t¿ Ê ? £ A m =
L m · U m À ? ¥ ³¤± ü×?µ«?«#¥¬? ©¤± ?Yª A m ÔSÔ ±3¢ ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a 11 . . . . . . a 1,m−1 a 1m
a 21 a 22 . . . a 2,m−1 a 2m
A m = . . . . . . . . . . . . . . . =
a m−1,1 . . . . . . a m−1,m−1 a m−1,m
a m−1 . . . . . . a m−1,m a mm
? ? ? ?,
A m−1 u
=
v T a mm
Ãî¢ ? u ∈ R m−1 ðSÔ§??¤!? £?© ÉÄ? £ 5ï©??? ¿Y¥ v T ∈ R m−1 ðrÔ§??¤!? £?© ÉÄ? ©!£ ¤Y¥!À!Ò ª ¢ ?µ« © ¥®?µ?rÉPÁ
¤ ± Ô?¥¬?©¯A?¬¥§¤ ± ?ÿÔ§??¤!? £?© ? x T ¿ y ±Ëʤ± ÉΧ¥ l mm ¿ u mm ¿ Ê ? £ ï?? Ô©? ³!£ 4?Yú! £ É»¯ © ¥§Ô§???3Á
ÉÄ?©Ô £
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.
L m−1 0 U m−1 y A m−1 u
A m = =
x T l mm 0 u mm v T a mm
L U
¡ £ ÉÎ5? ³ ? © ?µ« ? £?Å ??? ± ú²«#¥¬? ©¤± ? L ± U ¿ ³!£ ¤ª Ê ¥§ùa?©Éûú © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
A m−1 = L m−1 U m−1 ,
L m−1 y = u, x T U m−1 = v T ,
x T y + l mm u mm = a mm .
¡ ?? © Ô £ ? ± ?þÌ»? ± Í © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©ÔáÔ§? © ? £á³!£?³¤© ? ¢§³!£ £µÅ ??? ± ù×Àa¼e?TÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± Í ¢ Ô¬ª?Í
£?³¤© ? ¢ ?Ĥú5ùa?©ÉûúþÔ§??¤!? £?© ? y = L m−1 −1 u ± x T = v T U m−1 −1 À Æ ª Ó ??ÉÄ?©Ô £ Ô?¥§? ± ? L m−1 −1 ±
æ µ
U m−1 −1 ÉÎ5? ¢ ª??»? ± ?eª?ÉÎ £ Ô ±¤° ?§? £?© ?µ« ?¡À ? ?5¥ Ê ??? ± ú l mm ± u mm £?³¤© ? ¢ ?Ĥú5ùa?©Éûú ± ?
³!£ ÉÎ5? ¢ ?!? ÃÄ£S© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥r?!?»? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤? £ À
ýv¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ «t¿9wyx Á © ¥®?» £µÅ ??? ± ??«#¥¬? ©¤± ?¤? A m ÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª©?»?®¿¤? £r£ ? £ ?!? £?¢ Á
? £ ?µ?5¥ Ê ? £ À
? ñ FG?ð{ñ21A5 £ ï LDU ð © ¥®?» £µÅ ??? ±¤± «#¥¬? ©¤± ?¤?¡À
ä ÉÎ ± Ô©ÉÄ? à §¥§Ô©?¤?t??« ± ? £?© ??«#¥¬? ©¤± ?¤? A £ ?? ±¤Ê ?¤? £ ?S?Yª®¤úF¿¤? £ ??ÉÄ?©¯
a 11 a 12
a 11 = 0, = 0, . . . , det(A) = 0,
a 21 a 22
? £ «#¥¬? ©¤± ?5¥ A ³¤© ? ¢ ÉÄ?¬¥§Ô ± «#¥q? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤?¤? « £ ï © ¥®? £ «EÔ×Ô ±3¢ ? A = LDU ¿ Ãí¢ ? L ¿
U Á?5??Ô?¥®ú ±?³¤© ¥§Ô?¥®úC? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?t?´«#¥¬? ©¤± ?¤? Ée? ¢§± ? ±¤Ê ?¤? « ±E¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? « ±
ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± l ii = 1 ± u ii = 1 ¿v¥ D Á ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®ú?«#¥¬? ©¤± ?5¥yÉe?!???Yª®5??Ô©? « ±
ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± À
? GPI?59??5B3 ñÁó4??EF3?HBG(ö £ Ê ??Ô ±3¢ ? £ ¿ Ê ? £ © ¥®?» £µÅ ??? ± ? A = LU ¿v« £µÅ ? £ ?®¥ ³¤± É?¥¬??¯²Ô
Ô ±3¢ ? A = LDU ¿ Ãî¢ ?תy«#¥¬? ©¤± ?¤? w ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?gÌÄ5?µ«&???!?©? l ii = 1 ± ªy«#¥¬?®Á
©¤± ?¤?úx u ii = 1 À!ý © ?»ï§ª??»?©Éûú ¢4£ ¤Y¥®?®¥¬?©¯¤¿ Ê ? £ ?®¥§¤ £ ? © ¥®?» £µÅ ??? ± ?¡? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤? £ À
°
¡ eª?ÉÄ?©¯gÌ»? £ ?!?¡?®¥§¤ ¿¤?µÀÖ??À?÷Ϊ Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª!ùa? © ¥®?» £µÅ ??? ± ú A = L 1 D 1 U 1 ± A = L 2 D 2 U 2 À
¼e? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥ L 1 D 1 U 1 = L 2 D 2 U 2 ÉÎ5? ¢ ª??»?®¿ Ê ? £ U 1 U 2 −1 = D 1 −1 L 1 −1 L 2 D 2 À j¡ © ¥µÁ
Ô?¥®ú?? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú «#¥¬? ©¤± ?5¥ U 1 U 2 −1 © ¥§Ô©?5¥y5??Ô £?° D 1 −1 L 1 −1 L 2 D 2 ¿#??ÉÎ ±á£ ? ±?£ ï©?
¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t??À?ýv¥§¤S¤Y¥§¤ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?rÌÄ5?µ«&???!?©? «#¥¬? ©¤± ? U 1 ± U 2 © ¥§Ô©?¤??? ¢§± Á
? ± ?!??¿!? £A³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú U 1 U 2 −1 = D = E ⇒ U 1 = U 2 ÀYÕ??5¥® £?û±¤Ê ? £A± ? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
D 1 −1 L −1 1 L 2 D 2 = E ÉÎ5? ¢ ª??»?µ¿ Ê ? £ L −1 1 L 2 = D 1 D 2 −1 À¥ý&¥§¤ ¤Y¥§¤ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?
ÌÄ5?µ«&???!?©?º«#¥¬? ©¤± ? L 1 ± L 2 © ¥§Ô©?¤?x? ¢§± ? ± ?!??¿#? £ L 1 −1 L 2 = E ⇒ L 1 = L 2 ±
D 1 = D 2 À
s?'3@©Þ4ævÛ0)k4 h &ÞD%H)!æ&Þ§è?ÜvÛFE y?? S qæ&ß7?H' Þ?dEè?ÜvÛFEU4¡ß?)!ævÛ0?&#
·¥? £ ??¥® ÃÄ£?©¤± ??« É £ ÉÄ? £?± ? ± ? ??xüg¥ ÃÄ£ Ô¤À§½¡¥r¤Y¥ Åg¢4£ « üg¥ à ?qÉ £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ±¤°
¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? ° ÌÄ5?µ«&???!? ³¤© ? £ ï © ¥®?»ª??»?©ÉûúáÔ W ©¿ ¥yÌÄ5?µ«&???!?©?¡¿ ÉÄ? £ ú Óÿ± ? ³!£?¢ ? ± «t¿
æ å
½¡¥ ³ ? © Ô £ «áüg¥ à ??«#¥¬? ©¤± ?5¥
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a 11 a 12 . . . . . . . . . . . . a 1m
a 21 a 22 . . . . . . . . . . . . a 2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . . . . . . . . . . . . a
m−1,1 m−1,2 m−1,m
a m1 a m2 . . . . . . . . . . . . a mm
³¤© ? £ ï © ¥®?»ª??»?©Éûú´ÔA«#¥¬? ©¤± ?Yª
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 a (1) 12 . . . . . . . . . . . . a (1) 1m
0 a (1) 22 . . . . . . . . . . . . a (1) 2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A (1) = L 1 D 1 A = ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 a (1) m−1,2 . . . . . . . . . . . . a (1) m−1,m
0 a (1) m2 . . . . . . . . . . . . . . . a mm (1)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1/a 11 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0 −a 21 1 0 . . . 0
à 5? D 1 = ¿ L 1 = .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 −a m1 0 0 . . . 1
¡ £?¢§©!£ ï?? £ÿ© ¥§É»É?« £ ? ©¤± « k Áñ? ° üg¥ à À ?¡ £ ÉÎ5? k −1 üg¥ à ¥?«#¥¬? ©¤± ?5¥ A (k−1) ± «&?»?»?
æ ì
Ô ±3¢
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 a (1) 12 . . . . . . . . . . . . a (1) 1m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 1 0 a (k−1) . . . . . . a (k−1)
k−1,k k−1,m
A (k−1) = L k−1 D k−1 . . . L 1 D 1 A = 0 0 1 a kk (k−1) . . . . . . a (k−1) k,m
0 0 0 a (k−1) . . . . . . a (k−1)
k+1,k k+1,m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 a (k−1) mk . . . . . . a (k−1) mm
¸¡« ? £µÅA± « «#¥¬? ©¤± ?Yª A (k−1) É»?5¥ Ê ¥®§¥r?5¥ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?Yª!ù «#¥¬? ©¤± ?Yª D k
D k = diag(1, . . . , 1, 1/a kk (k−1) , . . . , 1),
¥ÿ?®¥¬?§?µ«??5¥ÿ5??Ô¬ª!ù?? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?Yª!ùh«#¥¬? ©¤± ?Yª L k
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 . . . . . . . . . . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 0 . . . 0
L k = .
0 . . . −a (k−1) 1 . . . 0
k+1,k
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . −a (k−1) 0 . . . 1
mk
Ç © ?Ä?»ª®4¯??¬¥¬?§? ³!£ ¤ª ʤ± «
A (k) = L k D k L k−1 D k−1 . . . L 1 D 1 A =
¥ û
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 . . . a 1 a 1 . . . a 1 a 1
1,k−1 1,k 1,m−1 1,m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 a (k−1) . . . a (k−1) a (k−1)
k−1,k k−1,m−1 k−1,m
= 0 . . . 0 1 . . . a (k) k,m−1 a (k) k,m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 0 0 . . . a (k) m−1,m−1 a (k) m−1,m
0 . . . 0 0 . . . a (k) m,m−1 a m,m (k)
Ç¥? ³!£ 4? ± Ô ø? m −1 ? ?¬¥§¤ ± Í?üg¥ ÃÄ£ Ô ?? k = 1, . . . , m −1 ? P¿ ± ¿©ª¤« ? £µÅA± Ô ³!£ ¤ª Ê ???¤?Yª!ù
?¬¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ «Q«#¥¬? ©¤± ?Yª ?5¥ D m ¿ ³!£ ¤ª ʤ± « ³¤© ¥§Ô¬ª!ù ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?Yª!ùÑ«#¥¬? ©¤± ?Yª U
ɨ? ¢§± ? ±¤Ê ?¤? « ±0¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? « ± ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ±
U = D m L m−1 D m−1 . . . L 1 D 1 A =
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 . . . a 1 a 1 . . . a 1 a 1
1,k−1 1,k 1,m−1 1,m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 a (k−1) . . . a (k−1) a (k−1)
k−1,k k−1,m−1 k−1,m
= 0 . . . 0 1 . . . a (k) k,m−1 a (k) k,m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 0 0 . . . 1 a (m−1)
m−1,m
0 . . . 0 0 . . . 0 1
£ ?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « L −1 = D m L m−1 D m−1 . . . L 1 D 1 A À rbË¥¬? ©¤± ?5¥ L −1 5??Ô?¥®úh? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú ¤Y¥§¤ ³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ?´5??Ô©?¥Í8? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤?¥Í ±?¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¥ÍQ«#¥¬? ©¤± ? À
ýv¥§¤e¤Y¥§¤ £ ï © ¥¬?©?5¥®úA5??Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?!?e?¬¥§¤ Å ?a5??Ô?¥®úA? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®úF¿?? £
³!£ ¤ª ʤ± « © ¥®?» £?Å ??? ± ?
¥ »
Ç¥? ʤ± ÉÎ ± « ʤ± ÉÎ £S£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± «#¥¬? ©¤± ?¤? U
cond(U) = cond(L −1 A) = cond(D L D . . . L D A)
m m−1 m−1 1 1
m m−1 ?Ú`!ÀXW®?
cond(D i ) cond(L i ) cond(A)
i=1 i=1
m−1
ë ± ÉÎ £?£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± cond(L i ) 1 ¿?ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?§?Ä4¯©? £ ?µ?5¥ Ê ??? ± ? cond(L i )
i=1
?!?e« £µÅ ?»?0ª¤«&???¤¯©ü ± ?©¯ cond(U ) À(òq¤ú ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? D i ʤ± ÉÎ £´£ 離?Á
ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ±
? ? ?
1/|a (i) ii |, ??ÉÎ ± |a (i) ii | < 1
cond(D i ) =
|a (i) ii |, ??ÉÎ ± |a (i) ii | > 1
·¥? £A£ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?µ¿ Ê ? £ ¿5??ÉÎ ± ?5¥S?!??¤ £ ? £?©!£ «8üg¥ à ??¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥ © ¥®?» £µÅ ??? ± ú²«#¥¬?®Á
©¤± ?¤??Ô§? ¢ ª Óÿ±¤° ÌÄ5?µ«&???!? £ ¤Y¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú²«#¥®4? «¢¿¤? £ cond(D i ) É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Ó ? °
«#¥¬? ©¤± ?¤? ÉÄ?®¥§? £ Ô ± ?©ÉûúCï £ 4¯©ü ± «¢¿ ± « £µÅ ?»?yÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤? £ ª!Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?©Éûú cond(U )
³!£ É © ¥§Ô©?!??? ± ù É cond(A) À
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £¡© ¥§É»É?« £ ? © ???¤?¤? ° ¥® ÃÄ£?©¤± ??« ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú iwyx¢Á © ¥®?» £µÅ ??? ± ú ³!£ ?ÄÁ
Ô £ ¤ú¤?»? ³!£ ?Yú¤?©¯ £?³ ¥§É»? £ ÉÄ? ± ¿ ɻԬú¤?®¥§?¤?¤?¢?rÉ £ ü ± ï?¤Y¥©« ± £ ¤ © ª à 5??? ± úFÀ £?ï?? Ê ? £´© ?ÎÁ
¥® ± ?»ª??»?©Éûú ï £ 5?»?ËÌ?¤ £ ? £ « ±¤Ê ?¤? ° ¥® ÃÄ£?©¤± ??«¬?wÉ?«tÀ ? ±YÅ ? ¸? ³¤©¤± Ô§? ¢ ??? ± ú Æ ¤eqÕ&¸ ¤
Ì?¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©? £?° É ± ÉÄ?§?µ«&??É ³¤© ¥§Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?!? ° ¿!¤ £ ? £?© ? ° ?!?e? © ?»ï§ª?Á
?»? ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú²«#¥¬? ©¤± ? L i ¿ D i ± ª¤« ? £µÅ ??? ± úË?5¥r? ± Í À
f â C åhè6)¤Þ67??(ß?TD%1%?ß
½¡¥®?µÔ?¥§? ± ? «&?»? £?¢ ¶Y¥»ª?É»É?¥ “ ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú´É £ ï ±¤© ¥¬?§?Ä4¯©?¤? « ¢ ¤ú´ï £ 4¯©ü £?°0û© ª ³¤³ ?
¥® ÃÄ£?©¤± ??« £ Ô © ??ü×??? ± úTƤeqÕ ¸ À ¡ £ ÉÄ? ©!£ ??? ± ? wyx¢Á © ¥®?» £µÅ ??? ± ú Ì»? £ ? £0£ ï Ó ?»??¿
°
¥ æ
Ç £?Ê ???¤¯ © ¥§É ³¤©!£ ÉÄ? © ¥§?!???¤? £ «?Ô?¥ ©¤± ¥§?!?§?ÿ«&?»? £?¢ ¥A¶3¥»ª?É»É?¥gÉ ± ÉÄ?§?µ«#¥l? ôYÀXW ?
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1m x m = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2m x m = b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mm x m = b m
³¤©¤± Ô £?¢§± ?©Éûú ¤²? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £ «vª²Ô ±3¢ ª²É ³¤© ¥§Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?!? ° U ¿§É ³!£ Á
« £?Ó ¯©ù ³!£ ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?§?Ä4¯©? £?ÃÄ£ÿ± É»¤Y4ù Ê ??? ± ú??!? ± ?µÔ§??ÉÄ?©? £?ÃÄ£ x k ± ?¨Ô©ÉÄ?ÎÍrª © ¥§Ô©?!??? ±¤° ¿
?5¥ ʤ± ?5¥®úcÉ????RWPÁ £?ÃÄ£ ¿ ????RW©¿ À À À ¿ ? 3ÁëW©À Ç Ì»? £ «?ÉΤª Ê ¥¬?Aª ¢4£ ï?? £ ?®¥ ³¤± É?¥¬?©¯ © ¥§É»ü ±¤© ???3Á
?Yª!ù «#¥¬? ©¤± ?Yª É ± ÉÄ?§?µ« ?¡¿ ¢4£ ï?¥§Ô ± Ô?¤?« ¥¬? ©¤± ?!? A ÉÄ? £ 5ï©??? É»Ô £ ï £?¢ ?¤?¥Í Ê 5??? £ Ô
a i,n+1 = b i ¿©? £?Ãí¢ ¥ £?¢§± ? ± ?eÔ?¥ ©¤± ¥§?!? £ Ô×¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥q«&?»? £?¢ ¥?¶Y¥»ª?É»É?¥a?®¥ ³¤± É»?rÔ?¥¬?»?©Éûú
É ³!£ « £?Ó ¯©ù Ô¬ £µÅ ???¤?¤?¥ÍË? ± ¤Y £ Ô¤
W ©À5? ± ¤Y ³!£ k £ ? 1 ¢4£ m − 1 ¿
ôYÀ ? ± ¤Y ³!£ i £ ? k + 1 ¢4£ m + 1 ¿
` !À r := a ik /a kk ³
c 5À ? ± ¤Y ³!£ j £ ? k + 1 ¢4£ m + 1 ¿
øYÀ a ij := a ij − r a kj ³
? !À ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ j ¿
÷YÀ ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ i ¿
ö!À5¤ £ ?!???Ë? ± ¤Y§¥ ³!£ k ¿
Y !À x n := a n,n+1 /a n,n ³
W ?õ!À ? ± ¤Y ³!£ k £ ? n − 1 ¢4£ 1 ¿
n
WHW©À x k := a k,n+1 − a kj x j /a kk À
j=k+1
W µôYÀ ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ k À
¡ ©!£ ?!??É»É ± É»¤Y4ù Ê ??? ± úÿ?!? ± ?µÔ§??ÉÄ?©?¤?¥Í ±×³¤©¤± Ô§? ¢ ??? ± ?¥É ± ÉÄ?§?µ« ?c¤×Ô§? © ͤ?!?µ«vª¡? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©? £ «vª×Ô ±3¢ ªÿ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ³¤© ú4« ? «ËÍ £?¢4£ « «&?»? £?¢ ¥¡¶Y¥Äª?É»É?¥!¿§¥eÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ? © ?ÎÁ
ü×??? ± ú ³!£ ¤ª Ê ???¤? £?° É ± ÉÄ?§?µ« ? £ ï © ¥¬?©?¤? «þÍ £?¢4£ «tÀ?ý&¥§¤ £?° ¥® ÃÄ£?©¤± ??«c«&?»? £?¢ ¥ÿ¶3¥»ª?ÉPÁ
É?¥ ³!£ ?µÔ £ ¤ú¤?»? £?¢ ? £ Ô © ?µ«&???¤? £ © ??üg¥¬?©¯??!??É»¤ £ 4¯©¤ £ Æ ¤eqÕ&¸ÑÉ £?¢§± ?5¥§¤ £ Ô £?° «#¥¬? ©¤± Á
?!? ° Õ ±´© ¥®?» ±¤Ê ?¤? « ± Ô§??¤!? £?© ÉÄ? £ 5ï??5¥©« ±´³¤© ¥§Ô©?¥Í Ê ¥§ÉÄ?§? ° À
¥½¥
¡ ©¤± ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ±¤± ± ÉîÍ £?¢ ? £?° É ± ÉÄ?§?µ« ?º¤ É ± ÉÄ?§?µ«&? U x = y ?!? ± ??ï©? Å ?5¥
³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯¤¿®Ô©?¥?µÔ?¥§?¤?5¥®ú £ ü ± ï?¤Y¥©« ±?£ ¤ © ª à 5??? ± ú?À¬Ç ± ú5? ± ? Ì»? £?°ÿ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ±
?5¥g? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯eÔ©? ʤ± ÉÎ5???¤? £?ÃÄ£A© ??ü×??? ± ú ?®¥§Ô ± É ± ? £ ? cond(A) À
Ç¥? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä4¯©?5¥®ú ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ © ??ü×??? ± ú?Ì?¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©? £?° É ± ÉÄ?§?µ« ?xÉ ³¤© ¥µÁ
Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° U x = y ?®¥§Ô ± É ± ? £ ? ʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± « ¥¬? ©¤± ?¤? U
? wÉ?«tÀ&? ` !ÀXW ?Ð?PÀ ·¥? £´Ê¤± ÉÎ £ « £µÅ ?»? ï??t?©¯ ÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤? £ ï £ 4¯©ü×? ʤ± ÉΧ¥ £ 離?ÉÎ £ Ô¬5???3Á
? £ ÉÄ? ±?± ÉîÍ £?¢ ? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? A ¿ ??ÉÎ ± ?5¥²?!??¤ £ ? £?©!£ « üg¥ à ? ± É»¤Y4ù Ê ??? ± ú?« £?¢ ª®4¯
Ô§? ¢ ª Ó ? ÃÄ£ ÌÄ5?µ«&???!?¬¥ £ ¤3¥ Å ?»?©Éûú8«#¥®4? «tÀ#ë?? £ ï?? ± É ³¤© ¥§Ô ± ?©¯TÉ ± ?¬ª3¥§? ± ù׿#« £µÅ ? £
?5¥´¤Y¥ Åg¢4£ « k Á £ « üg¥ à ? ³ ? © ? ¢c± É»¤Y4ù Ê ??? ± ?µ« x k Ô©?tï ±¤© ¥¬?©¯y«#¥§¤3É ± «#¥®4¯©?¤? °E³!£
« £?¢ ª®4ùÑÌÄ5?µ«&???!? |a ln | (k) = max |a ij | (k) ¿ ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú¤?©¯ k ± l ÉÄ? ©!£ ¤ ± ¿ k ± n
k i,j m
ÉÄ? £ 5ï??¤?¡À ý £?Ãî¢ ¥þÔ§? ¢ ª Óÿ± « ÌÄ5?µ«&???!? £ « ÉÄ?®¥§?!?»?c«#¥§¤3É ± «#¥®4¯©?¤? °8³!£ « £?¢ ª®4ù ± ?
Ô £ ?®« £µÅ ?¤?¥Í À ¡ ©¤± Ì»? £ « ?5¥ ¢4£þ³!£ « ? ± ?©¯¤¿ Ê ? £T³ ? © ?µ«&???¤?¤?t? É ± ? ¢ ??¤?É?¥©« ± k ± n
«&???Yú5ùa?©Éûú²«&??ÉÄ?¬¥©« ± À
2 3
???µ¥® ± ?®¥§? ± úS«&?»? £?¢ ¥?¶3¥»ª?É»É?¥e? © ?»ï§ª??»? ³!£?© ú ¢ ¤Y¥ O m 3 £?³ ? © ¥§? ±¤° ª¤« ? £µÅ ?ÎÁ
? ± ú ± ¢ ?Ä5??? ± úFÀ
d ð V5eI?3éõ4fkñFEFI?598gGPC?ñ½ô4I?5Rï4GBhÚð{ñ iéô7GjEF3éõRð{ñ i ñ½ô9õV8?ö £ ?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « x ∗ ð×? £?Ê ? £ ? © ??ü×?ÎÁ
? ± ??¿¤¥ x (1) ð © ??ü×??? ± ?¨Ô©? ʤ± ÉÎ5???¤? £ ?¡É ³!£ « £?Ó ¯©ù?«&?»? £»¢ ¥S¶3¥»ª?É»É?¥!Àk¡ ©¤± ª¤« ? £µÅ ?ÎÁ
? ±¤± «#¥¬? ©¤± ?¤? A ?5¥ x (1) ³!£ ¤ª ʤ± ?©Éûú²Ô§??¤!? £?© b + ?b = A · x (1) À
? É»? £ ¿ Ê ? £e³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ r (1) = x (1) − x ∗ ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú © ??üÿ??? ± ?µ«?ƤeqÕ ¸
Ar (1) = ?b.
ä ÉÎ ±0£ ¤Y¥ Å ?»?©ÉûúF¿ Ê ? £ r (1) ε ¿!? £ x (1) £ ï?? Ê ? £ É Ê¤± ?¬¥¬?»?©Éûú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤?¤? «
© ??ü×??? ± ?µ«t¿¤Ô©? ʤ± ÉÎ5???¤?¤? «?É¡? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù ε À
b £µÅ ? £a£?©¤Ã ¥§? ± ? £ Ô?¥¬?©¯ ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? °×³¤©!£ ?!??É»É&ªY? £?Ê ?!??? ± ú © ??ü×??? ± úF¿ ³!£ ¤Y¥r?!?
離 ¢ ?»? ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ?YªY?¬¥×?Yª Å ?5¥®ú?? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯¤À¤Ç¥? ʤ± ÉÎ ± « x (2) = x (1) + r (1) ± ¿?ª¤« ? £µÅA± Ô
x (2) ?5¥²«#¥¬? ©¤± ?Yª A ¿ ³!£ ¤ª ʤ± «?Ô§??¤!? £?© ?b (2) = A · x (2) − b À ý ? ³ ? © ¯ ³!£?³¤© ¥§Ô©¤Y¥
r (2) = x (2) − x ∗ ± Ô©ÉÄ?qÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± ?¡ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éîú © ??ü×??? ± ú4« ± É ± ÉÄ?§?µ«
¥ ?
Ãî¢ ? ?b (i) = A · x (i) − b ¿ x (i) = x (i−1) + r (i−1)
¸?? £?Ê ?!??? ± ? ³¤©!£?¢4£ Å ¥¬?»?©Éûú ³!£ ¤Y¥ r (i) ªYï??rÔ?¥¬?»?µÀ¢ä ÉÎ ± r (i) ε ¿ ? £ É £ Á
£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Ó ?»? x (i) ³¤©¤± ? ± «#¥¬?»?©Éûúþ?®¥ ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £ ?eÉÿ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù ε © ??ü×??? ± ?
É ± ÉÄ?§?µ« ?´? ôYÀXW ? PÀ1ä ÉÎ ±ÿÅ ? r (i) ?5¥ ʤ± ?5¥¬?»?¡Ô £ ? © ¥§ÉÄ?¬¥¬?©¯ ± ± ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯q?!? ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ¥µÁ
?»?©Éûúÿ?®¥??!??¤ £ ? £?©!£ ?r¦ ± ¤3É ±¤©!£ Ô?¥§?¤? £ ? ʤ± ÉÎ £q± ?§? © ¥§? ±¤° ¿§? £?© ¥§É Ê ?»? ³¤© ??¤ © ¥ Ó ¥¬?»?©ÉûúF¿
± Ô©? ¢ ¥¬?»?©ÉûúËÉ £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Ó ¥®ú ± ?¤¦ £?© «#¥§? ± úFÀ
f â f ØSæ0)¤ÞD@©Þ4Ü&ß9'324Ü&#Sèlknm?o§p?æ&ß7?H' Þ8dCè?ÜvÛFEU4¡ß?)!ævÛF?
¡ £ ÉÄ? ©!£?± « £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £ ? © ¥®?» £?Å ??? ± ?׫#¥¬? ©¤± ?¤? A
A = QR,
Ãî¢ ? Q Á £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úy«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿§¥ R Á ³¤© ¥§Ô?¥®ú´? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®úu? ?Ðüwvax1?º?t«#¥¬? ©¤± ?5¥!À
q?rsq?rut v&w?x#yezew?{P|#ye}e{j~? ?x?}ew?{j?@x#~? V?X?s??w?x#yezew?{P|#ye}e{j~? x??D ?}ex#~ ? {??
¡ £ ¤ª ʤ± « © ¥®?» £µÅ ??? ± ??«#¥¬? ©¤± ?¤? A É ³!£ « £?Ó ¯©ù ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ú0Ô © ¥ Ó ??? ± ú
? ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?´¶ ± Ô§???¤É?¥1?PÀ ? ¥§É»É?« £ ? ©¤± « ?!??É»¤ £ 4¯©¤ £ üg¥ ÃÄ£ Բ̻? £?ÃÄ£ ¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥
?5¥ ³¤©¤± «&? © ??¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? ø?Á £?ÃÄ£S³!£?© ú ¢ ¤Y¥!À
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a 11 a 12 a 13 a 14 a 15
a a a a a
21 22 23 24 25
A = a 31 a 32 a 33 a 34 a 35
a a a a a
41 42 43 44 45
a 51 a 52 a 53 a 54 a 55
Ç¥ÉÄ?#ÌÄ5?µ«&???!?©? ³ ? © Ô £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥r?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?CÕá?!?¥« £?à ªY? ï??t?©¯
?Yª®5??Ô©? « ± À 9ä ÉÎ ± a 11 = a 21 = 0 ¿!? £A± É ³!£ 4¯¬?»ª©ú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t??«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÁ
¥Åf
?¬¥ © ? £?ÃÄ£ Ô © ¥ Ó ??? ± ú
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
cos ? 12 −sin? 12 0 0 0
sin ? 12 cos ? 12 0 0 0
Q 12 (? 12 ) = 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
¸ «#¥¬? ©¤± ?¤? A 12 = Q 12 A ± ?®«&???Yú5ùa?©Éûú ? £ 4¯©¤ £ ÌÄ5?µ«&???!?©? ³ ? © Ô £?°?± Ô§? £?©!£?°
ÉÄ? ©!£ ¤ ±
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a 11 cos ? 12 − a 21 sin ? 12 · · · a 15 cos ? 12 − a 25 sin ? 12
a 11 sin ? 12 + a 21 cos ? 12 · · · a 15 cos ? 12 + a 25 sin ? 12
A 12 = a 31 a 32 · · ·
a 41 a 42 · · ·
a 51 a 52 · · ·
¡ © ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§?¤?¤?t?rÌÄ5?µ«&???!?©?8Ô©? © ¥ Å ¥§ùa?©Éûú Ê ? © ?Ä?aÌÄ5?µ«v???!????? £?ÃÄ£¡Å ?eÉÄ? £ 5ï¬Á
?5¥!¿&Ôy¤ £ ? £?©!£ « ?5¥µÍ £?¢ ú¤?©ÉûúF¿ ± ÉΪ¤«#«#¥ ± Í?¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬? £ Ôþ?!? ± ?®«&???Yú¤?»?©ÉûúFÀFò?? ° ÉÄ?©Ô ± Á
?§?Ä4¯©? £ ¿
a (12) 1i 2 + a (12) 2i 2 = (a 1i cos ? 12 − a 2i sin ? 12 ) 2 + (a 1i sin ? 12 + a 2i cos ? 12 ) 2 =
= a 2 + a 2
1i 2i
Ç¥?tï©? © ?µ«Tª ÃÄ£ ? 12 ?¬¥§¤ ¿ Ê ? £ ï?? ÌÄ5?µ«&???!? a (12) 21 «#¥¬? ©¤± ?¤? A 12 £ ï © ¥ Ó ¥®4Éûú?Ô×?Yª®4¯¤¿
?®À ??À
a 11 sin ? 12 + a 21 cos ? 12 = 0.
¼e?qÌ»? £?ÃÄ£A© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?µ«?Ô©? © ¥ Å ??? ± ú
sin ? 12 = − a 2 a 21 + a 2 , cos ? 12 = a 2 a 11 + a 2 .
11 21 11 21
¥½?
ý ? ³ ? © ¯ A 12 ª¤« ? £µÅA± «8ÉÎ5??Ô?¥g?5¥S«#¥¬? ©¤± ?Yª
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
cos ? 13 0 −sin? 13 0 0
0 1 0 0 0
Q 13 (? 13 ) = sin ? 13 0 cos ? 13 0 0 .
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
¸ «#¥¬? ©¤± ?¤? A 13 = Q 13 A 12 ± ?®«&???Yú¤?©ÉûúáÌÄ5?µ«&???!?©? ³ ? © Ô £?°?± ? © ?»?©¯§? ° ÉÄ? ©!£ ¤ ± À
Õ??5¥® £?û±¤Ê ? £c³¤© ? ¢ ? ¢ ª Ó ?µ«vª?Ô©?tï©? © ?µ« ª ÃÄ£ ? 13 ?®¥§¤ ¿ Ê ? £ ï?? a (13) 31 = 0 ¿#? £?Ãî¢ ¥
ÌÄ5?µ«&???!? a (13) 11 = a (12) 11 2 + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 > 0 À
31 11 21 31
¡ £ Ô§? £?©¤± «?Ì»? £ ? ³¤©!£ ?!??ɻɨ? Ó ? ¢ Ô?¥ © ¥®?®¥!¿ ±´³!£ ¤ª ʤ± « «#¥¬? ©¤± ?Yª
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a 15 a (15) 12 a (15) 13 a (15) 14 a (15) 15 a (1) 11 a (1) 12 a (1) 13 a (1) 14 a (1) 15
11
0 a (12) 22 a (12) 23 a (12) 24 a (12) 25 0 a (1) 22 a (1) 23 a (1) 24 a (1) 25
A 1 = 0 a (13) 32 a (13) 33 a (13) 34 a (13) 35 = 0 a (1) 32 a (1) 33 a (1) 34 a (1) 35
0 a (14) 42 a (14) 43 a (14) 44 a (14) 45 0 a (1) 42 a (1) 43 a (1) 44 a (1) 45
0 a (15) 52 a (15) 53 a (15) 54 a (15) 55 0 a (1) 52 a (1) 53 a (1) 54 a (1) 55
ª´¤ £ ? £?©!£?° Ô©ÉÄ?qÌÄ5?µ«&???!?©? ³ ? © Ô £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥!¿4?5¥ ʤ± ?5¥®ú²É £ Ô§? £?©!£?ÃÄ£e© ¥§Ô©?¤???Yª®4ù׿
¥ a (1) 11 = a 2 11 + . . . + a 2 15 À ?bË¥¬? ©¤± ?5¥ A 1 ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú ± ? A É ³!£ « £?Ó ¯©ù £?© ? £?ÃÄ£ Á
?5¥®4¯©? £?ÃÄ£A³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ú
A = Q · Q · Q · Q · A = Q · A,
1 15 14 13 12 1
Ãî¢ ? Q 1 = Q 15 · Q 14 · Q 13 · Q 12 £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úy«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿5?¬¥§¤Ë¤Y¥§¤ £ ?5¥ © ¥§Ô©?5¥
°
³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ù £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¥Í À
Õ??5¥® £?û±¤Ê ? £ ÉÄ? ©!£?± ?©Éûú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úá«#¥¬? ©¤± ?5¥ Q 2 = Q 25 · Q 24 · Q 23 ¿??¬¥µÁ
¤Y¥®úF¿ Ê ? £ ª «#¥¬? ©¤± ?¤? A 2 = Q 2 A 1 = Q 2 Q 1 A ?Yª®5??Ô©? « ± ÉÄ?¬¥§? £ Ô¬ú¤?©Éûú ³!£?¢¤¢§± ¥ ÃÄ£ Á
?5¥®4¯©?¤?t?ÿÌÄ5?µ«&???!?©? Ô ³ ? © Ô©?¥Í ¢ Ô¬ª?ÍyÉÄ? £ 5ï??5¥µÍ À ? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ³¤©¤± ª¤« ? £?Å ??? ±¤±
«#¥¬? ©¤± ?¤? A 1 ?5¥S«#¥¬? ©¤± ?Yª Q 2 ÌÄ5?µ«&???!?©? ³ ? © Ô £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥ ±Ë³ ? © Ô £?° ÉÄ? ©!£ ¤ ± ?!?
± ?®«&???Yú5ùa?©ÉûúF¿5¥ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? ° ÌÄ5?µ«&???!? a (2) 22 = a (1) 22 2 + . . . + a (1) 25 2 > 0 À
¥ µ
Õ??5¥® £?û±¤Ê ? £ ÉÄ? ©!£ ú¤??Éîúy«#¥¬? ©¤± ?¤? Q 3 ± Q 4 ¿ ± Ô © ?Ä?»ª®4¯??¬¥¬?§? ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú´? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú²«#¥¬? ©¤± ?5¥ A 4 = Q 4 · Q 3 · Q 2 · Q 1 A ¿Yª0¤ £ ? £?©!£?° Ô©ÉÄ? ³!£»¢¤¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?
ÌÄ5?µ«&???!?©? © ¥§Ô©?¤? ?Yªµ4ù׿e¥ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t??¿r¤ ©!£ «&??¿tï??t?©¯ « £µÅ ?»?µ¿ ³!£ ÉÎ5? ¢ ?!? ÃÄ£
?!? £ ? ©¤± ?5¥¬?§?Ä4¯©?¤?qÀ
ä ÉÎ ± ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?5¥®úþ«#¥¬? ©¤± ?5¥ A © ¥®?®«&? © ¥ m × m ¿4? £e£ ?5¥e¥§?5¥® £?û±¤Ê ? £?³¤© ? £ ï¬Á
© ¥®?»ª??»?©Éûú´¤ËÔ ±3¢ ª
A m−1 = Q m−1 · ... · Q 1 · A = Q · A,
Ãî¢ ? Q £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úá«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿&¥y«#¥¬? ©¤± ?5¥ A m−1 ³¤© ¥§Ô?¥®úc? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú
° °
«#¥¬? ©¤± ?5¥!À?ýv¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ «t¿(É ³!£ « £?Ó ¯©ù ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± úTÔ © ¥ Ó ??? ± ú ³!£ ¤ª Ê ??? £
£?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £ ? © ¥®?» £?Å ??? ± ?׫#¥¬? ©¤± ?¤? A = QR ¿ Ãî¢ ? Q = Q −1 ¿ R = A m−1 À
q?rsq?rs? v&w?x#yezew?{P|#ye}e{j~? ?x?ye?jw?{P??x#~? V???s??w?x#yezew?{P|#ye}e{j~? V? ? {F?a?¥??yB?V?4x#w?{??
¼¨É ³!£ 4¯¬?»ª??µ« ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ? £ ? © ¥ Å ??? ± ú i? ¾¡¥»ª?ÉîÍ £ ¢ ? © ¥ 1??É¥«#¥¬? ©¤± ?!? ° P ¢ ¤ú
³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú QR Á © ¥®?» £µÅ ??? ± úA«#¥¬? ©¤± ?¤? A À 8bË¥¬? ©¤± ?5¥ £ ? © ¥ Å ??? ± ú P ? ôYÀÈ÷ ? ± «&?ÎÁ
?»?AÔ ±3¢
u u T
P = E − 2
u T u
Ãî¢ ? u = v − σ v e ¿ σ = −1, ??ÉÎ ± v 1 0, ¿ e = (1, 0, . . . , 0) T À
1, ??ÉÎ ± v 1 < 0.
¡ ©!£?± ?µÔ £ 4¯©?¤? °?£ ?? ±¤Ê ?¤? °h£ ? ?Yªµ5??Ô £?ÃÄ£ m Á«&? © ?¤? ° Ô§??¤!? £?© ÁñÉÄ? £ 5ï§??? v =
(v 1 , v 2 , . . . , v m ) T É ³!£ « £?Ó ¯©ù «#¥¬? ©¤± ?¤? P ³¤© ? £ ï © ¥®?»ª??»?©Éûú?Ô σ v e À Ç¥Ô§? ¢ ??? ± ?
¤ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?!?©? σ ³!£ ?µÔ £ ¤ú¤?»?ÿª¤«&???¤¯©ü ± ?©¯AÔ¬ ± ú5? ± ? £ ü ± ï £ ¤ £ ¤ © ª à 5??? ± úFÀ
Ç¥?tï©? © ?µ«áÔr¤Y¥ Ê ??ÉÄ?©Ô§? m Á¢«&? © ? £?ÃÄ£ Ô§??¤!? £?© ¥ v 1 ³ ? © Ô©? ° ÉÄ? £ 5ï©???Ë«#¥¬? ©¤± ?¤? A
v 1 = (a 11 , a 21 , . . . , a m1 ) T
¥½å
±0³!£ ÉÄ? ©!£?± «8«#¥¬? ©¤± ?Yª P 1 © ¥®?®«&? © ¥ m × m ¿!?¬¥§¤Yª!ù׿ Ê ? £ P 1 v 1 = σ 1 v 1 e 1 ¿!? £?Ãî¢ ¥
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
σ 1 v (1) a (1) 12 · · a (1) 1m
0 a (1) 22 · · a (1) 2m
A 1 = P 1 · A = · · · · ·
· · · · ·
0 a (1) m2 · · a mm (1)
ý?? ³ ? © ¯SÔ £ ?µ¯?«&?µ«´? m − 1 ? óÁ«&? © ?¤? ° Ô§??¤!? £?© v 2
v 2 = (a (1) 22 , a (1) 32 , . . . , a (1) m2 ) T
±?³!£ ÉÄ? ©!£?± «y«#¥¬? ©¤± ?Yª P © ¥®?®«&? © ¥ (m−1)×(m−1) ¿??®¥§¤Yª!ù׿ Ê ? £ P v 2 = σ 2 v 2 e 2 ¿
Ãî¢ ? e 2 = (1, 0, . . . , 0) T ? m − 1 ? óÁ«&? © ?¤? ° Ô§??¤!? £?© ÁñÉÄ? £ 5ï©??? À#òÿ¥®5?»?ËÔ £ ?µ¯?«&?µ«
°
«#¥¬? ©¤± ?Yª P 2 © ¥®?®«&? © ¥ m × m
? ?
1 0
P 2 = ?,
0 P ?
? £?Ãî¢ ¥
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
σ 1 v 1 a (1) 12 a (1) 13 · a (1) 1m
0 σ 2 v 2 a (2) 23 · a (2) 2m
A 2 = P 2 · A 1 = P 2 P 1 · A = 0 0 a (2) 32 · a (2) 3m
· · · · ·
0 0 a (2) m3 · a mm (2)
¥½ì
¡ ©!£?¢4£ Å ¥®úËÌ»? £ ? ³¤©!£ ?!??ɻɩ¿ ³!£ ¤ª ʤ± «
A = P · A = P . . . P · A =
m−1 m−1 m−1 m−1 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
σ 1 v (1) a (1) 12 a (1) 13 · a (1) 1m
0 σ 2 v 2 a (2) 23 · a (2) 2m
= · · · · ·
0 0 · σ m−1 v m−1 a m−1,m (m−1)
0 0 · 0 a mm (m−1)
£ ?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « A m−1 = R ± Q = P 1 T · P 2 T . . . · P m−1 T ¿%? £?Ãî¢ ¥ ³!£ ¤ª ʤ± « ± É»¤ £ « £ ?
© ¥®?» £µÅ ??? ± ?
A = Q · R.
Ç ³¤©!£ ?!??É»ÉÄ? © ?µ¥® ± ?®¥§? ±¤± ¥® ÃÄ£?©¤± ??« £ ÔA«&?»? £?¢ ¥ £ ? © ¥ Å ??? ±¤° ? ?¬¥§¤ Å ?פ3¥§¤ ± «&?ÎÁ
? £?¢ ¥SÔ © ¥ Ó ??? ±¤° ? ¢Ô©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú²«#¥¬? ©¤± ?5¥ A m−1 ³¤© ¥§Ô?¥®ú´? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú²«#¥¬? ©¤± Á
°
?5¥!ÀFë?? £ ï??hÔ©? ʤ± ÉÎ ± ?©¯ £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?Yª!ù «#¥¬? ©¤± ?Yª Q ¿(?5¥ ¢4£ É»?5¥ Ê ¥®§¥ ³!£ £µÅA± ?©¯
?»? © ¥§Ô©? £?° ? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?!??¿4¥??®¥¬?§?µ«á?5¥g¤Y¥ Åg¢4£ «áüg¥ à ??ª¤« ? £µÅ ¥¬?©¯r???¡ÉÎ5??Ô?¥
?5¥ P i T ¿ i = 1, . . . , m − 1 ¿!? £?Ãî¢ ¥g離 ¢ ?»?AÔ©? ʤ± ÉÎ5???5¥ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ Q À
f â v ØSæ0)¤ÞD@©Þ4Ü&ß9'324Ü&#Sè?4¡è6)¤Þ67 # æ&è3çEè?ÜvÛFEQàrq5sut
ä ÉÎ ±?± ?µÔ§??ÉÄ??? £E© ¥®?» £?Å ??? ± ?y«#¥¬? ©¤± ?¤? A = QR ¿ Ãí¢ ? Q ð £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®ú
«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿§¥ R 𠳤© ¥§Ô?¥®úG? ?ÐüuvaxH?º?¢? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú²«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿5? £A© ??ü×??? ± ?×ƤeqÕ ¸
Ax = b
É»Ô £?¢§± ?©Éûúˤ © ??ü×??? ± ù?Ì?¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©? £?° É ± ÉÄ?§?µ« ?
Rx = Q T b ?Ú`!ÀÈôH?
É ³¤© ¥§Ô £?° ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©? £?° «#¥¬? ©¤± ?!? ° À ? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ cond(A) = cond(R) À Ç ?®¥µÁ
Ô ± É ± « £ ÉÄ? ±0£ ?AÉ ³!£ É £ ï?¥ ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £?ÃÄ£S© ¥®?» £µÅ ??? ± ú ³!£ ¤ª Ê ¥§ùa?©Éûú
© ¥®?» ±¤Ê ?¤?t?ÿ«&?»? £?¢ ? © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ ¸ À
? û
?????g?4???e?X?7????? ? ¡ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúF¿¢??ÉÎ ± ¢ ¤ú ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú ? ??Á © ¥®?» £µÅ ??? ± ú
«#¥¬? ©¤± ?¤??Õ ± É ³!£ 4¯¬? £ Ô?¥® ± É»¯ ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ú´Ô © ¥ Ó ??? ± úFÀ
Ç «&?»? £?¢ ??Ô © ¥ Ó ??? ±¤° « £?Å ? £ ª¤«&???¤¯©ü ± ??¯ ʤ± ÉÎ £y£?³ ? © ¥§? ±¤° ¿F?®¥©«&??? ± Ô´ª¤« ? £ Á
Å ??? ± ?g«#¥¬? ©¤± ?¤? A ?5¥e«#¥¬? ©¤± ?YªyÔ © ¥ Ó ??? ±¤° Q ij ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?µ«?? £ 4¯©¤ £ i Á £?°
± j Á £?° ÉÄ? ©!£ ¤ ³!£ ¦ £?© «vª®§¥©«
b (1) ik = b ik cos ? ij − a jk sin ? ij
k = 1, . . . , m.
b (1) jk = b ik sin ? ij + a jk cos ? ij
b Ë¥¬? ©¤± ?5¥ Q Ô©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú £?¢ ? £ Ô © ?µ«&???¤? £ É¡«#¥¬? ©¤± ?!? ° A m−1 = R ¿Y??ÉÎ ± É»?5¥µÁ
Ê ¥®§¥ ³!£ £µÅA± ?©¯??»? © ¥§Ô©? £?° ? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?!??¿r¥C?®¥¬?§?µ« ?5¥?¤Y¥ Åg¢4£ « üg¥ à ?
³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú QR © ¥®?» £µÅ ??? ± ú ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô©?rÔ?¥¬?©¯e?»?ÿÌÄ5?µ«&???!?©? ?¬¥§¤ Å ?S¤Y¥§¤yÌÄ5?ÎÁ
«&???!?©??«#¥¬? ©¤± ?¤? A À
¡ ©¤± Ô§? ¢ ?µ« £?¢§± ? ± ? Ô?¥ ©¤± ¥§?!? £ Ô ¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥ ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú QR © ¥®?» £?Å ??? ± ú?É
³!£ « £?Ó ¯©ù ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ±¤° Ô © ¥ Ó ??? ± úF
W ©À ³¤©¤± É»Ô £?± ?©¯e«#¥¬? ©¤± ?!? Q ? ¢§± ? ±¤Ê ?Yª!ùh«#¥¬? ©¤± ?Yª?¿
ôYÀ5? ± ¤Y ³!£ i £ ? 1 ¢4£ m − 1 ¿
` !À ?5¥ ° ? ± ÔS? ± ¤Y5? ³!£ k £ ? i ¢4£ m ³ ? © Ô©? ° ?!???Yª®5??Ô £?° ÌÄ5?µ«&???!? a ik
? |a ik | > ε ¿ Ãí¢ ? ε ðe? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯ © ¥§É Ê ?»?®¥!¿5¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ k ? P¿
??ÉÎ ±0£ ¤Y¥ Å ?»??ÉîúF¿ Ê ? £ k > i ¿¤? £e³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô ± ?©¯ i ± k ÉÄ? £ 5ï??¤? ±´³ ? © ? ° ? ±
¤ ³ ª!?¤¤!?§ªic5À ¿
??ÉÎ ± ?®¥§¤ £?ÃÄ£ ÌÄ5?µ«&???!?¬¥g?!?»?µ¿¤? £S³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô ± ?©¯rÌÄ5?µ«&???!?©? i Á £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥rÉ
ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± (m + 1 − i) Á £?ÃÄ£ ¿?ª!Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?©¯ i ?5¥×? ¢§± ? ± ?Yª ± ³¤©!£?¢4£ ÅA± ??¯
? ± ¤Y ³!£ i À
c 5À ? ± ¤Y ³!£ j £ ? i + 1 ¢4£ m ¿
øYÀ r := a 2 + a 2 ³ c := a ii ³ s := − a ji
ii ji r r
? !À ? ± ¤Y ³!£ k £ ? i + 1 ¢4£ m ¿
÷YÀ r := a ik ∗ c − a jk ∗ s ³ a jk := a ik ∗ s + a jk ∗ c ³ a ik := r ³
ö!À r := q ik ∗ c − q jk ∗ s ³ q jk := q ik ∗ s + q jk ∗ c ³ q ik := r ³
Y !À ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ k ¿
W ?õ!À ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ j ¿
? »
WHW©À¤¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ i À
¡ £ ÉÎ5?qÔ©? ³!£ 4?!??? ± úËÌ»? ± ͲԬ £?Å ???¤?¤?¥Í²? ± ¤Y £ Ô ³!£ ¤ª Ê ¥§ùa?©Éîú²?¬¥§¤ ± ?ÿ«#¥¬? ©¤± ?¤?
R = A m−1 ? ³¤© ¥§Ô?¥®ú´? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®úD? ± Q = Q T ? £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úD?P¿ Ê ? £ A = Q R À
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ¿§??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥???Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤?5¥®úF¿§? £ Ô ³¤©!£ ?!??É»ÉÄ? ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú
© ¥®?» £µÅ ??? ± úË?5¥r?!??¤ £ ? £?©!£ «?üg¥ à ? i Ô £ ?®« £µÅ ? £A³!£ ú5Ô¬5??? ± ?qÉÄ? £ 5ï??5¥!¿!ª0¤ £ ? £?©!£?ÃÄ£
¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? ° ÌÄ5?µ«&???!? ± Ô©ÉÄ? ³!£?¢¤¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t? © ¥§Ô©?¤? ?Yª®4ù×À4Ç Ì»? £ «áÉΤª Ê ¥¬?
ÌÄ5?µ«&???!?©? i Á £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥ ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ùa?©ÉûúSÉ¢ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ±r³!£ ÉÎ5? ¢ ?!? ÃÄ£ ?!???Yªµ5??Ô £ Á
ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥!¿ Ê ? £ Ì?¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©? £ ª¤« ? £µÅ ??? ± ù É ³¤© ¥§Ô?¥¡?5¥ £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?Yª!ù «#¥¬? ©¤± Á
?Yª ³ ? © ??ÉÄ?®¥§? £ Ô £ ¤ Àĸ «#¥¬? ©¤± ?¤? A m−1 ?Yª®5??Ô©? « ±¡£ ¤Y¥ Å ªY?©Éûú?ÌÄ5?µ«&???!?©? ³!£ ÉÎ5? ¢ ? ± Í
ÉÄ? £ 5ï?? £ Ô¤¿ ?5¥ ʤ± ?5¥®úcÉ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¥Í À&? £ ±¤Ê ??ÉÄ?©Ô £ ?!???Yª®5??Ô©?¥Í ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¥Í
ÌÄ5?µ«&???!? £ Ôgª´«#¥¬? ©¤± ?¤? A m−1 © ¥§Ô©? £A© ¥§? à ª´«#¥¬? ©¤± ?¤??ÕÿÀ
????ü×??? ± ? É ± ÉÄ?§?µ« ? ` !ÀÈô Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©ÉûúQ?¬¥§¤ Å ?E¤Y¥§¤ £ ï © ¥¬?©?¤? ° Í £?¢ Ôá«&?»? £?¢ ?
¶Y¥»ª?É»É?¥g?5¥rÉÄ? © ¥§? ± ?!? ` ?ô À
? ¥©«&? Ê ¥§? ± ??À¸ä ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥?? ³¤© ¥§Ô?¥®ú ³!£?Ê ? ± ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú¯? ³¤© ¥§Ô?¥®úg«#¥¬? ©¤± ?5¥
¾???É»ÉÄ???!ï©? ©¤Ã ¥ 1?P¿Ä? £ ¢ ¤ú ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú?? ¡ QR © ¥®?» £µÅ ??? ± ú ³!£ ? © ?»ï§ª??»?©Éûú×ÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô§???3Á
? £ «&???¤¯©ü×? £?³ ? © ¥§? ±¤° ? ª¤« ? £?Å ??? ±¤° ?5¥S«#¥¬? ©¤± ?¤? Q ij ? PÀ
ë ± ÉÎ £á£?³ ? © ¥§? ±¤° ª¤« ? £µÅ ??? ± ú ± ¢ ?Ä5??? ± úF¿r?!? £ ï?Í £?¢§± « ?¥Í ¢ ¤ú © ?µ¥® ± ?®¥§? ±¤±
«&?»? £?¢ ¥rÔ © ¥ Ó ??? ±¤° ¿ ± «&?»?»? ³!£?© ú ¢4£ ¤ O(2m 3 ) À
?????g?4?¢??? ?£?D¤¥??? ? ¡§¦ b 0?»? £?¢y£ ? © ¥ Å ??? ±¤°²³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúF¿¤??ÉÎ ± QR Á © ¥®?» £µÅ ?ÎÁ
? ± ??«#¥¬? ©¤± ?¤? Õ ³!£ ÷ Ä? ©!£ ??? £ É ³!£ « £?Ó ¯©ù ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ±¤°?£ ? © ¥ Å ??? ± ú u?wÉ?«tÀ!ÉÄ? © À
` ?÷ ? PÀ
ÇE«&?»? £?¢ ? £ ? © ¥ Å ??? ±¤° « £µÅ ? £ ª¤«&???¤¯©ü ± ?©¯ ʤ± ÉÎ £?£?³ ? © ¥§? ±¤° ¿¬É £ ? ¢ ¥§Ô ³¤©!£ ?!? ¢ ª?Á
© ª ³ ? © ?µ« ? £µÅ ??? ± ú0« ± ? £?©!£ Ôg«#¥¬? ©¤± ? À!ý £?Ãî¢ ¥×?!? ³!£ ? © ?»ï§ª??»?©Éûú ÉÄ? ©!£?± ?©¯r«#¥¬? ©¤± ?¤?
P i © ¥®?®«&? © ¥ m × m À ?? ©!£ «&?q? £?ÃÄ£ ¿5?®¥§¤²¤Y¥§¤²« ± ? £?© ? ± «&??ùa?e«&???¤¯©ü ±¤°Ë³!£?© ú ¢4£ ¤ ¿
? £e³¤©¤±Ë± Í ³ ? © ?µ« ? £µÅ ??? ±¤± ? © ?»ï§ª??»?©Éûú²«&???¤¯©ü×? £?³ ? © ¥§? ±¤° À
4 3
ÇQ«&?»? £?¢ ? £ ? © ¥ Å ??? ±¤° ? © ?»ï§ª??»?©ÉûúËÔ©? ³!£ 4? ± ??¯ O m 3 £?³ ? © ¥§? ±¤° ª¤« ? £µÅ ?ÎÁ
? æ
f â B åhè6)¤Þ87 p 0Þ9' è8%1%©ÝFÞD@©Þ¨kÁ4¡è6)¤Þ67 Ý&Ù§ßk7 æ&ß?)!Ü&ÞD@©ÞTÝ?Þ4ævÜFE p
½???¤ £ ? £?© ?t??«&?»? £?¢ ? ± É ³!£ 4¯¬?»ª!ùa? £ É £ ï??t??É»Ô £?° ÉÄ?©Ô?¥ «#¥¬? ©¤± ? Àq?v¥§É»É?« £ ? ©¤± «
ÉΤª Ê ¥ ° É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ?¤?¥Í²«#¥¬? ©¤± ? A = A ∗ À
g è3Þ4æ&è84¡ßEÞEæ&ß7?H' Þ?dEè?ÜvÛvÛ p 0Þ9' è8%1%©Ý?ÞD@©Þ
¡ eª?ÉÄ?©¯ A = A ∗ ± Ô©ÉÄ?r?»? à §¥§Ô©?¤?t?e« ± ? £?© ? £ ?? ±¤Ê ?¤? £ ???Yª®¤úF¿©? £?Ãî¢ ¥qÉ ³¤© ¥§Ô§? ¢ Á
± Ô £?© ¥®?» £?Å ??? ± ? A = L D L ∗ ¿ Ãí¢ ? D 𠢧± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úg«#¥¬? ©¤± ?5¥r?wÉ ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ±
d ii = 1 ± ± d ii = −1 ? P¿ L ðA5??Ô?¥®ú0? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú²«#¥¬? ©¤± ?5¥!À
? GPI?59??5B3 ñÁó4??EF3?HBG(ö e ?ùa離!ù «#¥¬? ©¤± ?YªCÉ £ ?? ±¤Ê ?¤? « ±C£ ?y?Yªµ¤ú à §¥§Ô©?¤? « ± « ± ? £ Á
© ¥©« ± « £µÅ ? £e³¤© ? ¢ ÉÄ?®¥§Ô ± ?©¯eÔSÔ ±3¢ ?
A = L U.
¼e?qÌ»? £?ÃÄ£A© ¥®?» £?Å ??? ± ú²ÉÎ5? ¢ ª©?»?S?!? ³!£?Ê ¤Y¥ © ¥§Ô§???¤ÉÄ??Ô
A = L U = A ∗ = U ∗ L ∗ ⇒ L U = U ∗ L ∗ ⇒ U (L ∗ ) −1 = L −1 U ∗ .
Ç ³!£ 5? ¢ ?!?µ« © ¥§Ô§???¤ÉÄ??Ô§?AÉÎ5??Ô?¥0ÉÄ? £?± ? ³¤© ¥§Ô?¥®úF¿?¥0É ³¤© ¥§Ô?¥ 5??Ô?¥®úþ? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú
°
«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿ ± Ì»? £?© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô £ Ô £ ?®« £µÅ ? £ ¿ ??ÉÎ ± £ ï©? «#¥¬? ©¤± ?¤? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¡¿ ? £
??ÉÄ?©¯
U (L ∗ ) −1 = L −1 U ∗ = D ⇒ U = D L ∗ ⇒ A = L D L ∗ .
b 0?»? £?¢ ¾ £ 5??ɻɻ¤ £?ÃÄ£ ? «&?»? £?¢ ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©? £?ÃÄ£ ¤ £?© ?YúD? £ É»? £ Ô?¥§? ?5¥ ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ±¤±
© ¥®?» £µÅ ??? ± ú A = L D L ∗ ¿ Ãî¢ ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
l 0 · 0 l l ∗ · l ∗
11 11 21 m1
L = l 21 l 22 · 0 , L ∗ = 0 l 22 · l m2 ∗ ,
· · · · · · · ·
l m1 l m2 · l mm 0 0 · l mm
D = diag(d 11 , d 22 , . . . , d mm ) ¿ d ii = 1 ± ± d ii = −1 ? i = 1, . . . , m ? P¿FÉ ± « Ô £ ª©
?5¥ ¢ ÌÄ5?µ«&???!? £ « £ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?g¤ £ « ³ 5??¤3É»? £ ?¡É £?³¤© ú Å ??? ± ??À5Ç É ± ¤ª?É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £ ÉÄ? ±
? ¥
«#¥¬? ©¤± ?¤? A ?»? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t??ÌÄ5?µ«&???!?©? Ô§? Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¡¿ ¢ ¥ Å ????ÉÎ ±C£ ?5¥²¤ £ « Á
³ 5??¤3É»? £ ?µ?5¥ Ê ?5¥®úFÀ
¡ £ ÉÄ? ©!£?± «?¥® ÃÄ£?©¤± ??«?Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± úEÌÄ5?µ«&???!? £ Ô²«#¥¬? ©¤± ?¤? L ¢ ¤úCÔ§? Ó ??ÉÄ?©Ô§???3Á
? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? A À ?¡ £A³¤© ¥§Ô ± §¥©«?ª¤« ? £µÅ ??? ± ú²«#¥¬? ©¤± ? ± «&?»?µ«
m i
a ij = a ji = l ik d kk l jk = l ik d kk l jk , i j,
k=1 k=1
? ¢ ??É»¯ ± É ³!£ 4¯¬?»ª??»?©ÉûúCÉ ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £ ÉÄ?©¯y«#¥¬? ©¤± ?¤? A ±E© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥ l ik = 0 ¿F??ÉÎ ±
k > i À
Æ¢?5¥ Ê ¥®§¥ ³!£ £µÅA± « i = 1 ¿!? £?Ãî¢ ¥
a = a = l d l ,
1j j1 11 11 j1
£ ?©É»ù ¢ ¥SÉÎ5? ¢ ª??»?
a 11 = l 11 2 d 11 , ± l j1 = l 11 a 1j d 11 , 2 j m.
Ç¥?tï©? © ?µ« d 11 = sgn(a 11 ) ¿v? £?Ãî¢ ¥ l 11 = |a 11 | 離 ¢ ?»?þÔ§? Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤?¤? « ʤ± ÉÎ £ «tÀ
Ç¥ÉÄ?¡ÌÄ5?µ«&???!?©? ³ ? © Ô £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥A«#¥¬? ©¤± ?¤? L Ô©? ʤ± ÉÎ5???¤?¡À
¡ eª?ÉÄ?©¯rÔ©? ʤ± ÉÎ5???¤? ³ ? © Ô©?t? r − 1 ÉÄ? £ 5ï??¤??«#¥¬? ©¤± ?¤? L ¿!? £ ??ÉÄ?©¯rÔ©? ʤ± ÉÎ5???¤?
l ij ¢ ¤ú 1 i r − 1 ± r − 1 j m À
Ç¥? ʤ± ÉÎ ± «áÌÄ5?µ«&???!?©? r Á £?ÃÄ£ ÉÄ? £ 5ï??5¥!¿ ± É ³!£ 4¯¬?»ª©ú © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô £
r r−1
a rj = l rk d kk l jk = l rk d kk l jk + l rr d rr l jr , r j m.
k=1 k=1
Æ¢?5¥ Ê ¥®§¥ ³!£ £µÅA± « j = r ¿¤? £?Ãî¢ ¥gÌ»? £A© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô £A³¤©¤± «&?»?AÔ ±3¢
r−1
a rr = l rk 2 d kk + l rr 2 d rr .
k=1
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ Ô©ÉÄ?eÉΧ¥ à ¥¬?µ« ?t? ³!£?¢ ?µ?5¥§¤ £ «EÉΪ¤«#« ? Ô©? ʤ± ÉÎ5???¤? ?5¥ ³¤© ? ¢ ? ¢ ª Óÿ± Í
r−1
üg¥ à ¥µÍ À4Ç¥?tï©? © ?µ« d rr = sgn(a rr − l 2 rk d kk ) ¿!? £?Ãî¢ ¥
k=1
r−1
r−1 a rj − l rk d kk l jk
l rr = a rr − k=1 l rk 2 d kk , ¥ l jr = k=1 l rr d rr , r < j m.
?½?
1 3
òq¤ú¡?®¥§¤ £?ÃÄ£a³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú © ¥®?» £?Å ??? ± ú¡¾ £ 5??ɻɻ¤ £?ÃÄ£ ? © ?»ï§ª??»?©Éîú ³!£?© ú ¢ ¤Y¥ O m 3
¥ ©¤± ¦q«&?»? ±¤Ê ??É»¤ ± Í £?³ ? © ¥§? ±¤° ¿®?®À¬??À®Ô ¢ Ô £ ?r«&???¤¯©ü×??¿ Ê ?µ«yÔ¡«&?»? £»¢ ?a¶3¥»ª?É»É?¥!À(¡ ©¤±g© ?ÎÁ
ü×??? ±¤± Æ ¤eqÕ&¸ Ì»? £q© ¥®?» £µÅ ??? ± ? ³!£ ?µÔ £ ¤ú¤?»?¨?¬¥§¤ Å ??¿?¤3¥§¤ LU © ¥®?» £µÅ ??? ± ??¿©É»Ô§??ÉÄ? ±
© ??ü×??? ± ?rÉ ± ÉÄ?§?µ« ? ? ôYÀXW ? v¤ © ??ü×??? ± ù ¢ Ô¬ª?ÍSÉ ± ÉÄ?§?µ«þÉ¢? © ?Ī ÃÄ£ 4¯©?¤? « ± «#¥¬? ©¤± ?5¥©« ± À
£ ¨É £ ï©???¤? £ ª ¢4£ ï??5¥ÿÌ»?¬¥ÿÉîÍ??µ«#¥ ¢ ¤ú´É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ?¤?¥Í´ÉΧ¥¬ï £ ?®¥ ³!£ 4?!???¤?¤?¥Í?? 5???3Á
? £?Ê ?¤?¥Í?? «#¥¬? ©¤± ? À
f â XV êÿÞ?hvæ&ÞD%1# Û Tjhvæ&ß9d?Ü&è?ÜvÛFEw7&'0E % ?ßD4¡Þ?hvæ&Þ§Ù§è?ævÝvÛ
? ? ? ? ? ? ? ?
2 −2 −6
W ©ÀD¡ £ ÉÄ? ©!£?° ?§? LU © ¥®?» £µÅ ??? ± ?ÿ« ¥¬? ©¤± ?¤? A = −1 2 5
3 −2 −9
ôYÀ§Ç¥? ʤ± ÉÎ ± ?§? £?³¤© ? ¢ ?Ä ± ?§?Ä4¯e«#¥¬? ©¤± ?¤? A ± ? ³ ª!?¤¤!?¬¥lW©À
` !À?Æ¢¦ £?© «vª® ±¤© ª ° ?§? ±×¢4£ ¤Y¥ ÅA± ?§? ?§? £?© ?µ«vª £ U L © ¥®?» £µÅ ??? ±¤± «#¥¬? ©¤± ?¤?ú? ¥§?5¥µÁ
£?û±¤Ê ?Yª!ù ?§? £?© ?µ«&? £ LU © ¥®?» £µÅ ??? ±¤± «#¥¬? ©¤± ?¤???PÀ
c 5À§½¡¥ °3¢§± ?§??É ³!£ « £?Ó ¯©ù «&?»? £?¢ ¥e¶3¥»ª?É»É?¥ © ??ü×??? ± ?qÉ ± ÉÄ?§?µ« ? Ax = b ¿ Ãî¢ ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5.01 8 5 −19.01
A = 2 3 5 , b = −1 .
3 4.99 5 −7.97
Ç¥? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©!£ Ô £?¢§± ?§?eÉg? © ?µ«vúþ?µ?5¥ Ê ¥ Óÿ± « ± ? ± ¦ © ¥©« ± Àv?F?Ä?»ª®4¯µ?¬¥¬?ËÉ © ¥§Ô©? ± ?§?
ɨ? £?Ê ?¤? « © ??ü×??? ± ?µ« x ∗ = (−1,−3,2) T À ? ? ? ? ? ? ? ?
1.0 2 3
øYÀ3¡ £ ÉÄ? ©!£?° ?§? QR © ¥®?» £µÅ ??? ± ?0«#¥¬? ©¤± ?¤? A = 0 0 1 É ³!£ « £?Ó ¯©ù
2 3 4
³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± úþÔ © ¥ Ó ??? ± ú ? ó¶ ± Ô§???¤É?¥1?PÀ?Ç¥? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©!£ Ô £»¢§± ?§?AÉg? © ?µ«vú ?µ?5¥µÁ
Ê ¥ Óÿ± « ± ? ± ¦ © ¥©« ± À
? !À{¡ £ ÉÄ? ©!£?° ?§? QR © ¥®?» £µÅ ??? ± ?r«#¥¬? ©¤± ?¤?h«#¥¬? ©¤± ?¤? A ± ? ³ ª!?¤¤!?¬¥0øSÉ ³!£ « £ Á
Ó ¯©ù ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ú £ ? © ¥ Å ??? ± ú ? ¾¡¥Äª?ÉîÍ £ ¢ ? © ¥ 1?PÀ Ç¥? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©!£ Ô £?¢§± ?§?0É
? © ?µ«vú0?µ?5¥ Ê ¥ Óÿ± « ± ? ± ¦ © ¥©« ± À
? f
÷YÀ¤½q¥ °3¢§± ?§?¡É ³!£ « £?Ó ¯©ù?«&?»? £?¢ ¥×¾ £ 5??ɻɻ¤ £?ÃÄ£g© ??ü×??? ± ?¨É ± ÉÄ?§?µ« ? Ax = b ¿ Ãî¢ ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1.0 −1.0 2.0 6.0
A = 1.0 5.0 0 , b = −14 .
2.0 0 6.0 10
Ç¥? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©!£ Ô £?¢§± ?§?×ɨ? © ?µ«vú´?µ?5¥ Ê ¥ Óÿ± « ± ? ± ¦ © ¥©« ± À
ö!ÀF¼e?®«&??? ± ?§?r¥® ÃÄ£?©¤± ??« «&?»? £?¢ ¥´¶Y¥Äª?É»É?¥??5¥?ÉÄ? © ¥§? ± ?!? ` ?ô ¢ ¤ú © ??ü×??? ± ú l É ± Á
ÉÄ?§?µ«Ë ± ?!? ° ?¤?¥Íת © ¥§Ô©?!??? ±¤° É £?¢§± ?5¥§¤ £ Ô £?° «#¥¬? ©¤± ?!? ° A ± l © ¥®?µ?¤? « ± ÉÄ? £ 5ï??5¥©« ±
³¤© ¥§Ô©?¥Í Ê ¥§ÉÄ?§? ° À
Y !À ¡ £ ÉÄ? £?° ?§?e¥® ÃÄ£?©¤± ??« QR © ¥®?» £µÅ ??? ± úE«#¥¬? ©¤± ?¤??É ³!£ « £?Ó ¯©ùÑ«&?»? £?¢ ¥ £ ?®Á
? ?
« ¬ z& u ®! !§} ! t þ~p z&§ © t ! £ ! ?¤ ¦ gfihqp
Æ ªY?©¯ ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤?¥Í «&?»? £?¢4£ Ô×É £ ÉÄ? £?± ?×Ô×Ô©?tï £?© ?e?5¥ Ê ¥®4¯©? £?Ãģ׳¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú
x (0) ¤0? £?Ê ? £ «vª © ??ü×??? ± ù x ∗ É ± ÉÄ?§?µ« ?
A x = b
±ÿ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ±¤± ¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥eÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³!£ ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?§?Ä4¯©?¤?¥Í ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ±¤° ? ± ?§?ÎÁ
© ¥§? ±¤° ¿ £ ? §¥¬? ± ?¤É»¤ £?ÃÄ£ ÉÎ £ Ô?¥ “ ± ?§? © ¥§? ±!£ “ ð ³!£ Ô§? £?© ??? ± ? ¸? x (n) ?¬¥§¤ ± Í ¿ Ê ? £ ï??
lim x (n) = x ∗ À Ç¥? ʤ± ÉÎ5??? ± ? ± ?§? © ¥§? ±¤°?³¤©!£?¢4£ Å ¥¬?»?©Éûú ¢4£ ?§?ÎÍ ³!£?© ¿ ³!£ ¤Y¥þ?!?
n→∞
離 ¢ ?»? ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ?YªY?¬¥T?®¥ ¢ ¥§?¤?5¥®ú?? £?Ê ? £ ÉÄ??¯¤¿ ?µÀ ??À ³!£ ¤Y¥T?!?Ë離 ¢ ?»?CÔ©? ³!£ 4?!??? £ ª?ÉÎ £ Á
Ô ± ? x (n) − x ∗ < ε À ? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £Ë³¤©¤±T© ¥§É Ê ?»?§?A« £µÅ ? £Ë± É ³!£ 4¯¬? £ Ô?¥¬?©¯? ± üÿ¯
Ô©? ʤ± ÉΤú¤?µ«vª!ù ? ³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤Yª!ùu? £ ?!???¤¤Yª ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± ¿%Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?5¥?¤ £ ? £?©!£?°Ë¢4£ Á
ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ï§ ± ?µ¤Y¥r¤ ?µ?5¥ Ê ??? ± ù x (n) − x ∗ À
¼??§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤?t?Ë«&?»? £?¢ ? £ É £ ï©???¤? £ Ô?¥ Å ?¤? ³¤©¤±á© ??ü×??? ±¤± ï £ 4¯©ü ± Í?É ± ÉÄ?§?µ«t¿
?¬¥§¤´¤Y¥§¤ £ ? ±0£ ï?? Ê ? £ ? © ?»ï§ª!ùa?e«&???¤¯©ü×?»? ʤ± ÉÎ £S£?³ ? © ¥§? ±¤° O(m 2 ) ¿!?µÀÖ??À!?5¥ ³!£?© úYÁ
¢4£ ¤Ë«&???¤¯©ü×??¿ Ê ?µ«?? £?Ê ?¤?t?ÿ«&?»? £?¢ ? ±? O(m 3 ) ? ÎÀ
ë?? £ ï?? £?©¤Ã ¥§? ± ? £ Ô?¥¬?©¯qÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú n Á £?°S± ?§? © ¥§? ±¤± x (n) Ô©?tï©? © ?µ«þ?!??¤ £ ? £?© ª!ù
?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤?Yª!ùÑ«#¥¬? ©¤± ?Yª B ¿(?5¥¬ï £?© ³ ¥ © ¥©«&?»? ©!£ Ô τ n ¿ n = 1, 2, . . . ± © ¥§É»É?« £ ?®Á
©¤± « ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? °²³¤©!£ ?!??É»É
x (n) − x (n−1)
B + Ax (n−1) = b, n = 1, 2, . . . ??c5ÀXW®?
τ n
ä ÉÎ ± ³!£ ¤ª Ê ???¤?5¥®ú ?¬¥§¤ ± « É ³!£ É £ ï £ « ³!£ ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?©?Ä4¯©? £ ÉÄ?©¯ x (n) ÉîÍ £»¢§± ?©Éûú ¤
?!??¤ £ ? £?©!£ «vª ³¤© ? ¢ ?Ĥª x ∗ ¿µ? £ Ì»? £ ? ³¤© ? ¢ ?Ä×ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú?? £?Ê ?¤? « © ??üÿ??? ± ?µ«ËÉ ± ÉÄ?§?µ« ?
Ax = b ÀFò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿ ³ ? © ?ÎÍ £»¢ úc¤ ³¤© ? ¢ ?ĤªEÔ²É ± ÉÄ?§?µ«&?5? c 5ÀXW ? ³¤©¤± n → ∞ ¿
³!£ ¤ª ʤ± « Ax ∗ = b À
¡ £ ÉÄ? ©!£ ???¤?¤? °?³¤©!£ ?!??É»ÉU? c 5ÀXW ? Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú x (n) ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ¢ Ô¬ª?Í3ÉÎ £?° ?¤? «
?!??ÉÄ?¬¥§? ±!£ ?5¥ © ?¤? « ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? «?«&?»? £»¢4£ « © ??ü×??? ± úEƤeqÕ&¸aÀyä ÉÎ ± τ n = τ ¿(? £
± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? ° «&?»? £?¢ ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú ÉÄ?¬¥§? ±!£ ?5¥ © ?¤? «tÀ £ Ê ??Ô ±3¢ ? £ ¿ Ê ? £?³ ¥ © ¥©«&?»?®Á
© ? τ n ¿ n = 1, 2, . . . ± «#¥¬? ©¤± ?Yª B ?5¥ ¢4£ Ô©?tï © ¥¬?©¯y?¬¥§¤ ¿ Ê ? £ ï?? ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? °
³¤©!£ ?!??É»É?ÉîÍ £?¢§± 4Éîú ± ¤Y¥§¤y« £µÅ ? £ ï??rÉÄ? © ?»??¿ ³¤©¤±¤Ê ?µ« Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ?g«#¥¬? ©¤± ?¤? B −1
??µ
¢4£ Å ? £ ï??t?©¯SÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤? £S³¤©!£?Ó ?qÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú A −1 À§Ç¥? © ¥®? ± « x (n) ± ? ø? c 5ÀXW ?
x (n) = (E − τ n B −1 A)x (n−1) + τ n B −1 b,
«#¥¬? ©¤± ?5¥ S n = E − τ n B −1 A ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú²« ¥¬? ©¤± ?!? °Ë³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥!À
£ ?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « Ê ? © ?Ä? r (n) = x (n) − x ∗ £ ü ± ï?¤Yª n Á £?°Q± ?§? © ¥§? ±¤± À ? ¥ ¢ ¥ Ê ¥cÔ©?¥Á
ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£e© ??ü×??? ± ú0É ± ÉÄ?§?µ« ? ? c 5ÀXW ? ¥É¨? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù ε É»Ô £?¢§± ?©Éîúˤ
?5¥µÍ £µÅg¢ ??? ± ù ?®¥§¤ £?ÃÄ£ ?µ?5¥ Ê ??? ± ú n = n(ε) ¿ Ê ? £
r (n) = x (n) − x ∗ ε x (0) − x ∗ ε r (0) .
ä ÉÎ ±?¢ ¤ú´Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú k Á £?°0± ?§? © ¥§? ±¤± ? © ?»ï§ª??»?©Éûú q k ¥ ©¤± ¦q«&?»? ±¤Ê ??É»¤ ± Í ¢ ? ° Á
ÉÄ?©Ô ±¤° ¿®? £a¢ ¤úÿÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£¡© ??ü×??? ± ú×É ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù ε ? © ?»ï§ª??»?©Éûú
n(ε)
q(ε) = q k £?³ ? © ¥§? ±¤° À5¼??§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? ° «&?»? £?¢ 離 ¢ ?»?gÌ?¤ £ ? £ « ±¤Ê ?¤? «t¿Y??ÉÎ ± « ± Á
k=1
? ± « ± ? ±¤©!£ Ô?¥¬?©¯ q(ε) ?®¥gÉ Ê ?»?AÔ©?¢ï £?© ¥ ³ ¥ © ¥©«v?»? ©!£ Ô τ n ¿ n = 1, 2, . . . À
ë?? £ ï?? ³!£ ¤ª ʤ± ??¯eÉ ± ÉÄ?§?µ«vª ¢ ¤úËÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú r (n) ð £ ü ± ï?¤ ± n Á £?°Ë± ?§? © ¥§? ±¤± ¿
Ô©? ³¤± ü×?µ« ¢ Ô§??É ± ÉÄ?§?µ« ?
x (n) − x (n−1)
B + Ax (n−1) = b,
τ n
x ∗ − x ∗
B + Ax ∗ = b.
τ n
Ç¥? ʤ± ?¬¥®ú ± ? ³ ? © Ô £?ÃÄ£ Ô§??¤!? £?© ? £?ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± úËÔ§? £?©!£ ??¿ ³!£ ¤ª ʤ± «
r (n) − r (n−1)
B τ n + Ar (n−1) = 0 ⇒ r (n) = (E − τ n B −1 A)r (n−1) = S n r (n−1)
òÿ¥®5?»?T離 ¢ ?µ« © ¥§É»É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥¬?©¯ ÉÄ?®¥§? ±!£ ?5¥ © ?¤?t? ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤?t??«&?»? £?¢ ?¡¿ ?µÀ ??À
τ n = τ ¢ ¤ú04ùaï £?ÃÄ£ n ¿4¥S«#¥¬? ©¤± ?5¥ ³ ? © ?ÎÍ £»¢ ¥ S = E − τB −1 A À5ý £?Ãî¢ ¥
x (n) = (E − τB −1 A)x (n−1) + τ B −1 b = Sx (n−1) + c, ??c5ÀÈôH?
¥
? å
? ñ FG?ð{ñ21A5§GøòBGjEF365B36GPf?ô7G¯1±°?EÐó7GBH¸õ9õeE¯²7G®ò¸õV1AGjEF3éõlEF365BC?õ7G®ô75ëðDô7GBh¯Giõ43 ñ?ðV5BC?õ7G®ô4³
ô 7GBh¯G?1 ñ 36G®òB5 À
ä ÉÎ ± ? £?© «#¥¡«#¥¬? ©¤± ?¤? S «&???¤¯©ü×?t? ¢§± ? ± ?¤?¡¿©? £q± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? °A³¤©!£ ?!??É»É ? c 5ÀÈô ?
Éq«#¥¬? ©¤± ?!? °Ë³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S ÉíÍ £?¢§± ?©ÉûúFÀ
? GPI?59??5B3 ñÁó4??EF3?HBG(ö ¡ £?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ r (n) = S n r (0) ¿ £ ?©É»ù ¢ ¥ ¢ ¤ú É £?à §¥§É £ Ô?¥§?¤?¤?¥Í
? £?© «á«#¥¬? ©¤± ?¤? ± Ô§??¤!? £?© ¥ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú r (n) S n r (0) À 9ä ÉÎ ± S 1 ¿Y? £
r (n) → 0 ³¤©¤± n → ∞ À
? ñ FG?ð{ñ21A5´GøôDñFGjµF²7G®ò¸õ?1RG¶1²õuòBGjEF365B36GPf?ô7G¯1±°?EÐó7GBH¸õ9õeE¯²7G®ò¸õ 1AGjEF3éõlEF365BC?õ7G®ô75ëðD³
ô 7GBh¯Giõ43 ñ?ðV5BC?õ7G®ô9ô7GBh¯G@1 ñ 36G®òB5 À
òq¤úe? £?ÃÄ£ÿÊ ? £ ï?? ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? ° ³¤©!£ ?!??É»Ér? c 5ÀÈô ? #É?«#¥¬? ©¤± ?!? ° ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S ÉîÍ £ Á
¢§± 4Éûú ¢ ¤úA4ùaï £?ÃÄ£ ?5¥ Ê ¥®4¯©? £?ÃÄ£ÿ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú0?!? £ ï?Í £?¢§± « £ÿ±r¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ¿ Ê ? £ Á
ï???Ô©ÉÄ?qÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥S«#¥¬? ©¤± ?¤? S ï??¢ ±´³!£ « £?¢ ª®4ù «&???¤¯©ü×?¡? ¢§± ? ± ?¤?¡À
? GPI?59??5B3 ñÁó4??EF3?HBG(ö ò £ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯¤À
¡ eª?ÉÄ?©¯ ³!£?¢4£ ï?? £ ? ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?¢É¥«#¥¬? ©¤± ?!? ° G ³¤©¤± Ô £?¢§± ?¨?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤?Yª!ù
«#¥¬? ©¤± ?Yª S ¤ Åÿ£?©©¢ ¥§? £ Ô £?° ¦ £?© «&? J = G S G −1 ¿ Ãí¢ ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? J α 1 0 . . . 0
J = ? . . . . . . . . . . . . , α 1 + . . . + α k = m.
0 0 . . . J α k
· £?©©¢ ¥§? £ Ô?¥r¤Y5?»?©¤Y¥ J α k © ? ? ? ? ? ? ? ? ? ¥®?®«&? © ¥ α k × α k ± «&?»?»?SÔ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ±3¢
µ k 1 0 . . . 0
0 µ k 1 . . . 0
J = ,
α k
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . µ k
Ãî¢ ? µ k ð?É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? ʤ± ÉÎ £ «#¥¬? ©¤± ?¤? S À
¡ £ ¤Y¥ Å ?µ«þ?5¥ ³¤©¤± «&? © ? Åÿ£?©©¢ ¥§? £ Ô £?° ¤Y5?»?©¤ ±A© ¥®?®«v? © ¥ 3×3 ¿ Ê ? £ J α n k → 0 ³¤©¤±
? ì
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? µ k 1 0 ? ? ? ? µ 2 k 2µ k 1
J α k = ? 0 µ k 1 , J α 2 k = ? 0 µ 2 k 2µ k ,
0 0 µ k 0 0 µ k 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? µ 3 k 3µ k 2 3µ k ? ? ? ? µ 4 k 4µ 3 k 6µ 2 k
J α 3 k = ? 0 µ k 3 3µ 2 k , J α 4 k = ? 0 µ k 3 4µ k 3 ,
0 0 µ 3 0 0 µ 4
k k
? ? ? ? ?
µ n nµ n−1 C 2 µ n−2
? ? ? ? k k n k
± ?®¥§¤ ¢ ¥®5?»? J α n k = ? 0 µ k n nµ k n−1 .
0 0 µ n
k
£ ??©É»ù ¢ ¥eÉÎ5? ¢ ª??»?µ¿ Ê ? £ J n → 0 ³¤©¤± n → ∞ ¿µ??ÉÎ ± ª×«#¥¬? ©¤± ?¤? S Ô©ÉÄ?¥É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?
ʤ± ÉΧ¥ |µ k | < 1 À
òq¤ú ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ± r (n) ³!£ ¤ª Ê ¥¬?µ«
r (n) = S n r (0) = G −1 J GG −1 JG . . . G −1 JG r (0) = G −1 J n G r (0) .
E
£ ??©É»ù ¢ ¥
r (n) = G −1 J n G r (0) G −1 J n G r (0) → 0 ³¤©¤± n → ∞.
½?? £ ï?Í £?¢§± « £ ÉÄ?©¯¤À
¡ eª?ÉÄ?©¯¡ªA«#¥¬? ©¤± ?¤? S ??ÉÄ?©¯?É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? ʤ± ÉÎ £ |µ p | > 1 ¿3¥ ? p É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª?Á
°
ù Óÿ±¤° ?µ«vªAÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? ° Ô§??¤!? £?© À¤Ç¥?tï©? © ?µ«CÔÿ¤3¥ Ê ??ÉÄ?©Ô§?¨?5¥ Ê ¥®4¯©? £?ÃÄ£g³¤©¤± ï§ ±YÅ ?ÎÁ
? ± ú x (0) = x ∗ + ε? p ¿ Ãí¢ ? x ∗ ð?? £?Ê ? £ ? © ??ü×??? ± ?ÿƤeqÕ ¸ ¿ ε ð0«#¥®§¥®úˤ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?!?¬¥!À
ý £?Ãî¢ ¥ r (0) = ε? p ¿(¥ r (n) = εS n ? p = ε µ n p ? p ?!?gÉÄ? © ?µ« ± ?©Éûúþ¤þõ ³¤©¤± n → ∞ ¿
?®À ??À¤?!?»?AÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ± À
v â " åhè6)¤Þ67 h væ&ÞD%H)¤Þ?P Û 0)¤è?æ&ß??vÛ Û
ä ÉÎ ± B = E ¿&? £ ÉÄ?¬¥§? ±!£ ?5¥ © ?¤? °8± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? °8³¤©!£ ?!??É»É É0«#¥¬? ©¤± ?!? °?³ ?ÎÁ
f û
ÉîÍ £»¢§± « £ ÉÄ? ± ?§?µ«?Ô©?rü×??¿ Ê ?µ«?«&???¤¯©ü×?A«#¥§¤3É ± «vª¤«?« £»¢ ª®5? ° É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í ʤ± ÉÄ?Ä
«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £»¢ ¥ S ? max |µ k | ? PÀ ? ?5¥ ʤ± ?¡?5¥ ¢4£ Ô©?tï © ¥¬?©¯ τ ?¬¥§¤ ¿ Ê ? £ ï?? max |µ k |
k k
ï??¢y« ± ? ± «#¥®4¯©?¤? «tÀ
d ðDõV1 ñ?ðjö ¡ £ ¤Y¥ Å ?µ«?¤Y¥§¤c?5¥ ± ¤ª Ê ü ± « £ ï © ¥®? £ «?Ô©?tï © ¥¬?©¯ τ ¿???ÉÎ ± A = A ∗ > 0
±C± ?µÔ§??ÉÄ?©?¤? û© ¥§? ± ?¤? É ³ ??¤!? © ¥y«#¥¬? ©¤± ?¤? A ¿F? £ ??ÉÄ?©¯ 0 < γ 1 λ k γ 2 ¿ k =
1, . . . , m À
ä ÉÎ ± ? k ðEÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? ° Ô§??¤!? £?© ¿ £ ?©Ô§? Ê ¥§ù Óÿ±¤° λ k ¿ ? £þ£ ?c?¬¥§¤ Å ?0ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éîú
É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? «CÔ§??¤!? £?©!£ «?«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S ¿ ± ?µ«vªAÉ £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª??»?gÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???3Á
? £ ? ʤ± ÉÎ £ µ k = 1 − τλ k À
ä ÉÎ ± 0 < τ < 2/γ 2 ¿3? £ |µ k | = |1 − τλ k | < 1 ± Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©Éûú ?!? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±
¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ?Sª?ÉÎ £ Ô ± ?AÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ±E± ?§? © ¥§? ±¤° À òq¤úþª?É»¤ £?© ??? ± ú ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£
³¤©!£ ?!??É»É?¥c?5¥ ¢4£ ?5¥ ± ?!?§? © Ô?¥®5? 0 < τ < 2/γ 2 Ô©?tï © ¥¬?©¯ τ = τ ∗ ?¬¥§¤ ¿ Ê ? £ ï??
|µ ∗ | = min max |1 − τλ k | À
0<τ <2/γ 2 1 k m
¦ ?¶¸·º¹ ? ¼ ¶¸{ßÁ®¿ÐÉ?Ê¥¤jÃÅÀ?Û8È?Æ?È?ÆÅÃÅà0ÕØ¿Á×Ø¿ÐÛ8È?Ê?×Ø¿ τ Í?Î{Ò½ÏÐÊ?ÏÐ×?ÏÐÜ0ÆØ¿?ݺÏÑá?ÃÅÊ?É àFÀÑÆØ¿?Ä?È?ÆÅÃ?È τ = τ ÍÁÏ?ß?ÈÑÉ?Õ?È?ÄÅÃÅÎë¿ÁÓ{Ô&ÈÑÈ
∗
É?¿ÐÛ6˺ӯßÐÇDÉ?Ê?×Å˺ÓiÉ ÝºÏÑá?Ã?Û8Ï?É?Ê¥¤?Û8È?Ê?ÏÑᮿ3ÕÅ×?Ï?É?Ê?Ç9ÝêÃÅÊ?È?×Ø¿ÁÌÅÃÅÜ áÅÂ?à A = A ∗ > 0
?v¥§É»É?« £ ? ©¤± «þ?5¥ ± ?!?§? © Ô?¥®5? γ 1 < λ < γ 2 ¦?ª!?¤¤¤? ± ù g λ (τ ) = 1−τλ À?Ç¥?tï©? © ?µ«
?¬¥§¤ £ ?×?µ?5¥ Ê ??? ± ? τ = τ ∗ ¿ Ê ? £ ï?? |g λ (τ ∗ )| |g λ (τ )| ¢ ¤ú γ 1 < λ < γ 2 ± 0 < τ <
2/γ 2 À ? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ?5¥ ± ?!?§? © Ô?¥®5? 0 < τ < 1/γ 2 £ ï©? ¦?ª!?¤¤¤? ±¤±A³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©?¤?¡¿
?µÀ ??À |g γ 2 (τ )| |g γ 1 (τ )| ¿ ±0£ ? ©¤± ?5¥¬?§?Ä4¯©?¤???5¥ τ > 1/γ 1 ¿!?®À ??À |g γ 1 (τ )| |g γ 2 (τ )| À
ý ? ³ ? © ¯S?5¥ £ ? © ?Ä?µ¤?? 1/γ 2 τ 1/γ 1 ?5¥ °3¢ ?µ«??¬¥§¤ £ ???µ?5¥ Ê ??? ± ? τ 0 ¿ ³¤©¤± ¤ £ ? £ Á
f »
©!£ «
2
|g γ 2 (τ 0 )| = |g γ 1 (τ 0 )|, ? £ ??ÉÄ?©¯ 1 − τ 0 γ 1 = τ 0 γ 2 − 1 ⇒ τ 0 = γ 1 + γ 2 .
¡ £ ¤Y¥ Å ?µ«t¿ Ê ? £ τ 0 ± ??ÉÄ?©¯ ± É»¤ £ « £ ? τ ∗ À§ò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿ ¢ ¤úS4ùaï £?ÃÄ£ γ 1 λ γ 2
Ô©? ³!£ 4?Yú5ùa?©Éûú²?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
|g λ (τ )| |g γ 1 (τ 0 )| 0 < τ τ 0
|g λ (τ )| |g γ 2 (τ 0 )| τ τ 0
¼e?rÌ»? ± ÍS?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô¡ÉÎ5? ¢ ª??»?µ¿ Ê ? £ |g λ (τ 0 )| = min max |g λ (τ )| ? wÉ?«tÀ ©¤± É©À ? ? PÀ
0 τ 2/γ 2 γ 1 λ γ 2
ý&¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ «t¿¤?5¥ °3¢ ??? £ ?¬¥§¤ £ ?¡?µ?5¥ Ê ??? ± ? ³ ¥ © ¥©«&?»? © ¥ τ 0 ¿ Ê ? £
max |1 − τ 0 λ k | max |1 − τλ k | < 1
1 k m 1 k m
¢ ¤ú04ùaï £?ÃÄ£ ?µ?5¥ Ê ??? ± ú 0 < τ < 2/γ 2 À
£ ¨?!??? ± « ¢ ¤ú´Ì»? £?ÃÄ£A³¤©¤± «&? © ¥r? £?© «vª´«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S
S = max γ 1 λ γ 2 1 − γ 1 + γ 2 2 λ i 1 − γ 1 2γ + γ 2 2 = γ γ 1 2 + γ − γ 2 1 = ζ − 1 ζ + 1
γ
Ãî¢ ? ζ = γ 2 1 ≈ cond(A) À¤·¥? £g£ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?¤ Ê ?µ«Cï £ 4¯©ü×? cond(A) ¿3?§?µ«EÍYª Å ?¡ÉîÍ £?¢§± Á
« £ ÉÄ?©¯¤¿4?¬¥§¤y¤Y¥§¤ S → 1 ³¤©¤± ζ → ∞ ¿4?µÀ ??À ¢ ¤ú ³ £ Í £e£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤?¤?¥Í²É ± ÉÄ?§?µ«
«&?»? £?¢ ³¤©!£ ÉÄ? £?°´± ?©? © ¥§? ±¤± ÉîÍ £»¢§± ?©Éûú²«&? ¢ 5???¤? £ ? wÉ?«tÀ!?§? £?© ?µ«vª0?5¥rÉÄ? © c ?ö ? PÀ
v â C åhè6)¤Þ67º¹´Ý?ÞDA4Û
? ¥ ³¤± ü×?µ«áÉ ± ÉÄ?§?µ«vª Ax = b ÔrÔ ±3¢ ?
m
a ii x i + a ij x j = b i , i = 1, . . . , m.
j=1,j=i
ä ÉÎ ± a ii = 0 ? i = 1, . . . , m ? ± ?®¥ ¢ ¥§? £ x (n) ð n Á £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? ¤ © ??ü×??? ± ù
É ± ÉÄ?§?µ« ?¡¿©? £ Ô ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £ «c«&?»? £»¢ ? ? ¤ £ ï ± i ÁÂ¥®úA¤ £ « ³!£ ?!???!?®¥ (n + 1) Á £?ÃÄ£?³¤©¤± Á
ï§ ±YÅ ??? ± ú²Ô©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú ± ? i Á £?ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± úËÉ ± ÉÄ?§?µ« ?
m
a ii x (n+1) i + a ij x (n) j = b i , i = 1, . . . , m.
f æ
ë?? £ ï?? ³!£ ¤ª ʤ± ?©¯ ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ?¤?t?²ª?ÉÎ £ Ô ± ú ÉíÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ± «&?»? £?¢ ¥ ? ¤ £ ï ± ¿ ɻԧ? ¢ ?µ«
? ÃÄ£ ¤ ¢ Ô¬ª?Í3ÉÎ £?° ? £ « ª ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £ «vª?«&?»? £?¢ ª?À¸£?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « B = diag(a 11 , . . . , a mm ) ¿
? £?Ãî¢ ¥S«&?»? £?¢?? ¤ £ ï ± « £µÅ ? £ ?®¥ ³¤± É?¥¬?©¯AÔrÔ ±3¢ ?
B(x (n+1) − x (n) ) + Ax (n) = b ⇒ x (n+1) = (E − B −1 A)x (n) + B −1 b,
Ãî¢ ? S = E − B −1 A «#¥¬? ©¤± ?5¥ ³ ? © ?ÎÍ £»¢ ¥!À
°
¼e???§? £?© ?µ« ? £Ë¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ «?ª?ÉÎ £ Ô ±¤± ÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ±c³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúF¿ Ê ? £ «&?»? £?¢
? ¤ £ ï ± ÉîÍ £»¢§± ?©ÉûúF¿???ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ A ± «v?»?»? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £ ? ³¤© ? £ 裏¥ ¢ ¥§? ± ? ³!£ ÉÄ? ©!£ Á
¤Y¥©« ± ±e³!£ ÉÄ? £ 5ï??5¥©«tÀ?ò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿ ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ?eª?ÉÎ £ Ô ± ??ÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ±r¢ ¤ú
³ ? © Ô £?° ? £?© « ??«#¥¬? ©¤± ? ± «&?»?»?AÔ ±3¢
S 1 = max 1 i m j=1 m |s ij | < 1 ⇒ j=1,j=i m |a |a ij ii | | < 1 ⇒ |a ii | > j=1,j=i m |a ij |,
¥ ¢ ¤ú ¢§© ª ÃÄ£?° ? £?© « ?
S ∞ = max 1 j m i=1 m |s ij | < 1 ⇒ i=1,i=j m |a |a ij ii | | < 1 ⇒ |a ii | > i=1,i=j m |a ij |.
ä ÉÎ ± ?®¥ ¢ ¥§? £ ?5¥ Ê ¥®4¯©? £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? x (0) ¿¥? £ ¥® ÃÄ£?©¤± ??« «&?»? £?¢ ¥ ? ¤ £ ï ±
« £µÅ ? £ ?®¥ ³¤± É?¥¬?©¯¤¿5?5¥ ³¤©¤± «&? © ¿¤?¬¥§¤
W ©À n := 0 ¿
ôYÀ5? ± ¤Y²Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£e© ??ü×??? ± úyÆ?e?Õ&¸ ¿
` !À ? ± ¤Y ³!£ i £ ? 1 ¢4£ m ¿
m
b i − a ij x (0) j
c 5À x (1) i = j=1,j=i ¿
a
ii
øYÀ ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ i ¿
? !À x (0) := x (1) ¿ n := n + 1 ¿
÷YÀ5Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ? ³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤ £?°Ë£ ?!???¤¤ ±´³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ? ±´³!£ ¦ £?© «vª®5??? c 5ÀÈ÷ ?u?wÉ?«tÀ
? ±YÅ ??¿5ÉÄ? © ?H? ? P¿
ö!À¤??ÉÎ ± ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯ ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ?YªY?®¥!¿5? £ x (1) 𠳤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £ ? © ??ü×??? ± ?qÉ ± ÉÄ?§?µ« ?
fº¥
?5¥ ³ ª!?¤¤!??WHW®?PÀ
Y !À ± ?5¥ Ê ? i? ? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯S?!? ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ?YªY?¬¥1?P¿!??ÉÎ ± ʤ± ÉÎ £ Ô©? ʤ± ÉÎ5???¤?¤?¥Í ± ?§? © ¥§? ±¤° n
?!? ³¤© ??Ô £ ÉîÍ £»¢§± ?ÿ«#¥§¤?É ± «#¥®4¯©? £¡¢4£?³ ª?ÉÄ? ± « £ ? ʤ± ÉÎ £?± ?§? © ¥§? ±¤° N ¿§?®¥ ¢ ¥§?¤? £ ?
Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?§?Ä5?µ«t¿»? £ Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£e© ??ü×??? ± ú×ƤeqÕ&¸ ³¤©!£»¢4£ !Á
Å ¥¬?»?©ÉûúF¿
W ?õ!À ± ?5¥ Ê ? ? n > N ? ¥Ô©? ¢ ¥¬?»?©Éîú ± ?¤¦ £?© «#¥§? ± ú £ ? £ «t¿ Ê ? £ «&?»? £?¢²© ¥§ÉîÍ £?¢§± ?©Éûú ±
Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£e© ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸ ³¤© ??¤ © ¥ Ó ¥¬?»?©Éîúu?wÔ©?¥Í £?¢ ?5¥
³ ª!?¤¤!?pWHW®?PÀ4ë¡¥§ÉÄ? £A³!£ 5?Ä?µ? £ Ô©? ¢ ¥¬?©¯A?5¥ ³ ? Ê ¥¬?©¯ ³!£ ÉÎ5? ¢ ? ± ? ¢ Ô§? ± ?§? © ¥§? ±¤± ¿
?¬¥§¤?¤Y¥§¤×« £µÅ ?»? £ ¤Y¥®?®¥¬?©¯©Éîú?¿ Ê ? £ «#¥§¤3É ± «#¥®4¯©? £t¢4£?³ ª?ÉÄ? ± « £ ? ʤ± ÉÎ £e± ?§? © ¥§? ±¤°
?Yª Å ? £ ?!?Ä?µ?5¥ ʤ± ?§?Ä4¯©? £ ª!Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?©¯¤À
WHW©À¤¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥SÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£?© ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸aÀ
v â f åhè6)¤Þ67¼» è6Py7#è1'0E
¡ eª?ÉÄ?©¯¨ªS«#¥¬? ©¤± ?¤? A É ± ÉÄ?§?µ« ? Ax = b Ô©ÉÄ? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?aÌÄ5?µ«&???!?©? a ii = 0 ¿
±²± ?µÔ§??ÉÄ?©? £ x (n) n Á £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ?g¤ © ??ü×??? ± ù É ± ÉÄ?§?µ« ?¡À%Ç ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £ «
°
«&?»? £?¢ ? ? ? °3¢ ?Ĥú i ÁÂ¥®úy¤ £ « ³!£ ?!???!?¬¥ (n + 1) Á £?ÃÄ£?³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± úþÔ©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú ± ?
i Á £?ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± úeÉ ± ÉÄ?§?µ« ?¡¿ ³¤©¤± Ì»? £ « ± É ³!£ 4¯¬?»ª!ùa?©ÉîúAª Å ??Ô©? ʤ± ÉÎ5???¤?¤?¢??¤ £ « ³!£ Á
?!???!?©? x (n+1) j , j = 1, 2, . . . , i − 1 ¿
a 11 x (n+1) 1 + a 12 x (n) 2 + a 13 x (n) 3 + . . . + a 1m x m (n) = b 1
a 21 x (n+1) 1 + a 22 x (n+1) 2 + a 23 x (n) 3 + . . . + a 2m x (n) m = b 2
??c5Àa`1?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m1 x (n+1) 1 + a m2 x (n+1) 2 + a m3 x (n+1) 3 + . . . + a mm x (n+1) m = b m
f ?
? ± ú
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
a 11 0 . . . 0 0 a 12 . . . a 1m
a a . . . 0 0 0 . . . a
21 22 2m
B = ± G = .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a m1 a m2 . . . a mm 0 0 . . . 0
± ?®¥ ³¤± ü×?µ«´? c 5Àa` ? ¢ÔSÔ ±3¢ ?
Bx (n+1) + Gx (n) = b.
ä ÉÎ ± Ô©ÉÄ? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?t?qÌÄ5?µ«&???!?©? a ii = 0 ¿¤? £ «#¥¬? ©¤± ?5¥ B £ ï © ¥¬? ± «#¥!¿ ±
x (n+1) = −B −1 Gx (n) + B −1 b,
?µÀ ??À S = −B −1 G «#¥¬? ©¤± ?5¥ ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥!À(½?? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±´¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ?ת?ÉÎ £ Ô ± ?
°
ÉîÍ £»¢§± « £ ÉÄ? ± Ì»? £?ÃÄ£?± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£?³¤©!£ ?!??É»É?¥ |µ i | < 1 ¢ ¤ú 4ùaï £?ÃÄ£ i ¿ Ãî¢ ? µ i
É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥c«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S Àtë ± ÉΧ¥ µ i ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûú ¤ £?© ?Yú4« ±
°
ÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ÉÄ? ±¤Ê ??É»¤ £?ÃÄ£ « ? £?ÃÄ£?Ê 5???5¥ det(S − µE) = 0 À¤ý&¥§¤´¤Y¥§¤
det(S − µE) = det(−B −1 G − µE) = det(−B −1 (G + µB)) =
= det(−B −1 ) det(G + µB),
? £ Í3¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ÉÄ? ±¤Ê ??É»¤ £ ?qª © ¥§Ô©?!??? ± ? ³¤©¤± ? ± «#¥¬?»?AÔ ±3¢
µa 11 a 12 . . . a 1m
µa 21 µa 22 . . . a 2m
det(G + µB) = = 0.
. . . . . . . . . . . .
µa µa . . . µa
m1 m2 mm
b 0?»? £?¢U? ? °3¢ ?ĤúCÉîÍ £?¢§± ?©ÉîúF¿???ÉÎ ± ¤ £?© ? ± Ì»? £?ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± ú ³!£ « £?¢ ª®4ùx«&???¤¯©ü×?
? ¢§± ? ± ?¤?¡À ? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ¿ ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§? £ Ô©¤Y¥?ª © ¥§Ô©?!??? ±¤° Ô ± ÉîÍ £?¢ ? £?° É ± ÉÄ?§?µ«&?a« £µÅ ?»?
± ?®«&??? ± ?©¯ ± ÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ÉÄ? ±¤Ê ??É»¤ £ ?qª © ¥§Ô©?!??? ± ??¿ ± ? ÃÄ£ ¤ £?© ? ± À
?v¥§É»É?« £ ? ©¤± « à ? £ «&?»? ©¤±¤Ê ??É»¤Yª!ù ± ?!?§? ©¤³¤© ?»?¬¥§? ± ù «&?»? £?¢ ¥ ? ? °3¢ ?Ĥú??5¥ ³¤©¤± «&? © ?
f½f
³ ? © Ô?¥®ú ± ?t? ± Í a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 ? I ? P ¿®¥aÔ§? £?© ¥®úF a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 ? II ? PÀ(¡eª?ÉÄ?©¯
Ô©?tï © ¥§? £ ?5¥ Ê ¥®4¯©? £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? x 0 = (x (0) 1 , x (0) 2 ) À ?? £ « ³!£ ?!???!?®¥ x (1) 1 ³ ? © Ô £?ÃÄ£
³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú ± ?¡ª © ¥§Ô©?!??? ± ú
a 11 x (1) 1 + a 12 x (0) 2 = b 1 ,
?®À ??À © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?»?©Éûúy? £?Ê ¤Y¥ ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú ³¤© ú4« £?° I É ³¤© ú4« £?° x 2 = x (0) 2 À4òÿ¥®5?»?
¤ £ « ³!£ ?!???!?¬¥ x (1) 2 ³ ? © Ô £?ÃÄ£S³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú ± ?×Ô§? £?©!£?ÃÄ£ ª © ¥§Ô©?!??? ± ú
a 21 x (1) 1 + a 22 x (1) 2 = b 2 ,
?®À ??À © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?»?©Éûúy? £?Ê ¤Y¥ ³ ? © ??ÉÄ? Ê ??? ± ú ³¤© ú4« £?° II É ³¤© ú4« £?° x 1 = x (1) 1 À%Õ??5¥µÁ
£?û±¤Ê ? £e© ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥§ù ??Éîú²¤ £ « ³!£ ?!???!?©??ÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± Í ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ±¤° À
¦ ?¶¸·º¹ µ ¼ B½½ÈÑÏ?Û8È?Ê?×ÅÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅ¿Áà¢ÃÅÆÅÊ?È?×ÅÕÅ×?È?ÊпÁÌ?ÃÅà¢Û8È?Ê?Ï?ᮿ"¾¸È?ܽáØÈÚÂ?àêáÅÂ?àê×?È?Ù&È?ÆÅÃÅà É?Ã?É?Ê?ÈÑÛ Â?ÃÅÆ?È?ÜÅÆÅÇ9ÝÖ¿?Â?Þ?ÈÑß2¿
×Ø¿ÁÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅÃ½Ý Ëº×Ø¿ÁÎ?Æ?È?ÆÅÃÅÜ Î?Ê?ÏÐ×?ÏÐÞ?Ï Õ?ÏÐ×ëàºá?ÒÅ¿
½¡¥ ³ ? © Ô £ « ©¤± ÉΪ!?¤¤?? ± ? £ ï © ¥ Å ???áÉîÍ £?¢ ú Óÿ±¤° Éûú ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? ° ³¤©!£ ?!??ɻɩÀ#½¡¥
Ô§? £?©!£ « ©¤± ÉΪ!?¤¤?? ± ? £ ï © ¥ Å ??? £ © ??üÿ??? ± ?A? £?°CÅ ? É ± ÉÄ?§?µ« ?¡¿ ? £ ªC?!?»? ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§Ô®Á
5???¤? ³ ? © Ô £ ? ± Ô§? £?©!£ ?ÿª © ¥§Ô©?!??? ± ú ? ³ ? © Ô?¥®ú ³¤© ú4«#¥®ú ÉÄ?¬¥®§¥ Ô§? £?©!£?° ¿F¥?Ô§? £?© ¥®ú²Á
³ ? © Ô £?° ? P¿?«&?»? £?¢¯? ? °3¢ ?ĤúrÉÄ?¬¥® © ¥§ÉîÍ £?¢§± ?©¯©ÉûúFÀ?¼Q?5¥?? © ?»?©¯§?µ« ©¤± ÉΪ!?¤¤?? ± ? £ ï © ¥ Å ???
É?¥©« ? ° ?!? ³¤©¤± ú¤?©?¤? ° ɨ? £?Ê ¤ ± ? © ??? ± ú´Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ±¤° ÉΤª Ê ¥ ° ðS?®¥§? ± ¤Y ± Ô?¥§? ± ??À
ä ÉÎ ± ?®¥ ¢ ¥§? £ ?5¥ Ê ¥®4¯©? £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? x (0) ¿?? £ « £µÅ ? £g³!£ ÉÄ? ©!£?± ?©¯×?¬¥§¤ £?°AÅ ?
¥® ÃÄ£?©¤± ??« «&?»? £?¢ ¥ ? ? °3¢ ?ĤúF¿ Ê ? £e± ¥® ÃÄ£?©¤± ??« «&?»? £»¢ ¥ ? ¤ £ ï ± ? wÉ?«tÀ¤ÉÄ? © À ø©ô ? P
W ©À n := 0 ¿
ôÿÔS? ± ¤Y5? ³!£ i £ ? 1 ¢4£ m ³¤©¤± É»Ô £?± ?©¯ x (1) i ?µ?5¥ Ê ??? ± ú x (0) i ¿
fº?
` !À5?5¥ Ê ¥® £ ? ± ¤Y§¥rÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £?ÃÄ£e© ??ü×??? ± úyƤeqÕ&¸
c 5À ? ± ¤Y ³!£ i £ ? 1 ¢4£ m ¿
m
b i − a ij x (1) j
øYÀ x (1) i = j=1,j=i ¿ x (0) i := x (1) i ¿
a ii
? !À ¤ £ ?!???´? ± ¤Y§¥ ³!£ i ¿
÷YÀ n := n + 1 ¿
ö!À ¢ ¥®5?»?qÔ©ÉÄ? ³ ª!?¤¤!?©??É £ Ô ³ ¥ ¢ ¥§ùa?AÉ ³ ª!?¤¤!?¬¥©« ± ÷?ðDWHWq?5¥rÉÄ? © À ø©ô À
v â v åhè6)¤Þ87 #í%Hh0TD%©ÝFßu7&'FE æ&è3çEè?ÜvÛvÛ?àrq5sut
Æ ªY?©¯8«&?»? £?¢4£ ÔáÉ ³ ª?É»¤3¥?É £ ÉÄ? £?± ?áÔ?? £ «t¿ Ê ? £8© ??ü×??? ± ? É ± ÉÄ?§?µ« ?ºª © ¥§Ô©?!??? ±¤°
Ax = b ?®¥©«&???Yú¤?»?©Éûú ³!£?± É»¤ £ « « ± ? ± «vª¤«#¥??!??¤ £ ? £?©!£?ÃÄ£ ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥®§¥ Φ(x) ¿%¤ £ Á
? £?© ? ° ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ¥¬?»?©ÉûúË?5¥g? £?Ê ? £ « © ??ü×??? ±¤± x ∗ É ± ÉÄ?§?µ« ? ? min Φ(x) = Φ(x ∗ ) ? PÀ
x
b 0?»? £?¢ ??É ³ ª?É»¤Y¥r« £µÅ ? £A± É ³!£ 4¯¬? £ Ô?¥¬?©¯ ±?¢ ¤ú © ??ü×??? ± ú´É ± ÉÄ?§?µ«??!?Ä ± ?!? ° ?¤?¥Í
ª © ¥§Ô©?!??? ±¤° ¿¤??ÉÎ ± ª ¢ ¥¬?»?©Éûú ³!£ ÉÄ? ©!£?± ?©¯S?¬¥§¤ £?° ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥®?À
ÇhÉΤª Ê ¥¬??¿ ¤ £?Ãî¢ ¥²«#¥¬? ©¤± ?5¥ A É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ?5¥®ú ±c³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £þ£?³¤© ? ¢ ?Ä5???3Á
?5¥®úU? A = A ∗ > 0 ? P¿F¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥® F (x) = (Ax, x) − 2(b,x) ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ¥¬?»?ËÉ»Ô £ ? ÃÄ£
« ± ? ± «vª¤«#¥!¿5?5¥g? £?Ê ? £ « © ??ü×??? ±¤± x ∗ Æ ¤eqÕ ¸ Ax = b À
ò?? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £ ¿ ¢ ¤úc4ùaï £?ÃÄ£ x ∈ R m ¿ x = x ∗ Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©Éûúá?!? ³!£?Ê ¤Y¥ © ¥µÁ
Ô§???¤ÉÄ?©Ô
F (x) − F(x ∗ ) = (Ax, x) − 2(b,x) − (Ax ∗ , x ∗ ) + 2(b, x ∗ ) =
= (Ax, x) − 2(Ax ∗ , x) − (Ax ∗ , x ∗ ) + 2(Ax ∗ , x ∗ ) = ??c5Àdc8?
= (A(x − x ∗ ), x) − (Ax ∗ , (x − x ∗ )) = (A(x − x ∗ ), (x − x ∗ )) > 0.
£ ??©É»ù ¢ ¥?ÉÎ5? ¢ ª??»?®¿ Ê ? £ min F (x) = F (x ∗ ) ÀeǺÉΤª Ê ¥¬??¿t??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ ?!?
x
ú5Ô¬¤ú¤?»?©ÉûúSÉ ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°A±A³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £×£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° ¿©? £ « £µÅ ? £ Ô©?tï © ¥¬?©¯¤¿
?5¥ ³¤©¤± «&? © ¿5¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥® Φ(x) = (Ax − b,Ax − b) ¢ ¤ú04ùaï £?ÃÄ£ x ∈ R m À
ý © ª ¢ ?¤?t?¥Ô £?³¤©!£ É»?EÉíÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ± «&?»? £»¢4£ ÔaÉ ³ ª?É»¤Y¥ © ¥§É»É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥§ùa?©Éûú ¢ ¤ú?¤Y¥ Å Á
¢4£?° ?®¥ ¢ ¥ ʤ± ¿%Ô?Ì»? £ « © ¥®? ¢ ?Ä5? £ ÉÄ?¬¥§? £ Ô ± « Éûú² ± üÿ¯ ?5¥ ¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥µÍ Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú
f µ
ÀVrÁÀVrut ÂÃx#?jy#?§??yeÄ?yeyew??4 ?~?{j?j~?yeŶy?? ?V??? Ä?{?r
¡ eª?ÉÄ?©¯ ± ?µÔ§??ÉÄ?©? £?³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? x (n) = (x (n) 1 , x (n) 2 , ..., x (n) m ) ¤ © ??ü×??? ± ù x ∗ ¿ ¢4£ Á
ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ù Ó ?µ«vª²« ± ? ± «vª¤« ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥®¤ª F (x) À(·¥? £ ? ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥®E« £µÅ ? £ © ¥§ÉPÁ
É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥¬?©¯e¤3¥§¤Ë¦?ª!?¤¤¤? ± ùh« ? £?û± Í ³ ? © ?µ«&???¤?¤?¥Í
F (x) = F (x , x , ..., x ).
1 2 m
b ± ? ± «vª¤« F (x) 離 ¢ ?µ« © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?©¯eÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± « £ ï © ¥®? £ «tÀ¬½¡¥ ³ ? © Ô £ «²üg¥ à ?
?®¥§¦ ± ¤3É ±¤© ª??µ«CÔ©ÉÄ? ³ ? © ?µ«&???¤?¤?t??¿?¤ ©!£ «&? x 1 ¿ ³!£ ¤ª ʤ± «c¦?ª!?¤¤¤? ± ù £?¢ ? £?°?³ ? © ?µ«&???3Á
? £?°
? 1 (x 1 ) = F (x 1 , x (n) 2 , ..., x (n) m ),
± ?5¥ °3¢ ?µ«c?µ?5¥ Ê ??? ± ? x (n+1) 1 ¿ ¢4£ ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ù Ó ?»?׫ ± ? ± «vª¤«áÌ»? £?° ¦?ª!?¤¤¤? ±¤±
? 1 (x (n+1) 1 ) = min ? 1 (x 1 ).
x 1
½¡¥¡Ô§? £?©!£ «Eüg¥ à ?r?®¥§¦ ± ¤3É ±¤© ª©?µ«EÔ©ÉÄ? ³ ? © ?µ«&???¤?¤?t??¿©¤ ©!£ «&? x 2 ¿ ³!£ ¤ª ʤ± «E¦?ª!?¤¤3Á
? ± ù
? 2 (x 2 ) = F (x (n+1) 1 , x 2 , x (n) 3 , ..., x m (n) )
± ?5¥ °3¢ ?µ«??»?׫ ± ? ± «vª¤«
? 2 (x (n+1) 2 ) = min ? 2 (x 2 ).
x 2
? ¥ ?? üg¥ ÃÄ£ Ô²?¬¥§¤ £?ÃÄ£þ³!£ ¤ £©£?©§¢§± ?5¥¬?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤Y¥²ï§ª ¢ ªY?þÔ©? ʤ± ÉÎ5???¤? Ô©ÉÄ? ¤ £ « ³!£ Á
?!???!?©? (n + 1) Á £?ÃÄ£S³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± úFÀ
?v¥§É»É?« £ ? ©¤± « à ? £ «&?»? ©¤±¤Ê ??É»¤Yª!ù ± ?!?§? ©¤³¤© ?»?¬¥§? ± ù ÉîÍ £»¢ ú Ó ? ÃÄ£ Éûúþ«&?»? £?¢ ¥ ³!£ ¤ £ Á
£?©©¢§± ?5¥¬?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤Y¥ ¢ ¤ú m = 2 ± «#¥¬? ©¤± ?¤? A = A ∗ > 0 À F¡ £ ÉÄ? ©!£?± « ± ? ±¤±
ª ©!£ Ô©?Yú F (x) = (Ax, x) − 2(b,x) = C ð ÷Å?1?kùÁ??À¢òq¤ú ?®¥§¤ £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? £ ? ±
³¤© ? ¢ ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ùa?´É £ ï £ ù Ô¬ £µÅ ???¤?¤?t? ¢§© ª Ã Ô ¢§© ª à ¥eÌĤ ±¤³ É»?¡À%ý £?Ê ¤Y¥ (x 1 ∗ , x ∗ 2 ) ¿ £ ?®Á
Ô§? Ê ¥§ù Ó ¥®ú C = 0 ¿Yú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú0? £?Ê ?¤? « © ??ü×??? ± ?µ«áÉ ± ÉÄ?§?µ« ?¡À
Ç¥?tï©? © ?µ«??5¥ Ê ¥®4¯©? £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? x (0) = (x (0) 1 , x (0) 2 ) ¿??®¥¬?§?µ«t¿ ¢ Ô ±¤Ã ¥®ú5É»¯ £ ?
? £?Ê ¤ ± A 0 (x (0) 1 , x (0) 2 ) Ô ¢4£ 4¯ ³¤© ú4« £?° x 1 = x (0) 1 ¿%?5¥ °3¢ ?µ« ? £?Ê ¤Yª a 1 (x (1) 1 , x (0) 2 ) ¿%¤ £ Á
? £?©!£?° É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª??»?y« ± ? ± «#¥®4¯©? £ ?r?µ?5¥ Ê ??? ± ?A¤ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?!?©? C Ô ¢4£ 4¯0Ì»? £?°E³¤© úYÁ
« £?° À òÿ¥®5?»??¿ ¢ Ô ±¤Ã ¥®ú5É»¯ £ ? ? £?Ê ¤ ± a 1 Ô ¢4£ 4¯ ³¤© ú4« £?° x 2 = x (0) 2 ¿v?5¥ °3¢ ?µ« ? £?Ê ¤Yª
fºå
A 1 (x (1) 1 , x (1) 2 ) ? ³ ? © Ô £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ? ¸?P¿%É £©£ ?©Ô§?»??ÉÄ?©Ô¬ª!ù Ó ª!ù?« ± ? ± «vª¤«vª²¤ £ ?¤ÉÄ?¬¥§?3Á
?©? C À 3¡ ©!£?¢4£ Å ¥®ú??¬¥§¤ £ ? ¢ Ô ±YÅ ??? ± ?0Ô ¢4£ 4¯ ³¤© ú4« ?¥Í ¿ ³ ¥ © ¥®¤5?Ä4¯©?¤?¥Í?¤ £©£?©©¢§± Á
?5¥¬?©?¤? « £ Éûú4«t¿ ³!£ ¤ª ʤ± « ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???¤? £ ? © ??ü×??? ± ?qÉ ± ÉÄ?§?µ« ? Ax = b
¦ ?¶¸·º¹ å ¼ P½½ÈÑÏ?Û8È?Ê?×ÅÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅ¿ÁàêÃÅÆÅÊ?È?×ÅÕÅ×?È?ÊпÁÌ?ÃÅà Û8È?Ê?ÏÑᮿ0Õ?ÏÐÒ½Ï?ÏÐ×ëá?ÃÅÆØ¿ÁÊ?Æ?ÏÐÞ?Ï É?ÕÅËëÉ?Ò½¿FáÅÂ?à?×?È?Ù&È?ÆÅÃÅàêÉ?Ã?É?Ê?ÈÑÛ6Ç
Â?ÃÅÆ?È?ÜÅÆÅÇ9Ý¢¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×Ø¿ÁÃÅÄ?ÈÑÉ?Ò?Ã½Ý Ëº×Ø¿ÁÎ?Æ?È?ÆÅÃÅÜ Î?Ê?ÏÐ×?ÏÐÞ?Ï Õ?ÏÐ×ëàºá?ÒÅ¿ Ax = b Í½Þ áØÈ A = A ∗ > 0
?v¥§É ³¤± ü×?µ« k ðe? ° üg¥ à ¥® ÃÄ£?©¤± ??«#¥ ³!£ ¤ £©£?©©¢§± ?5¥¬?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤Y¥ ¢ ¤ú?É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê Á
? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?¡À?½¡¥ k ð £ « üg¥ à ? © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?»?©Éûú k ðË¥®úþ¤ £©£?©©¢§± ?5¥¬?¬¥ n + 1 Á £?ÃÄ£
³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú x (n+1) k ¿ ¢4£ ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ù Ó ¥®úË« ± ? ± «vª¤«8¦?ª!?¤¤¤? ±¤±
? k (x k ) = F (x (n+1) 1 , ..., x (n+1) k−1 , x k , x (n) k+1 , ..., x m (n) ).
¼¨É»¤ £ «#¥®ú0¤ £©£?©©¢§± ?5¥¬?¬¥ n + 1 Á £?ÃÄ£S³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ?×?5¥µÍ £?¢§± ?©Éûú ± ?qª © ¥§Ô©?!??? ± ú
∂? (x ) ∂
∂x k k k = 0 =⇒ ∂x k F (x (n+1) 1 , ..., x (n+1) k−1 , x k , x (n) k+1 , ..., x m (n) ) = 0.
∂F
ë?? £ ï???Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?©¯ ∂x k ¿!?®¥ ³¤± ü×?µ« F = (Ax, x) − 2(b,x) ÔSÔ ±3¢ ?
m m m m m
F = Ax i x i − 2 b i x i = a ij x j x i − 2 b i x i ,
i=1 i=1 i=1 j=1 i=1
±´³!£ ¤ª ʤ± «
∂F m m m
∂x k = j=1 a kj x j + i=1 a ik x i − 2b k = 2 j=1 a jk x j − b k = 2(Ax − b) k . ??c5ÀÈøH?
? ?5¥ Ê ??? ± ? x (n+1) k Ô©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú ± ?¡ª © ¥§Ô©?!??? ± ú
k−1 m
a ik x (n+1) i + a kk x (n+1) k + a ik x n i = b k .
i=1 i=k+1
fºì
? ¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ ¥® ÃÄ£?©¤± ??« ³!£ ÉÄ? ©!£ ???¤? £?ÃÄ£ «&?»? £?¢ ¥ ³!£ ¤ £©£?©©¢§± ?5¥¬?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤3¥
É £ Ô ³ ¥ ¢ ¥¬?»?EÉË¥® ÃÄ£?©¤± ??« £ «?«&?»? £?¢ ¥ ? ? °3¢ ?ĤúFÀ ¼e?µÔ§??ÉÄ?©? £ ¿ Ê ? £ «&?»? £?¢Q³!£ ¤ £©£?©©¢§± Á
?5¥¬?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤Y¥ ? ¥E?µ?5¥ ʤ± ? ± «&?»? £?¢þ? ? °3¢ ?ĤúD?AÉîÍ £»¢§± ?©Éûú ¢ ¤ú É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°
³!£ £µÅA± ?©?Ä4¯©? £A£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?ÿ? A = A ∗ > 0 ? PÀ
ÀVrÁÀVrs? ÂÃx#?jy#?§Å¶w?{9?4 ?x#~??j~?yeŶy?? ?V?a? Äa{
¼e?µÔ§??ÉÄ?©? £ ¿ Ê ? £ ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥® F (x) Ô?«#¥® £?°Ë£ ¤ © ??ÉÄ?©? £ ÉÄ? ± ? £?Ê ¤ ± x ? £ ¤Y¥®4¯®Á
? £ ? ï??rÉÄ? © ?»? Ô©ÉÄ? ÃÄ£ ªYï??rÔ?¥¬?»??Ô??5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ±¤±?³¤©!£ ? ± Ô £?³!£ £µÅ ? £ « û© ¥ ¢§± ???!?¬ª
∂F ∂F ∂F
grad F = ∂x 1 , ∂x 2 , . . . , ∂x m ? É?«¢À?ÉÄ? © À ÷ ?W ? PÀ&£ Ê ? © ? ¢ ?Yª!ù ± ?©? © ¥§? ± ù x (n+1)
離 ¢ ?µ« © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?©¯SÔSÔ ±3¢ ?
x (n+1) = x (n) − α n grad F (x (n) ),
Ãî¢ ?aÔ§?Ä ±¤Ê¤± ?5¥ α n ÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ?»ª??»?×Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?YªAüg¥ à ¥ ³!£ ?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ù?¥§?!? ±¤Ã»© ¥ ¢§± Á
???!?¬¥!À ? ?5¥ Ê ??? ± ? α n « £µÅ ? £ Ô©?tï ±¤© ¥¬?©¯A?®¥§¤
W ©À4Æ¢?5¥ Ê ¥®§¥ α n := 1 ¿
ôYÀ{ä ÉÎ ± F (x (n+1) ) F (x (n) ) ¿4? £ 離 ¢ ?µ« É Ê¤± ?¬¥¬?©¯¤¿ Ê ? £0± ?©? © ¥§? ± ú x (n+1)
Ô©? ʤ± ÉÎ5???5¥!À?ä ÉÎ ±SÅ ? F (x (n+1) ) F (x (n) ) ¿??µÀ ??À?É ¢ ?ħ¥§?AÉÎ ± üÿ¤ £ «Tï £ 4¯©ü £?°
üg¥ á³!£ ?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ù grad F (x n ) ¿¤? £ α n := α n /2 À
` !À ? ?5¥ Ê ??? ± ? x (n+1) ³ ? © ??É Ê¤± ?©?rÔ?¥¬?»?©Éûúr÷ ? £ Ô©? « ?µ?5¥ Ê ??? ± ?µ« α n À?ýv¥§¤ £ ? ¢ ?Ä5??? ± ?
α n ³¤©!£»¢4£ Å ¥¬?»?©Éûú ¢4£ ?§?ÎÍ ³!£?© ³!£ ¤Y¥ F (x (n+1) ) F (x (n) ) ± ± ³!£ ¤Y¥??!?
離 ¢ ?»? ± É Ê ? ©¤³ ¥§? £¨¢4£?³ ª?ÉÄ? ± « £ ? ʤ± ÉÎ £ N ± ?®«&???!??? ±¤° α n À 8ä ÉÎ ±Sʤ± ÉÎ £?± ?®«&???!??? ±¤°
α n ³¤© ??Ô¬? £?°3¢ ?»? N ¿5? £ «&?»? £?¢þ© ¥§ÉîÍ £?¢§± ?©Éîú ± ?Yª Å ? £ ³¤© ??¤ © ¥¬? ± ?©¯ © ¥§É Ê ?»?µ¿§Ô©? ¢ ¥§Ô
É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Ó ª!ù ± ?¤¦ £?© «#¥§? ± ù×À
c 5À0¡ £ ÉÎ5?eÔ©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú x (n+1) ³¤©!£ Ô§? © ú¤?»?©Éûú ¢4£ ÉÄ? ±¤Ã ?YªY?®¥Ë ± ? © ?»ï§ª©?µ«#¥®úC? £?Ê Á
? £ ÉÄ?©¯ ε À ? 4¢ ??É»¯þÔ £ ?®« £µÅ ?¤? ¢ Ô?¥þÔ?¥ ©¤± ¥§?!?¬¥TÔ©?¥Í £?¢ ¥ ³!£ ¢4£ ÉÄ? ±YÅ ??? ± ù ? £?Ê ? £ ÉÄ? ±
ε
Ô©?¥Í £»¢ ³!£ ñ?!??Ô¬ú!?µ¤?? “ ¿!¤ £?Ãî¢ ¥
F (x (n+1) ) − F(x n ) ε, ??ÉÎ ± F (x 0 ) 1,
F (x (n+1) ) − F(x n )
F (x (n+1) ) ε, ??ÉÎ ± F (x 0 ) 1,
? û
Ô©?¥Í £?¢y³!£ ñüg¥ à ª ± ?§? © ¥§? ±¤± “ ¿4¤ £?Ãí¢ ¥
x (n+1) − x n ε, ??ÉÎ ± x 0 1,
x (n+1) − x n
x (n+1) ε, ??ÉÎ ± x 0 1.
ÀVrÁÀVrsq ÂÃx#?jy#?§~?{j ? Ä?yew?x#Æ?Ç?x#Ŷy6Ŷw?{9?4 ?x#~??j~ yeŶy6? ?V?a? Ä?{
b £µÅ ? £ α n £?³¤© ? ¢ ?Ĥú¤?©¯²?®¥§¤ ¿ Ê ? £ ï?? ?5¥ ± «&???¤¯©ü ± « ï??¢ £ ?µ?5¥ Ê ??? ± ? |?(α n )| ¿
Ãî¢ ?q¦?ª!?¤¤¤? ± ú
?(α ) = F (x (n+1) ) = F (x (n) − α grad F (x (n) )).
n n
Ò ª ¢ ?µ« © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?©¯C?¬¥§¤ £ ? α n ÔcÉΤª Ê ¥¬? A = A ∗ > 0 À#òq¤ú É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°
«#¥¬? ©¤± ?¤?±?#É?«tÀj? c 5À ø ?Á?
∂F ∂F ∂F
grad F (x (n) ) = (x (n) ), (x (n) ), . . . , (x (n) ) = 2(Ax (n) − b)
∂x 1 ∂x 2 ∂x m
? £?Ãî¢ ¥ x (n+1) = x (n) − 2α n (Ax (n) − b) ± ?(α n ) = F (x (n) − 2α n A(x (n) − b)) À
? ?5¥ Ê ??? ± ? α n ¿ ¢4£ ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú5ù Ó ?»??« ± ? ± «vª¤« ?(α n ) ¿Yª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú¤?»?rª?ÉÎ £ Ô ± ù
d? d d
= F (x (n+1) ) = ((Ax (n+1) , x (n+1) ) − 2(b,x (n+1) )) = 0.
dα n dα n dα n
¸ ʤ± ?©?rÔ?¥®ú²É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £ ÉÄ?©¯e«#¥¬? ©¤± ?¤? A ¿ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?µ«
d d d
A x (n+1) , x (n+1) + A x (n+1) , x (n+1) − 2 b, x (n+1) =
dα n dα n dα n
d
= 2 Ax (n+1) − b, x (n+1) = 0.
dα n
Ç¥? ʤ± ÉÎ ± « ³¤©!£?± ?µÔ £?¢ ?Yª!ù
d
x (n+1) = −2(Ax (n) − b).
dα
n
¡ £?¢ ÉÄ?¬¥§Ô¬¤ú!ú0Ì»?¬ª ³¤©!£?± ?µÔ £?¢ ?Yª!ù ± x (n+1) ÔSÔ©?rÔ§? ¢ ???¤? £ ?¨ª?ÉÎ £ Ô ± ??¿ ³!£ ¤ª ʤ± «
? ?A(x
(n) − α (Ax (n) − b) ) − b,Ax (n) − b? ?=0.
n
x (n+1)
? »
£ ??©É»ù ¢ ¥ ± É»¤ £ « £ ?¡?µ?5¥ Ê ??? ± ? α n
(Ax (n) − b,Ax (n) − b)
α n = (A(Ax (n) − b),Ax (n) − b)
½¡¥ ©¤± É©ÀaY ³¤©¤± Ô§? ¢ ???5¥ à ? £ «&?»? ©¤±¤Ê ??É»¤Y¥®ú ± ?!?§? ©¤³¤© ?»?¬¥§? ± úg«&?»? £?¢ ¥ ?5¥ ± É»¤ £?© ? ° ü×?ÎÁ
ÃÄ£qû© ¥ ¢§± ???!?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤Y¥ ¢ ¤ú © ??ü×??? ± úeƤeqÕ&¸ ÉrÉ ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°A³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £
£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?!? ° Ô§? £?©!£?ÃÄ£e³!£?© ú ¢ ¤3¥!À
¦ ?¶¸·º¹ ì ¼ 9½½ÈÑÏ?Û8È?Ê?×ÅÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅ¿Áà¤ÃÅÆÅÊ?È?×ÅÕÅ×?È?Ê?¿ÁÌÅÃÅàêÛ8È?Ê?Ï?ᮿFÆØ¿ÁÃ?É?Ò½ÏÐ×?È?ÜÅÙ&È?Þ?Ï&ÞÑ×Ø¿?á?Ã?È?ÆÅÊ?Æ?ÏÐÞ?Ï3É?ÕÅË?É?ÒÅ¿yáÅÂ?à}×ØÈÚÙ&ÈÈ¿
ÆÅÃÅà É?Ã?É?Ê?ÈÑÛ6Ç Â?ÃÅÆ?È?ÜÅÆÅÇ9Ý¢¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×Ø¿ÁÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅÃÅÝê˺×Ø¿ÁÎ?Æ?È?ÆÅÃÅÜ¢Î?Ê?ÏÐ×?ÏÐÞ?Ï3Õ?ÏÐ׺àºá?Ò½¿ Ax = b Í½Þ áØÈ A = A ∗ > 0
¡ eª?ÉÄ?©¯??®¥ ¢ ¥§? £ ?5¥ Ê ¥®4¯©? £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ??¿!?µÀ ??À ± ?µÔ§??ÉÄ?©?5¥?? £?Ê ¤Y¥ A 0 = (x 0 1 , x 0 2 ) À
e ?ùaï £?° üg¥ Ãÿ³!£ ?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ù grad F (x 0 ) ? wÔ ¢4£ 4¯ ³¤© ú4« £?° A 0 A 1 ? P¿ ¤ £ ? £?© ? ° ?!?
ï £ 4¯©ü×? ¢ ± ?¤? £ ? © ?Ä?µ¤Y¥ A 0 A 1 ³!£ ?µÔ £ ¤ú¤?»?QÔ©? ʤ± ÉÎ ± ?©¯ ³ ? © Ô £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ?
(x 1 1 , x 1 2 ) ? ? £?Ê ¤Yª A 1 ? r¤ ± É»¤ £ « £ «vª © ??ü×??? ± ù ? £ ï £ ?µ?5¥ Ê ???¤? £ «vªË?5¥ ©¤± ÉΪ!?¤¤??ÿÉ ± « Á
Ô £ £ « É©6?PÀêä ÉÎ ± Ô©?tï © ¥§? üg¥ à ¿ © ¥§Ô©?¤? °á¢ ± ?!? £ ? © ?Ä?µ¤Y¥ A 0 A 1 ¿#? £?³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú
«&?»? £?¢ ?5¥ ± É»¤ £?© ? ° ü×? ÃÄ£0û© ¥ ¢§± ???!?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤Y¥!¿%??ÉÎ ± Ô©?tï © ¥§?E«&???¤¯©ü ±¤° üg¥ à ¿%? £
ð «&?»? £?¢yû© ¥ ¢§± ???!?©? £?ÃÄ£ É ³ ª?É»¤3¥!À
v â B åhè6)¤Þ67 # æ&è1' ß4Ýy%?ß??vÛvÛ
b 0?»? £?¢ ? © ?ħ¥§¤3É?¥§? ±¤±?± É ³!£ 4¯¬?»ª!ùa?©Éûú ³¤©¤±?© ??ü×??? ±¤± Æ ¤eqÕ ¸ ÉCÉ ± «#«&?»? ©¤±¤Ê Á
? £?°?³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £Q£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?!? ° A = A ∗ > 0 À ?¡eª?ÉÄ?©¯ x (n) =
(x (n) 1 , x (n) 2 , . . . , x m (n) ) ð ± ?µÔ§??ÉÄ?©? £ ? n Á £ ? ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ?פ ± É»¤ £ « £ «vª © ??ü×??? ± ù x ∗ À
Ò ª ¢ ?µ« © ¥®?µ?rÉ»¤ ± Ô?¥¬?©¯ x (n+1) ÔSÔ ±3¢ ?
x (n+1) = (x (n) 1 , . . . , x (n) i − α,...,x m (n) ) = x (n) − αe i ,
? æ
Ãî¢ ? e i = (0, . . . , 1 , 0, . . . , 0) À4Ç¥?tï©? © ?µ« ³ ¥ © ¥©«&?»? © α ?¬¥§¤ ¿ Ê ? £ ï??
i−
ÊjËÈÌÎÍÐÏ
|F(x (n+1) )| = |(Ax (n+1) , x (n+1) ) − 2(b,x (n+1) )|
ªYï??rÔ?¥® £ É´Ô £ ? © ¥§ÉÄ?¬¥§? ± ?µ« n À ·¥? £ Ì?¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©? £ ? © ?»ï £ Ô?¥§? ± ùºªYï??rÔ?¥§? ± ú ú?wÉ?«tÀ
? c 5Àdc ?Ð?
|F(x (n+1) ) − F(x ∗ )| = |(A(x (n+1) − x ∗ ), x (n+1) − x ∗ )| = |(Ar (n+1) , r (n+1) )|,
Ãî¢ ? £ ü ± ï?¤Y¥ (n + 1) Á £?°´± ?§? © ¥§? ±¤±
r (n+1) = x (n+1) − x ∗ = r (n) − αe i . ??c5Àa?1?
Æ ¢ ?ħ¥¬?µ« ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ú
(Ar (n+1) , r (n+1) ) = (Ar (n) − αAe i , r (n) − αe i ) =
= (Ar (n) , r (n) ) − α(Ar (n) , e ) − α(Ae , r (n) ) + α 2 (Ae , e ).
i i i i
£ ?ï £ ?µ?5¥ Ê ¥®ú z i n = (Ar (n) , e i ) ¿ ± É ³!£ 4¯¬?»ª§ú É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £ ÉÄ?©¯0«#¥¬? ©¤± ?¤? ¿ ³!£ ¤ª?Á
ʤ± «
(Ar (n+1) , r (n+1) ) = (Ar (n) , r (n) ) − 2αz i n + α 2 a ii =
1 (z n ) 2
= (Ar (n) , r (n) ) + a ii (z i n − αa ii ) 2 − a i ii .
£ ??©É»ù ¢ ¥?ÉÎ5? ¢ ª??»?µ¿ Ê ? £ (Ar (n+1) , r (n+1) ) ªYï??rÔ?¥¬?»?®¿¥??ÉÎ ± |z i n − αa ii | < |z i n | À ¸
³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £A£?³¤© ? ¢ ?Ä5???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? a ii > 0 ¿Y?µ?5¥ ʤ± ? α « £µÅ ? £ Ô©?tï © ¥¬?©¯ ± ?
± ?!?§? © Ô?¥®§¥
z n
0 < α < 2 i ,
a ii
± ± ¿¤??ÉÎ ±´³!£ £µÅA± ?©¯ α = ωz i n /a ii ¿¤? £ 0 < ω < 2 À!òq¤ú ³!£ ÉÄ? ©!£ ??? ± ú²¥® ÃÄ£?©¤± ??« ¥
Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ± ú (n + 1) Á £?ÃÄ£S³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú ³¤© ? £ ï © ¥®?»ª©?µ«
z i (n+1) = (Ar (n+1) , e i ) = (A(x (n+1) − x ∗ ), e i ) = (Ax (n+1) , e i ) − (b,e i ).
?½¥
Æ ¢§© ª ÃÄ£?° ÉÄ? £?©!£ ?¤?¡¿!ª ʤ± ?©?rÔ?¥®ú¨? c 5Àa? ? P¿ ³¤© ? £ ï © ¥®?»ª??µ« z i (n+1) ?¬¥§¤ Å ?ÿ¤´Ô ±3¢ ª
z i (n+1) = (A(x (n+1) − x ∗ ), e i ) = (A(x (n) − x ∗ − αe i ), e i ) = (A(x (n) − x ∗ ), e i )−
−α(Ae i , e i ) = (Ax (n) − b,e i ) − αa ii = (Ax (n) , e i ) − (b,e i ) − ωz i n =
= (Ax (n) , e i ) − (b,e i ) − ω(Ar (n) , e i ) = (Ax (n) , e i ) − (b,e i )−
−ω(A(x (n) − x ∗ ), e i ) = (1 − ω)(Ax (n) , e i ) − (1 − ω)(b,e i ).
£ ??©É»ù ¢ ¥ ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú
(A(x (n+1) − (1 − ω)x (n) ), e i ) = ω(b, e i ), 0 ω 2,
? £ ??ÉÄ?©¯ x (n+1) ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú © ??ü×??? ± ?µ«8ƤeqÕ&¸
A(x (n+1) − (1 − ω)x (n) ) i = ωb i , ⇒ A((x (n+1) − x (n) ) + ωx (n) ) i = ωb i ,
i = 1, 2, . . . , m.
? 4¢ ??É»¯á?5¥ ¢4£ Ô©É ³!£ « ? ± ?©¯¤¿ Ê ? £ x (n+1) = (x (n) 1 , . . . , x (n) i−1 , x (n+1) i , x (n) i+1 , . . . , x (n) m ) À
ý&¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ «t¿ i ÁÂ¥®ú²¤ £ « ³!£ ?!???!?¬¥ (n + 1) Á £?ÃÄ£e³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú Ô©? ʤ± ÉΤú¤?»?©Éûú ± ?
ª © ¥§Ô©?!??? ± ú
m
a ii x (n+1) i = (1 − ω)a ii x (n) i − ω a ij x (n) j + ωb i
j=1,i=i
ä ÉÎ ± 0 < ω < 1 ¿Y? £AÃÄ£ Ô £?© ú¤? £ ? ±YÅ ?!? °´© ?ħ¥§¤3É?¥§? ±¤± ¿!??ÉÎ ± 1 < ω < 2 ¿Y? £AÃÄ£ Ô £ Á
© ú¤? £ Ô§? © ͤ?!? ° © ?ħ¥§¤3É?¥§? ±¤± À y¡ ©¤± ω = 1 ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©ÉûúE«&?»? £?¢c³!£ ¤ £©£?©§¢§± ?5¥¬?©? £?ÃÄ£
É ³ ª?É»¤Y¥i?ó«v?»? £»¢¨? ? °3¢ ?ĤúD?PÀ
v â XV ? Ëæ&ß4Ý0)!ÛvÚ&è8%©ÝFß9E Þ ??&è?ÜvÝ?ßGh&ÞD@§æ&è3çTÜ&ÞD%H)!Û Û 0)¤è?æ&ß??vÛ&Þ4ÜvÜ&ÞD@©Þu4¡è6)¤Þ67#ß â
?v¥§É»É?« £ ? ©¤± «?ÉÄ?¬¥§? ±!£ ?5¥ © ?¤? °Ë± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? ° «&?»? £?¢
x (n) = Sx (n−1) + c,
Ãî¢ ? S ðË«#¥¬? ©¤± ?5¥ ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥!¿%¥eÔ§??¤!? £?© c 𠳤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§?¤?5¥®ú ³¤© ¥§Ô?¥®ú Ê ¥§ÉÄ?©¯?É ± Á
ÉÄ?§?µ« ? Ax = b ? ôYÀXW ? ?À
? ?
ä ÉÎ ± Ô©? ³!£ 4?!??? £ ª?ÉÎ £ Ô ± ? r (n) = x (n) − x ∗ ε ¿F? £ Ô§??¤!? £?© x (n) « £µÅ Á
? £ É Ê¤± ?¬¥¬?©¯ ± É»¤ £ « ? « ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ?µ«?¤T? £?Ê ? £ «vª © ??ü×??? ± ù Æ ¤eqÕ&¸ ? ôYÀXW ? x ∗ É
? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù ε À
£ ¢ ?5¥§¤ £ÿ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ r (n) = x (n) −x ∗ Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?©¯g?!??Ô £ ?®« £?Å ? £ ¿ ³!£ Ì»? £ Á
«vª´? © ?»ï§ª??»?©ÉûúyÔ©Ô§??ÉÄ? ±y³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤Yª!ù?Ô©? ʤ± ÉΤú¤?µ«vª!ù ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯ v (n) ?®¥§¤Yª!ù׿
Ê ? £
v (n) − r (n)
r n → 0 ³¤©¤± n → ∞.
¡ £ ÉÄ? ©!£?± « v (n) ¢ ¤ú?«#¥¬? ©¤± ?¤? S ³¤©!£ ÉÄ? £?° ÉÄ? © ª!¤!?¬ª © ?q¿?ªS¤ £ ? £?©!£?°SÅÿ£?©§¢ ¥§? £ Ô?¥
¦ £?© «#¥ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥!¿(?µÀ ??À ÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª??»? ³!£ 4?¤? ° ?5¥¬ï £?© É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í Ô§??¤!? £?©!£ Ô¤¿
¤ £ ? £?© ?t?ÿ« £?Å ? £e³¤©¤± ?Yú¤?©¯r?®¥gï?¥®? ± É¡Ô R m À
¡ eª?ÉÄ?©¯SÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?¨?µ?5¥ Ê ??? ± ú µ i «#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S ª ³!£?© ú ¢4£?Ê ???¤?
1 > |µ 1 | > |µ 2 | |µ 3 | ... |µ m |,
¤Y¥ Åg¢4£ «vª µ i É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª??»?r ± ?!? ° ? £ ?!?Ä?®¥§Ô ± É ± « ? ° É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? ° Ô§??¤!? £?© ? i À
?v¥®?» £µÅA± « £ ü ± ï?¤Yª0?Yªµ5??Ô £?ÃÄ£A³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ± ú ³!£ É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? «?Ô§??¤!? £?© ¥©«
m
r (0) = C i ? i ,
1=1
? £?Ãî¢ ¥
m m
r (n) = S n r (0) = C i S n ? i = C i µ i n ? i = C 1 µ 1 n ? 1 + O(µ n 2 ).
1=1 1=1
? 4¢ ??É»¯ ³!£?¢ ?µ?5¥§¤ £ « O(µ n 2 ) ³!£ ? ± «#¥¬?»?©ÉûúAÔ§??¤!? £?© ¿©? £?© «#¥¡¤ £ ? £?©!£?ÃÄ£?± «&?»?»? ³!£?© ú ¢4£ ¤
O(|µ 2 | n ) À
£ ?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « w (n) = C 1 µ n 1 ? 1 ? ?®¥©«&?»? ± «t¿ Ê ? £ w (n) = O(|µ 1 | n ) ± Ô©? ³¤± ü×?µ«
© ú ¢y© ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô
x (n−2) − x ∗ = r (n−2) = C 1 µ n−2 1 ? 1 + O(µ 2 n ) = µ −2 1 w (n) + O(µ n 2 ),
x (n−1) − x ∗ = r (n−1) = C 1 µ n−1 1 ? 1 + O(µ n 2 ) = µ −1 1 w (n) + O(µ 2 n ),
x (n) − x ∗ = r (n) = C 1 µ 1 n ? 1 + O(µ 2 n ) = w (n) + O(µ n 2 ).
?Åf
£ ??©É»ù ¢ ¥ ³!£ ¤ª ʤ± «
x (n) − x (n−1) = (1 − µ −1 )w (n) + O(µ n ),
1 2
x (n−1) − x (n−2) = µ −1 (1 − µ −1 )w (n) + O(µ n ).
1 1 2
Ç¥Ô§? ¢ ?µ«áÔ§?Ä ±¤Ê¤± ?Yª
(x (n) − x (n−1) , x (n) − x (n−1) )
µ (n) 1 = ,
(x (n−1) − x (n−2) , x (n) − x (n−1) )
± Ô©? ʤ± ÉÎ ± «?É»¤Y¥®¤ú © ?¤?t? ³¤©!£?± ?µÔ§? ¢ ??? ± ú
(x (n) − x (n−1) , x (n) − x (n−1) ) = (1 − µ −1 1 ) (w (n) , w (n) ) + O(|µ 2 | n w (n) ),
(x (n−1) − x (n−2) , x (n) − x (n−1) ) = µ 1 −1 (1 − µ −1 1 ) (w (n) , w (n) ) + O(|µ 2 | n w (n) ).
Ñ ³¤© ? ¢ ?Ä ± « ³¤© ? ¢ ?Ä µ (n) 1 ³¤©¤± n → ∞
µ (n) 1 = (1 − µ −1 1 ) (w (n) , w (n) ) + O(|µ 2 | n w (n) ) =
µ −1 (1 − µ −1 )(w (n) , w (n) ) + O(|µ | n w (n) )
1 1 2
= (1 − µ −1 1 ) 2 w (n) 2 + O(|µ 1 µ 2 | n ) =
µ 1 −1 (1 − µ −1 1 ) 2 w (n) 2 + O(|µ 1 µ 2 | n )
(1 − µ −1 ) 2 w (n) 2 1 + O |µ 2 | n
= 1 |µ 1 | =
µ −1 (1 − µ −1 ) 2 w (n) 2 1 + O |µ 2 | n
1 1 |µ 1 |
= µ 1 1 + O |µ |µ 1 2 | | n → µ 1 ³¤©¤± n → ∞,
?¬¥§¤Ë¤Y¥§¤ |µ |µ 2 | | < 1 À ?£??©É»ù ¢ ¥rÉÎ5? ¢ ª??»?®¿ Ê ? £ µ (n) 1 − µ 1 = O |µ |µ 2 | | n À
1 1
ý?? ³ ? © ¯ ³!£ ÉÄ? ©!£?± «8Ô©? © ¥ Å ??? ± ? ¢ ¤ú v (n)
x (n) − x (n−1)
v (n) = ,
1 − µ (n) 1 −1
?½?
±´³¤© ? £ ï © ¥®?»ª??µ«?? ÃÄ£
(1 − µ −1 )w (n) + O(µ n )
v (n) = 1 2 =
1 − µ (n) 1 −1
1 − µ (n) 1 −1 w (n) + µ (n) 1 −1 − µ −1 w (n) + O(µ n )
1 2
= =
1 − µ (n) 1 −1
µ − µ (n) 1 w (n)
1
= w (n) + + O(µ n ) = w (n) + O(µ n ).
µ (n) 1 µ 1 1 − µ (n) 1 −1 2 2
¡ £ ¤Y¥ Å ?µ«t¿ Ê ? £ v n ± É»¤ £ «#¥®ú ³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤Y¥®ú??wÔ©? ʤ± ÉΤú¤?µ«#¥®úD? £ ?!???¤¤3¥ ³!£?û© ??üqÁ
? £ ÉÄ? ± n Á £?°´± ?§? © ¥§? ±¤±
v (n) − r (n) 2 w (n) + O(µ n ) − w (n) + O(µ n ) 2
= 2 2 =
r n 2 w (n) + O(µ n ), (w (n) + O(µ n )
2 2
= O(µ 2 2n ) = O(µ 2 2n ) = O µ 2 2n → 0
w n 2 + O( w n µ n ) O(µ 2n ) µ
2 1 1
³¤©¤± n → ∞ ¿%?¬¥§¤T¤Y¥§¤ |µ 2 /µ 1 | < 1 À(ýv¥§¤ ± « £ ï © ¥®? £ «t¿ ³!£ ÉÄ? ©!£ ???5¥?ï§ ± ?µ¤3¥®úT¤ r n
Ô©? ʤ± ÉΤú¤?µ«#¥®ú £ ?!???¤¤Y¥ v n ¿ ¤ £ ? £?© ª!ù ³¤©¤±8³¤© ¥§¤!? ±¤Ê ??É»¤ £ « É Ê ?»?§?´?®¥ ³¤± É»?rÔ?¥§ùa?CÔ
Ô ±3¢ ?
x (n) − x (n−1)
v (n) = ??c5ÀÈ÷H?
µ (n) 1 − 1
Ãî¢ ?
(x (n) − x (n−1) , x (n) − x (n) )
µ (n) 1 = .
(x n−1 − x n−2 , x n − x n−1 )
£ ???«&?»? ± «t¿ Ê ? £?© ?µ¥®4¯©?5¥®ú ³!£?û© ??üÿ? £ ÉÄ?©¯e« £µÅ ?»? £ ¤Y¥®?®¥¬?©¯©Éûúq?µ?5¥ ʤ± ?§?Ä4¯©? £ ï £ 4¯®Á
ü×?¨?µ?5¥ Ê ??? ± ú x (n) − x (n−1) ¿¤??ÉÎ ± µ 1 ï§ ± ?µ¤ £ ¤ ¨W©À
Ò£591 ñ f?5?ô9õDñ6Ó6ö ¡ ©¤±y© ¥§É Ê ?»?§?ÿÉ ³!£ « £?Ó ¯©ù ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤?¥Íþ«&?»? £?¢4£ Ô ³¤©¤± ï§ ±YÅ ???3Á
? £?ÃÄ£¨© ??ü×??? ± úSƤeqÕ ¸QÉ¢? £?Ê ? £ ÉÄ?©¯©ù ε © ¥®?»ª¤« ? £ ? © ?»ï £ Ô?¥¬?©¯¡Ô©? ³!£ 4?!??? ± úÿª?ÉÎ £ Ô ± ú
ε , ??ÉÎ ± x (0) 1,
v (n) ε 1 , Ãî¢ ? ε 1 =
? µ
Ò£591 ñ f?5?ô9õDñ Ô?ö ¡ ©¤±ÿ© ?µ¥® ± ?®¥§? ±¤± «&?»? £?¢ ¥ ³!£ ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?§?Ä4¯©?¤?¥Í ³¤©¤± ï§ ±YÅ ??? ±¤° ¿©¤Y¥§¤
± 4ùaï £?ÃÄ£þ¢§© ª ÃÄ£?ÃÄ£E± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£C³¤©!£ ?!??É»É?¥!¿#?5¥ ¢4£ ª!¤Y¥®?µ?rÔ?¥¬?©¯C«#¥§¤3É ± «#¥®4¯©? £
¢4£?³ ª?ÉÄ? ± « £ ? ʤ± ÉÎ £e± ?§? © ¥§? ±¤° À(·¥? £e£ ï H? ú5É»?Yú¤?»?©Éûú0?§?µ«t¿ Ê ? £e³¤©¤±²© ??ü×??? ±¤±´³¤© ¥§¤3Á
? ±¤Ê ??É»¤ ± Íy?®¥ ¢ ¥ Ê ¿ ¢ ¤úþ?!??¤ £ ? £?© ?¥Í ± ?S? ± Í ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? ° «&?»? £?¢ « £µÅ ?»? © ¥§ÉîÍ £ Á
¢§± ?©¯©ÉûúFÀ
v â ÖÕ êÿÞ?hvæ&ÞD%1# Û Tjhvæ&ß9d?Ü&è?ÜvÛFEw7&'0EU%?ßD4¡Þ?hvæ&Þ§Ù§è?ævÝvÛ
W ©À9?¡¥§¤ £ Ô©? © ¥®?» ±¤Ê¤± úË«&? Åg¢ ª ? £?Ê ?¤? « ±´±0± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤? « ± «&?»? £?¢ ¥©« ±0© ??ü×?ÎÁ
? ± úyƤeqÕ ¸A!
ôYÀ©Æ¢¦ £?© «vª® ±¤© ª ° ?©? ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ?tª?ÉÎ £ Ô ± ?tÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ±?¢ Ô¬ª?Í3ÉÎ £?° ? £?ÃÄ£¨± ?§? © ¥µÁ
? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£ «&?»? £?¢ ¥ © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸aÀ
` !À?Æ¢¦ £?© «vªµ ±¤© ª ° ?©?e?!? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±ÿ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ? ª?ÉÎ £ Ô ± ? ÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ±ÿ¢ Ô¬ª?Í3Á
ÉÎ £?° ? £?ÃÄ£A± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£ «&?»? £?¢ ¥ © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸aÀ
c 5À ¡ ©¤± ¤Y¥§¤ ± Í α ± β ÉíÍ £?¢§± ?©Éûú´«&?»? £?¢²³¤©!£ ÉÄ? £?°´± ?§? © ¥§? ±¤± x (k+1) = S x (k) + c ¿
Ãî¢ ? ? ? ? ? ?
α β 0
? ? ? ?
S = ? β α β ?
0 β α
øYÀ?¡ £ ¤Y¥®?®¥¬?©¯¤¿ Ê ? £r¢ ¤úyƤeqÕ ¸ Ax = b É?«#¥¬? ©¤± ?!? °
? ? ? ? ?
2 0.3 0.5
? ? ? ?
A = ? 0.1 3 0.4 ,
0.1 0.1 4.8
ÉîÍ £?¢§± ?©ÉûúC«&?»? £?¢?³¤©!£ ÉÄ? £?°C± ?§? © ¥§? ±¤± ¿F??ÉÎ ± ªE«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S = E − τA
³ ¥ © ¥©«&?»? © 0 < τ < 0.4 À
? !À(?¡¥§¤×Ô¬ ± ú¤?»?e?5¥eÉîÍ £»¢§± « £ ÉÄ?©¯ ± ?§? © ¥§? ±!£ ?¤?¤?¥Ír«&?»? £?¢4£ Ô © ??ü×??? ± úrƤeqÕ&¸ £ 離?Á
ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ?©¯A«#¥¬? ©¤± ?¤?×!
÷YÀ ¡ ©¤± ¤Y¥§¤ ± Í α ± β Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©ÉûúQ?!? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±8¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ? ª?ÉÎ £ Ô ± ?
?½å
ö!À ¡ ©¤± ¤3¥§¤ ± Í α ± β Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»??Éîú ?!? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±8¢4£ ÉÄ?®¥¬? £?Ê ? £ ? ª?ÉÎ £ Ô ± ?
ÉîÍ £»¢§± « £ ÉÄ? ± «&?»? £?¢ ¥ ? ? °3¢ ?Ĥú ¢ ¤ú © ??ü×??? ± ú²Æ¤eqÕ&¸ ± ? ³ ª!?¤¤!?®¥ic !
Y !ÀD¡?? © ??ÉÄ?¬¥§Ô©¯µ?§??ÔAÉ ± ÉÄ?§?µ«&? ± ? ³ ª!?¤¤!?¬¥ic ³ ? © Ô £ ? ± Ô§? £?©!£ ?qª © ¥§Ô©?!??? ± úFÀD£ ³¤© ?ÎÁ
¢ ?Ä ± ?§??¿ ³¤©¤± ¤Y¥§¤ ± Í α ± β Ô©? ³!£ 4?Yú¤?»?©Éûú ?!? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±Ë¢4£ ÉÄ?®¥¬? £?Ê ? £ ?gª?ÉÎ £ Ô ± ?
ÉîÍ £»¢§± « £ ÉÄ? ± «&?»? £?¢ ¥ ? ? °3¢ ?ĤúD! Æ © ¥§Ô©? ± ?§? ³!£ ¤ª Ê ???¤?¤? °g£ ?©Ô§?»?¡É £ ?©Ô§?»? £ «þÔ ³ ª!?¤¤3Á
?§?×ö!À
W ?õ!À4ò £ ¤Y¥®?®¥¬?©¯¤¿ Ê ? £e¢ ¤úEƤeqÕ&¸ÑÔ§? £?©!£?ÃÄ£0³!£?© ú ¢ ¤Y¥?? n = 2 ? e«&?»? £?¢ ? ? ¤ £ ï ±y±
? ? °3¢ ?Ĥú´ÉîÍ £»¢ ú¤?©Éûú ±´© ¥§ÉîÍ £?¢ ú¤?©Éûú £?¢ ? £ Ô © ?µ«v???¤? £ À
?½ì
Ø Ù ! ?yq§y ! !
ÇáÌ»? £ « ³¤©¤± £µÅ ??? ±¤± ³¤©¤± Ô £?¢ ú¤?©Éîú ?!??¤ £ ? £?© ?t?¨É»Ô§? ¢ ??? ± úF¿?¤ £ ? £?© ?t? ± É ³!£ 4¯¬?»ª?Á
ùa?©Éûú²Ô £ É»? £ Ô©? £ «á?§??¤3ÉÄ?§??¿4¥g?¬¥§¤ Å ??ª!¤Y¥®?®¥§? ± ú ¢ ¤ú © ??ü×??? ± ú ³¤©¤± «&? ©!£ Ô¤À
Ú?rÜÛ rut Ý&x#yez9?ey#?4 ?Þàßáx?? }ex ?4x#~? V?â V|R? ?~?x#Æ?~?yeƧ{P? Ŷx#zew?ߺ ?jx#yew? ? Þà{j?jw ?ã
¡ eª?ÉÄ?©¯ A = {a ij } i,j=1 m ðѤ¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?5¥®ú «#¥¬? ©¤± ?5¥ © ¥®?®«&? © ¥ ? m × m ? P¿A¥
x = {x i } m i=1 À ?£?ï £ ?µ?5¥ ʤ± « É £?³¤© ú Å ???¤?Yª!ù ¤ A «#¥¬? ©¤± ?Yª Ê ? © ?Ä? A ∗ À ?ä ÉÎ ± A
°
Ô§? Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤?5¥®ú0«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿Y? £ A ∗ = A T ¿ Ãí¢ ? A T ? © ¥§?¤É ³!£ ? ±¤©!£ Ô?¥§?¤?5¥®ú´¤ A «#¥¬?®Á
°
©¤± ?5¥!À?ä ÉÎ ± A ¤ £ « ³ 5??¤3É»?5¥®ú²«#¥¬? ©¤± ?5¥!¿5? £r¢ ¤úËÌÄ5?µ«&???!? £ Ô A ∗ É ³¤© ¥§Ô§? ¢ ± Ô £A© ¥µÁ
Ô§???¤ÉÄ?©Ô £ a ∗ ij = a ji ? a ji ¤ £ « ³ 5??¤3É»? £ É £?³¤© ú Å ??? £ É a ji ? PÀ9£ ³¤© ? ¢ ?Ä ± ?§?Ä4¯S«#¥¬? ©¤± ?¤?
A 離 ¢ ?µ« £ ï £ ?µ?5¥ Ê ¥¬?©¯ det(A) ¿ ¥ £ ï © ¥¬?©?Yª!ùѤ A «#¥¬? ©¤± ?Yª Ê ? © ?Ä? A −1 À ä ÉÎ ± ÉΪ?Á
Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª??»? A −1 ¿¤? £ «#¥¬? ©¤± ?5¥ A ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú´?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤? £?° À
·¢¤¤Ô ± Ô?¥®5???!?©?¤??ÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± ?¡ªY?©Ô§? ©?Åg¢ ??? ± úFÀ
W ©ÀDbË¥¬? ©¤± ?5¥ A ú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûú´?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤? £?° À
ôYÀ?£ ³¤© ? ¢ ?Ä ± ?§?Ä4¯ det(A) = 0 À
` !À4ƤeqÕ ¸ Ax = 0 ± «&?»?»?r? £ 4¯©¤ £ ? ©¤± Ô ± ¥®4¯©? £ ? © ??ü×??? ± ??À
c 5À?¡ ©¤± 4ùaï £ «CÔ§??¤!? £?© ? b = 0 Æ ¤eqÕ&¸ Ax = b ± «&?»?»?q? ¢§± ?¤ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? © ??ü×??? ± ??À
øYÀ4Ç¥ÉÄ?qÉÄ? £ 5ï??¤?±?wÉÄ? ©!£ ¤ ± ? r«#¥¬? ©¤± ?¤? A ± ?!? ° ? £ ?!?Ä?®¥§Ô ± É ± « ?¡À
? !À4?v¥§? à «#¥¬? ©¤± ?¤? A © ¥§Ô§??? m ? © ¥§? à «#¥¬? ©¤± ?¤? ð?¤ £ ±¤Ê ??ÉÄ?©Ô £ ± ?!? ° ? £ ?!?Ä?®¥µÁ
Ô ± É ± « ?¥Í´ÉÄ? £ 5ï?? £ Ô p? ± ± ÉÄ? ©!£ ¤ ??Ð?PÀ
Ç ? Ó ??ÉÄ?©Ô§???¤? £ ? ± ± ¤ £ « ³ 5??¤3É»? £ ? ʤ± ÉÎ £ λ ± Ô§??¤!? £?© ? = 0 ?5¥®?µ?rÔ?¥§ùa?©Éûú
É £©£ ?©Ô§?»?©ÉÄ?©Ô§???¤? £ É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? «8?µ?5¥ Ê ??? ± ?µ« ? ʤ± ÉÎ £ « }? ± É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? « Ô§??¤!? £?©!£ «
«#¥¬? ©¤± ?¤? A ¿!??ÉÎ ±
A? = λ?.
Æ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥×«#¥¬? ©¤± ?¤? A ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûú?¤ £?© ?Yú4« ± ÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ÉÄ? ±¤Ê ??É»¤ £?ÃÄ£
« ? £?ÃÄ£?Ê 5???5¥rÉÄ?§? ³ ??? ± m
det(A − λE) = 0.
µ û
Ô§?Ä ±¤Ê¤± ?5¥
ρ(A) = max |λ i |
i
?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú´É ³ ??¤!? © ¥®4¯©?¤? « © ¥ ¢§± ª?É £ «8«#¥¬? ©¤± ?¤? A À
Æ ª¤«#«#¥?ÌÄ5?µ«&???!? £ Ôÿ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?¡¿¤ÉÄ? £ ú Óÿ± Í??5¥ à §¥§Ô©? £?°A¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥® ± ¿
m
?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©ÉûúcÉÎ5? ¢4£ « «#¥¬? ©¤± ?¤? ±c£ ï £ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?©Éûú trA ± ± SpA ? trA = a ii ? PÀ
i=1
Æ 5? ¢ «#¥¬? ©¤± ?¤? A É £ Ô ³ ¥ ¢ ¥¬?»?ËÉSÉΪ¤«#« £?° ¤ £?© ?!? ° ÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ÉÄ? ±¤Ê ??É»¤ £?ÃÄ£ « ? £?ÃÄ£ Á
Ê 5???5¥S«#¥¬? ©¤± ?¤? A À
Ç¥? ʤ± ÉÎ5??? ± ? É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í ?µ?5¥ Ê ??? ±¤° ú5Ô¬¤ú¤?»?©ÉûúF¿ Ô £©£ ï Ó ? ÃÄ£ Ô £?© úF¿ ÉÎ £µÅ ? £?°
?®¥ ¢ ¥ Ê ? ° ¿!¤ £ ? £?© ¥®ú05? à ¤ £S© ??üg¥¬?»?©ÉûúF¿Y??ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ A ³¤© ¥§Ô?¥®úu? ± ± 5??Ô?¥®úD? ? © ?ÎÁ
ª ÃÄ£ 4¯©?5¥®ú²«#¥¬? ©¤± ?5¥!À5òq¤ú´?¬¥§¤ ± Íy«#¥¬? ©¤± ?yÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥gú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûú ¢§± ¥ ÃÄ£ Á
?5¥®4¯©?¤? « ± ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± À Fä ÉÎ ± «#¥¬? ©¤± ?5¥ A ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úF¿F? £ ?»?AÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?
ʤ± ÉΧ¥×ú5Ô¬¤ú5ùa?©Éûú ?¬¥§¤ Å ? ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤? « ± ÌÄ5?µ«&???!?¬¥©« ± ¿ ± É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤? £ «vªA?µ?5¥ Ê ?ÎÁ
? ± ù׿ © ¥§Ô©? £ «vª a jj ¿ £ ?©Ô§? Ê ¥¬?»? É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? ° Ô§??¤!? £?© e j = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) À
j
¡ ?? © ? ʤ± ÉÎ ± «??!??¤ £ ? £?© ?t?×É»Ô £?° ÉÄ?©Ô?¥SÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í ʤ± ÉÄ?Ä ± É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥ÍËÔ§??¤3Á ÊjËÈÌÎÍÐÏ
? £?©!£ Ô¤À
ä ÉÎ ± É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥ λ k ± λ j «#¥¬? ©¤± ?¤? A © ¥®?» ±¤Ê ?¤? ? λ k = λ j ? P¿¬? £ É £©£ ?®Á
Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ± ? ± « É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?gÔ§??¤!? £?© ?? ± ?!? ° ? £ ?!?Ä?®¥§Ô ± É ± « ?¡À{ä ÉÎ ± Ô©ÉÄ?ÿÉ £ ï¬Á
ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?×?µ?5¥ Ê ??? ± ú λ k ³¤©!£ ÉÄ???¢??¿%? £ É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?gÔ§??¤!? £?© ? ? k ? k = 1, . . . , m ?
± ?!? ° ? £ ?!?Ä?®¥§Ô ± É ± « ?¡¿ ÉÎ5? ¢4£ Ô?¥¬?§?Ä4¯©? £ ¿ £ ï © ¥®?»ª!ùa? ï?¥®? ± ÉeÔ R m À 3¡ ©¤± ?5¥® ±¤Ê¤±¤±
¤ © ¥¬?©?¤?¥ÍTÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í ʤ± ÉÄ?ÄTÉ ± ÉÄ?§?µ«#¥?Ô©ÉÄ?ÎÍ É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í Ô§??¤!? £?©!£ Ô´« £?Å ?»?´?!?
ï??t?©¯Sï?¥®? ± É £ «áÔ R m À ?bË¥¬? ©¤± ?5¥!¿¤ª0¤ £ ? £?©!£?°²³!£ 4?5¥®úËÉ ± ÉÄ?§?µ«#¥rÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?¥Í´Ô§??¤3Á
? £?©!£ Ô £ ï © ¥®?»ª??»??ï?¥®? ± ÉeÔ R m ¿3?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éûú?«#¥¬? ©¤± ?!? ° ³¤©!£ ÉÄ? £?°?³¤©¤±¤©!£?¢ ? I?wÉÄ? © ª!¤3Á
?¬ª © ? ??P¿5??? Åÿ£?©©¢ ¥§? £ Ô?¥S¦ £?© «#¥ ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥!À
Æ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?×?µ?5¥ Ê ??? ± ú λ k É £?³¤© ú Å ???¤? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? A ∗ ¤ £ « ³ 5??¤?É»? £ É £?³¤© úYÁ
Å ???¤? ʤ± ÉΧ¥©« λ k ¿?¥0É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?SÔ§??¤!? £?© ? ψ k ? k = 1, . . . , m ? £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?
Ô§??¤!? £?© ¥©« ? k ? k = 1, . . . , m ? P¿¤?®À ??À
(? k , ψ j ) = 0, ??ÉÎ ± k = j.
µ »
?¤?t?gÔ§??¤!? £?© ?¡¿%É £©£ ??Ô§?»?©ÉÄ?©Ô¬ª!ù Óÿ± ? © ¥®?» ±¤Ê ?¤? «QÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? «??µ?5¥ Ê ??? ± ú4«t¿ £?© ? £ Á
ÃÄ£ ?5¥®4¯©?¤?¡À
ò×Ô§?ÿ¤¤Ô?¥ ¢§© ¥¬?©?¤?t?S«#¥¬? ©¤± ?¤? A ± B £»¢§± ?5¥§¤ £ Ô©?¥Í © ¥®?®«&? ©!£ Ôe?5¥®?µ?rÔ?¥§ùa?©Éûú ³!£ Á
¢4£ ï??¤? « ± ¿???ÉÎ ± ÉΪ Ó ??ÉÄ?©Ô¬ª??»? ?¬¥§¤Y¥®úh?!??Ô©? ©!£µÅg¢ ???¤?5¥®ú?«#¥¬? ©¤± ?5¥ P ¿ Ê ? £ B =
P −1 AP À Ç¥ÉÄ? ³!£?¢4£ ï??¤?t?y«#¥¬? ©¤± ?¤? ± «&??ùa? £?¢ ? ±8± ?§? Å ?²É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?0?µ?5¥ Ê ?ÎÁ
? ± úFÀ3ä ÉÎ ± P ð £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®úá«#¥¬? ©¤± ?5¥ ± B = P ∗ AP ¿?? £ «#¥¬? ©¤± ?¤? A ± B
?5¥®?µ?rÔ?¥§ùa?©Éûú £?© ? £?ÃÄ£ ?5¥®4¯©? £e³!£?¢4£ ï??¤? « ± À
ä ñ?ðV5?HHñ½ô4EF3?HBG@å?GPiéõ4³çæá°1ôV84I GBHeEFI?GBh¯G ± «&?»?»?SÔ ±3¢
m m m
x k y k x k 2 y k 2 , ± ± (x, y) x y . ? óøYÀXW®?
k=1 k=1 k=1
Ú?rÜÛ rs? ?Dw?{9?4 ?x#~??@è%? ~?Ä?ã? ?ye~?{P? {
Ò ª ¢ ?µ«Ë?!??¤ £ ? £?© ? ° ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥® F : R m → R © ¥§É»É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥¬?©¯?¤Y¥§¤×¦?ª!?¤¤¤? ± ù
« ? £?û± Í ³ ? © ?µ«&???¤?¤?¥Í F (x 1 , . . . , x m ) ÀYÇ £ ?µ¯?«&?µ« ³¤©!£?± ?µÔ £ 4¯©?¤? ° ? ¢§± ? ±¤Ê ?¤? ° Ô§??¤3Á
? £?© y = (y 1 , . . . , y m ) ? y = 1 ? ±T© ¥§É»É?« £ ? ©¤± « É»¤ £?©!£ ÉÄ?©¯ ± ?®«&???!??? ± ú F (x) ³!£
?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ù y À ¡ ©!£?± ?µÔ £?¢ ? £?° ¦?ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥®§¥ F (x) Ô ? £?Ê ¤?? x = (x 1 , . . . , x m )
³!£ ?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ù y ?5¥®?µ?rÔ?¥¬?»?©Éîú
∂F (x) F (x + ty , . . . , x + ty )
= lim 1 1 m m =
∂y t→0 t
∂
= ∂t F (x 1 + ty 1 , . . . , x m + ty m ) t=0 .
Ç¥? ʤ± ÉÎ ± « ³¤©!£?± ?µÔ £?¢ ?Yª!ù
∂ ∂F ∂F ∂F
∂t F (x 1 + ty 1 , . . . , x m + ty m ) = ∂x 1 y 1 + ∂x 2 y 2 + . . . + ∂x m y m = (grad F, y),
∂F ∂F ∂F
Ãî¢ ?qÔ§??¤!? £?© grad F = ∂x , ∂x , . . . , ∂x À5ý?? ³ ? © ¯
1 2 m
∂F (x)
= (grad F, y) = grad F y cos α = grad F cos α,
∂y
Ãî¢ ? α ª ÃÄ£ y«&? Åg¢ ª´?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ?µ« grad F ± Ô§??¤!? £?©!£ « y À
µ æ
∂F (x)
·¥? £ÿ£ ?µ?5¥ Ê ¥¬?»?µ¿ Ê ? £ − gradF ∂y grad F ¿?? £ ??ÉÄ?©¯ F (x) ªYï??rÔ?¥µÁ
?»?rï??rÉÄ? © ?»? Ô©ÉÄ? ÃÄ£ Ô ¢4£ 4¯ ?5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ú ³¤©!£ ? ± Ô £?³!£ £µÅ ? £?ÃÄ£eû© ¥ ¢§± ???!?¬ª?À ? ¥©«&?»? ± «
? £ 4¯©¤ £ ¿ Ê ? £ Ì»? £ É»Ô £?° ÉÄ?©Ô £ £ ¤Y¥®4¯©? £ ? wÉ ³¤© ¥§Ô§? ¢ ± Ô £ ? £ 4¯©¤ £ Ô ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ «#¥® £?°
£ ¤ © ??ÉÄ?©? £ ÉÄ? ± ? £?Ê ¤ ± x ? PÀ ½¡¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ? û© ¥ ¢§± ???!?¬¥yÉ £ Ô ³ ¥ ¢ ¥¬?»?yÉ??5¥ ³¤© ¥§Ô¬5??? ± ?µ«
Ô©?!??üÿ?!? ° ? £?© «#¥® ± ¤ ³!£ Ô§? © ͤ? £ ÉÄ? ± F (x) = c À
Ò£591 ñ f?5?ô9õDñØö ¸ © ¥§Ô©?!??? ± ??? £?© «#¥® ± ³!£ Ô§? © ͤ? £ ÉÄ? ± F (x) = c Ô ? £?Ê ¤?? x 0 =
(x 0 1 , x 0 2 , . . . , x m 0 ) ± «&?»?»?SÔ ±3¢
x − x 0 x − x 0 x − x 0
1 = 2 = ··· = m .
∂F ∂F ∂F
(x 0 ) (x 0 ) (x 0 )
∂x 1 ∂x 2 ∂x m
Ú?rÜÛ rsq éá?j}ex#?jß%êV? Ä?{P|#{j~? V?7ê7w?x#Ç?x#~? V?
o ß 7?(7#è1' C â
W ©À Ð ª!?¤¤¤? ±!£ ?5¥® max |a ij | ?!?gú5Ô¬¤ú¤?»?©Éûúþ? £?© « £?° «#¥¬? ©¤± ?¤?¡¿(?¬¥§¤T¤Y¥§¤ £ ?þ?!?
1 i,j m
ª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú¤?»? Ê ?»?©Ô§? © ? £ «vªcÉ»Ô £?° ÉÄ?©Ô¬ª ± ? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± ú?? £?© « ? «#¥¬? ©¤± ?¤?¡À#½¡¥µÁ
³¤©¤± «&? © ¿ ¢ ¤ú ? ¢§± ? ±¤Ê ? £?° «#¥¬? ©¤± ?¤? E ³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú E E > E E À 9b £µÅ ? £
³¤©¤± Ô§??ÉÄ? ±Ë³¤©¤± «&? © «#¥¬? ©¤± ?¤??Ô§? £?©!£?ÃÄ£e³!£?© ú ¢ ¤Y¥!À
m
` !Ày¡?? © Ô©?t?r? ©¤± ª?ÉÎ £ Ô ± ú ± ? £?³¤© ? ¢ ?Ä5??? ± úT? £?© « ? S(A) = |a ij | 2 £?Ê ?ÎÁ
i,j=1
Ô ±3¢ ?¤?¡¿v?¬¥§¤á¤3¥§¤?Ì»?¬ªc? £?© «vª?« £µÅ ? £þ© ¥§É»É?«#¥¬? ©¤± Ô?¥¬?©¯þ¤Y¥§¤?? £?© «vªcÔ§??¤!? £?© ¥ m 2 ð
«&? © ? £?ÃÄ£ ¥ ©¤± ¦q«&?»? ±¤Ê ??É»¤ £?ÃÄ£?³¤©!£ ÉÄ? © ¥§?¤ÉÄ?©Ô?¥!À(ë??»?©Ô§? © ? £ ?ÿÉ»Ô £?° ÉÄ?©Ô £e³!£ ¤ª Ê ¥¬?»?©Éûú²É
³!£ « £?Ó ¯©ù ?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥i? £ ü ± Á Ò ª!?Yú5¤ £ Ô©É»¤ £?ÃÄ£ ? wÉ?«tÀ øYÀXW ? P¿ ¢ ? ° ÉÄ?©Ô ± ?§?Ä4¯©? £
m m 2 m m m
S 2 (AB) = a ik b kj |a ik | 2 |b kj | 2 =
i,j=1 k=1 i,j=1 k=1 k=1
m m m m
= |a | 2 |b | 2 = S 2 (A) S 2 (B)
ik kj
i=1 k=1 j=1 k=1
Æ £?à §¥§É £ Ô?¥§?¤? £ ÉÄ?©¯ S(A) ± x 2 ÉÎ5? ¢ ª??»? ± ?×?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥
m m 2 m m
Ax 2 = a ij x j |a ik | 2 |x k | 2 = S(A) x 2
i=1 j=1 i,k=1 k=1
µ ¥
c 5À¤ò £ ¤Y¥®?®¥¬?§?Ä4¯©ÉÄ?©Ô £ ?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô5? ôYÀÈô ? ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ³¤©!£ ÉÄ? £ ??À5ò £ ¤Y¥ Å ?µ«á ± üÿ¯
x 1 /√m x 2 ¿ ± É ³!£ 4¯¬?»ª©ú??!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥U? £ ü ± Á Ò ª!?Yú5¤ £ Ô©É»¤ £?ÃÄ£ ? wÉ?«tÀ øYÀXW ? PÀ
ë?? £ ï?? £ ?!??? ± ?©¯ x 1 ¿ ³¤© ? £ ï © ¥®?»ª??µ«
(|x 1 | + |x 2 | + ··· + |x m |) 2 = (|x 1 | 1 + |x 2 | 1 + ··· + |x m | 1) 2
(|x 1 | 2 + |x 2 | 2 + ··· + |x m | 2 )(1 2 + 1 2 + ··· + 1 2 ) =
= m(|x 1 | 2 + |x 2 | 2 + ··· + |x m | 2 )
øYÀ b ´? £µÅ ??ÉÄ?©Ô £ Ô§??¤!? £?©!£ Ô {x : x 1 = 1} ?5¥ ³ £ É»¤ £ ÉÄ? ±´± «&?»?»?SÔ ±3¢ À
? !ÀYò £ ¤Y¥ Å ?µ« ³!£?¢§Ê¤± ?!???¤? £ ÉÄ?©¯A? £?© « ??« ¥¬? ©¤± ?¤? A 2 = 1 i m max (λ AA ∗ ) i ? £?© Á
«&??Ô§??¤!? £?© ¥ ? = (?, ?) À§¼e?µÔ§??ÉÄ?©? £ ¿ Ê ? £ ª ³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £?° É ± «#«&?»? ©¤±¤Ê ? £?°
«#¥¬? ©¤± ?¤? AA ∗ Ô©ÉÄ?0É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥ ³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©?¤?t??À?¡eª?ÉÄ?©¯ λ 1 ?5¥ ± ï £ 4¯®Á
ü×?»? ³!£ £µÅA± ?§?Ä4¯©? £ ? ʤ± ÉÎ £ AA ∗ ¿5¤ £ ? £?©!£ «vª £ ?©Ô§? Ê ¥¬?»?AÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤? ° Ô§??¤!? £?© ? 1
? ? 1 = 1 ? PÀ¥ý £?Ãî¢ ¥ A 2 = √λ 1 ¿ ± A? = (A?, ?) = (?, A ∗ A?) =
√λ
1 (?, ?) = √λ 1 À
ö!À%½??»?®À?¡ ©¤± «&? ©!£ « « £µÅ ?»? ÉΤª ÅA± ?©¯SÍ £?©!£ ü £e£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤?5¥®ú ¢§± ¥ ÃÄ£ ?5¥®4¯©?5¥®ú
«#¥¬? ©¤± ?5¥ diag(ε, ε, . . . , ε) ³!£?© ú ¢ ¤Y¥ m × m ? m 1 ¿ ε 1 ? PÀ
S(A)
WØ`!Àk¡ © ¥§Ô?¥®ú Ê ¥§ÉÄ?©¯r?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ?©Ô?¥ m A 2 S(A) £?Ê ??Ô ±3¢ ?5¥!À ? ¥©«&?»? ± «t¿
Ê ? £ S(A) = √trAA ∗ À?ò £ ¤Y¥®?®¥¬?§?Ä4¯©ÉÄ?©Ô £ 5??Ô £?°CÊ ¥§ÉÄ? ± ÉÎ5? ¢ ª??»? ± ?0ÉÎ5? ¢ ª!ù Óÿ± Í
³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ±¤°
1 1
A 2 2 = max 1 i m λ i m (λ 1 + ··· + λ m ) = m trAA ∗ = S 2 (A)
? 4¢ ??É»¯ λ i É £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤? £ ?¨?µ?5¥ Ê ??? ± ??«#¥¬? ©¤± ?¤? AA ∗ À
WÅc5À4ë?? £ ï???Ô©? ʤ± ÉÎ ± ?©¯ ʤ± ÉÎ £S£ 離?ÉÎ £ Ô¬5???¤? £ ÉÄ? ± ¿ ³!£ ÉÄ? ©!£?° ?§? £ ï © ¥¬?©?Yª!ùh«#¥¬?®Á
©¤± ?Yª ± ± ?5¥ °3¢§± ?§???»?qÉ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t?¨?µ?5¥ Ê ??? ± úFÀ
µë?
o ß 7?(7#è1' f ? ? ? ? â ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 0 0 1 −1 −3
W ©À L = −1 1 0 ¿ U = 0 1 2
3 1 −2 0 0 1
ôYÀYÁÑc5À
øYÀvÆ¢?5¥ Ê ¥®§¥Ë?5¥ ¢4£ ª¤« ? £µÅA± ?©¯ «#¥¬? ©¤± ?Yª A ÉÎ5??Ô?¥0?5¥²«#¥¬? ©¤± ?Yª ³ ? © ??ÉÄ?¬¥§? £ Ô £ ¤
P 23 ¿%¥S?®¥¬?§?µ« Ô©? ³!£ 4? ± ?©¯ £?¢ ? £ ³¤© ? £ ï © ¥®? £ Ô?¥§? ± ?ÿÔ © ¥§ü×??? ± úFÀ(Ç ?®¥§Ô ± É ± « £ ÉÄ? ±²£ ?
£?©¤Ã ¥§? ± ?®¥§? ±¤± Ô©? ʤ± ÉÎ5??? ±¤° Ô £ ?©Ô§?»?§? ³!£ ÉÎ5? ¢ ? ±¤± ?µ?5¥§¤ ± « £?à ªY? © ¥®?» ±¤Ê ¥¬??¯©Éîú
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0.447 −0.894 0 2.24 3.58 4.92
Q = 0 0 1 , R = 0 −0.447 −0.894
0.894 0.447 0 0 0 1
÷YÀ5ý £?Ê ? £ ? © ??ü×??? ± ? x ∗ = (−1,−3,2) T À
o ß 7?(7#è1' v â
c 5À(Æ £ ï?ÉÄ?©Ô§???¤?¤?t? ʤ± ÉΧ¥e«#¥¬? ©¤± ?¤? ³ ? © ?ÎÍ £?¢ ¥ S ¢4£ Å ?¤??ª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú¤?©¯e?§? £ Á
© ?µ«&? £ ?!? £ ï?Í £?¢§± « £ « ± ¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ «áª?ÉÎ £ Ô ±¤± ÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ± ¢ Ô¬ª?Í3ÉÎ £?° ? £?ÃÄ£A± ?§?ÎÁ
© ¥§? ±!£ ?¤? £?ÃÄ£ «&?»? £?¢ ¥!¿¤?µÀ ??À |α| < 1 ± |α ± √2 β| < 1 À
ö!À?½?? £ ï?Í £?¢§± « £ ? ±²¢4£ ÉÄ?¬¥¬? £?Ê ? £ ?Sª?ÉÎ £ Ô ± ?SÉîÍ £?¢§± « £ ÉÄ? ± «&?»? £?¢ ¥ ? ? °3¢ ?Ĥú ¢ ¤ú
?®¥ ¢ ¥§?¤? £?° É ± ÉÄ?§?µ« ? ± «&?»?»?þÔ ±3¢ |λ| < 1 ¿ Ãî¢ ? λ © ??ü×??? ± ?eÍY¥ © ¥§¤!?§? ©¤± ÉÄ? ±¤Ê ??É»¤ £ ?
ª © ¥§Ô©?!??? ± ?
a λ b λ 0
b λ a λ β = a λ 2 (2β 2 λ 2 − a 2 ) = 0.
0 b λ a λ
£ ??©É»ù ¢ ¥CÉÎ5? ¢ ª©?»?®¿ Ê ? £ α ± β ¢4£ Å ?¤??ª ¢4£ Ô¬5?»?©Ô £?© ú¤?©¯c?!? © ¥§Ô§???¤ÉÄ??Ô¬ª |β/α| <
¦ gë! ux{§}ª yq !z& u z « t
ìîíÈï®ð?¿?ݽÎë¿?ÂØÏÐÎ"ñò ¢£ FójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇ?ÈFÛ8ÈÚÊ?Ï?á?Ç? ôR îõ ñ j¿?˺ҽ¿½ÍîíÐön÷ùø
ì úûï®ü9Ï?È?Î?ÏÑá?ÃÅÆ üý üý FükÇ?ÄÅÃ?ÉÚÂ?Ã?Ê?È Â 9¤?ÆÅÇDÈFÏ?É?Æ?ÏÐÎ?Ç Â?ÃÅÆ?È?ÜÅÆ?ÏÐÜ?¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×ÅÇ? ¿uôR B îõ
ìîíÐþûï®ÿ ÏÐÆ?ÏÐÎë¿?ÂØÏÐÎý ò à ÐükÎ?ÈÚáØÈ?ÆÅÃ?È?ÎDÎ?Ç?ÄÅÃ?ÉÚÂ?ÃÅÊ?ÈÚÂ#¤?ÆÅÇ?È?Û8È?Ê?Ï?á?Ç!Â?ÃÅÆ?È?ÜÅÆ?ÏÐÜ&¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×ÅÇ? û {Ä?ÈÑßÐÆ?Ï?È8ÕØÏ?É?Ï?ßÐÃØÈù
£½B DÍeíÐö¢¡¥ø½Í£ ÏÐÎ?Ï?É?Ã?ßÐÃÅ×?É?Ò?
ì ¤ ùï®ð?¿?ݽÎë¿?ÂØÏÐÎ"ñò ¢£ dͦ¥?ýá?ÒºÏÐΧ à ¨ à dÍ#ÿ Ï?ß?ÈÚÂ#¤?Ò½ÏÐΧ½P ôR #ójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈFÛ8È?Ê?ÏÑá?Ç? 9ôR îõ
ì © ûï®ÿy¿?Â?ÃÅÊ?ÒÅÃÅÆ ñò ñò FójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈFÛ8È?Ê?ÏÑá?Ç? ôR îõ ñ j¿?˺ҽ¿½ÍîíÐön÷¢¡
ì þû梨9¿ÐÛ?¿Á×?É?ÒÅÃÅÜ ò ò dÍF½?Ë?Â?ÃÅÆ ò üý FójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈFÛ8È?Ê?Ï?á?Ç? #ôR îõ
ì ÷Ðï®ü9È?×ëè ßÐÃÅÌ?ÒÅÃÅÜ üý ôR 9¸{É?Æ?ÏÐÎ?Ç ÄÅÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇ9Ý¢Û8È?Ê?ÏÑáØÏÐÎ# ¿4ôR îõ
ì ¡ ûï yèá F¸?×ÅÊ?È?ÞÑ¿½Í¶ D ¨jË?Â?ükÎ?ÈÚáØÈ?ÆÅÃ?È{Î0ÄÅÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈ Û8È?Ê?ÏÑá?Çé×?È?Ù&È?ÆÅÃÅà}á?ã yÈ?×?È?ÆÅÌÅÃØ¿?Â#¤?ÆÅÇ9Ý}˺×Ø¿ÁÎ?Æ?ÈÈ¿
ÆÅÃÅÜe #ôR îõ ñ j¿Ñ˺ÒÅ¿ F½ëÂ? Å×?ÈÚá? ÃÅÀn ¿ XÛ?¿ÁÊ2 ÅÂ?ÃÅÊ2 dÍîíÐö¢¡¥þ ¿ ú ¢¡ ¡ÐÉ¥
ì öûï®ð?¿?ݽÎë¿?ÂØÏÐΣñò ¢£ dÍÐ y¿ÁÕ?ÃÅÆò ò üý dÍÐójÃÅè&ÏÐÆÅÒºÏÐÎ D üý ûójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈkÛ8È?Ê?ÏÑá?ÇqÎDÀ?¿?ᮿÑÄØ¿?ÝyÃF˺ÕÅ×Ø¿Áè3Æ?È?ÆÅÃÅàºÝB
ôR dÍ ü kÇDÉ?Ù3¿ÁàêÙ0ÒºÏÁ®¿! ÐÍ9ú¢ ¢ ¢
ìîí" ûï®ÿj×ÅÇ9ÂØÏÐΧü£ ç à dÍ#ð9Ï?ßÐÒ½ÏÐÎ"üý üý FükÇ?ÄÅÃ?ÉÚÂ?ÃÅÊ?ÈÚÂ#¤?Æ?ÇDÈFÛ8È?Ê?Ï?á?Ç? £#
ìîí¥íÈï§&&¿?áÅáØÈÑÈ?Î' " ÿà dÍ(&&¿?áÅáØÈÑÈ?Î?üý à "ükÇ?ÄÅÃ?ÉÚÂ?ÃÅÊ?ÈÚÂ#¤?ÆÅÇDȯÛ8È?Ê?ÏÑá?ÇþÂ?ÃÅÆ?È?ÜÅÆ?ÏÐܨ¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×ÅÇ? §ôR §&FÃÅÀ
Û?¿ÁÊ?ÞÑÃÅÀ?ÍîíÐö¥þ¥ø
ìîíÐúûï yèá 0)â {ýÂ?ÒÅÃÅÆ?ÉÑÏÐÆe # DÂ?Þ?ÈÑßÐ×Ø¿ÁÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅ¿Áà ÕÅ×?Ï?ßÁÂØÈÑÛ?¿ ÉÑÏ?ß?É?Ê?Î?È?ÆÅÆÅÇ9Ý ÀÑÆØ¿ÑÄ?È?ÆÅÃÅÜe 9ôR dÍ0 y¿?˺ҽ¿½ÍeíÐön÷1 ÁÞ
ìîíÐøûïà {ýÂ?ÒÅÃÅÆ?ÉÑÏÐÆ2 yèá dÍê¾6¿ÁÜÅÆÅÙ ® î ¢ ?ÕÅ×Ø¿ÁÎ?ÏÐÄÅÆÅÃÅÒ ¿?Â?Þ?ÏÐ×ÅÃÅÊ?Û8ÏÐÎ?ÆØ¿pà½ÀÑÇ?Һȴ X ?½a¸X ®
¿?Â?Þ?ÈÑßÐ×Ø¿ ¿4ôR dÍFô?¿ÁÙ0ÃÅÆ?Ï?É?Ê?×?Ï?È?ÆÅÃ?È?Í?íÐön÷ùþÁÞ
ìîí3¤ùï§&0ÏÐ×?É?¿ÁÜÅÊ( yèá dÍjô?¿?Â#¤?Ò½ÏÁÂ#¤?Û6ôR dÍPôÖÏÐË?ÂØÈ?× ÿà jô?¿ÁÙ0ÃÅÆÅÆÅÇDÈ&Û8È?Ê?Ï?á?ÇlÛ?¿ÁÊ?ÈÑÛ?¿ÁÊ?ÃÅÄ?ÈÑÉ?ÒÅýÝ?Î?Ç?ÄÅÃ?ÉÚÂØÈÈ¿
ÆÅÃÅÜe ¿?ôR dÍ ô ¢ÃÅ×(ÍîíÐö¢¡¢ ÁÞ
ìîí"©ûï4) " çjÒÅ×Ø¿ÐÛ8ÏÐΧójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆ?Ï?Èy×?È?Ù&È?ÆÅÃ?ÈyÛ?¿ÁÊ?×ÅÃÅÄÅÆÅÇ9Ý Ëº×Ø¿ÁÎ?Æ?È?ÆÅÃÅÜe ¿ ôR dÍ 3 y¿Ñ˺ÒÅ¿0 ÐÍîíÐö¢¡5¤?ÞÈ
ìîíÐþûï y×?Ï?ßÐÇ?Ù&È?Î?ÃÅÄ%üý ç à dÍ yÇDÛ6ÆÅÃÅÒ½ÏÐÎ üý ¨ à d͸¾8ÃÅÎ?ÃÅÆ%½P ¢£ e¾?¿?ᮿÑÄÅÃ?Õ?Ï?Î?Ç?ÄÅÃ?ÉÚÂ?ÃÅÊ?ÈÚÂ#¤?Æ?ÏÐÜuÛ?¿ÁÊ?ÈÑÛ?¿ÁÊ?ÃÅÒÅÃe
¿?ôR dÍ 3 y¿?˺ÒÅ¿0 ÐÍ#½?®¿ÁÎ?ÆØ¿Áà ×?ÈÚᮿÁÒÅÌÅÃÅà! ÃÅÀ ¿ XÛ?¿ÁÊù ºÂØÃÅÊ?È?×Ø¿ÁÊ?˺×ÅÇyÍeíÐö¢¡¢
ìîíû÷Ðï®ðý ¨ à 6 FÈÑÛ6ýáØÏÐÎ?ÃÅÄ(ÍØçà ® #ô?¿Á×?ÏÐÆ׸?É?Æ?ÏÐÎ?Ç?Î?Ç?ÄÅÃ?ÉÚÂ?ÃÅÊ?ÈÚÂ#¤?ÆØÏÐÜÖÛ?¿ÁÊ?ÈÑÛ?¿ÁÊ?ÃÅÒÅÃe F¿ ôR dÍ0 y¿Ñ˺ÒÅ¿0 ÐÍîíÐö¥þ¥þ
ìîí"¡û梨£ à X¸?Î?ÄÅÃÅÆÅÆÅÃÅÒºÏÐÎë¿ÅÍDójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈ?Û8È?Ê?Ï?á?Ç? 7óy¿ÐÉ?Ê¥¤7$È 4ójÃ?ÉÚÂØÈ?ÆÅÆÅÇDÈ!Û8È?Ê?ÏÑá?Ç?Û?¿ÁÊ?ÈÑÛ?¿ÁÊ?ÃÅÄ?È?É?Ò½ÏÐÞ?Ï
¿ÁÆØ¿?Â?ÃÅÀ?¿ 9ÿj˺×?É{ÂØÈ?ÒÅÌÅÃÅÜe ¦89&ý ?Í#ú¢ ¢ ¢¡ÁÞÈ
Вычислительные методы линейной алгебры
Рефераты по математике » Вычислительные методы линейной алгебры
Другие работы по теме:
Корреляционный и регрессионный анализ в экономических расчетах
Поиск несмещенных оценок математического ожидания и для дисперсии X и Y. Расчет выборочного коэффициента корреляции, анализ степени тесноты связи между X и Y. Проверка гипотезы о силе линейной связи между X и Y, о значении параметров линейной регрессии.
Методические указания предназначены для студентов очной формы обучения, изучающих основы работы на персональных компьютерах в рамках курса «Информатика» по специальности: 080504.
Методические указания предназначены для студентов очной формы обучения, изучающих основы работы на персональных компьютерах в рамках курса «Информатика» по специальности: 080504. 65 Государственное и муниципальное управление
1. 1 Характеристика линейной части
Реферат Введение 1 Технологическая часть 1.1 Характеристика линейной части 1.2 Характеристика ЛПДС “Пермь” 1.3 Эксплуатация РП 1.4 Расчёт емкости резервуарного парка
ов : Календарь и система счисления майя
Эволюция позиционных систем счисления (вавилоняне, майя, индо-арабская система)
1 семестр (36 ч лекций, 36 ч практических занятий)
Виды учебной работы: аудиторные занятия лекции, практические занятия, самостоятельная работа изучение теоретического курса, домашние задания, индивидуальные задания
Дальтон-план в русской школе/Под ред. Н. С. Степанова и Н. В. Чехова. М.: Брокгауз и Ефрон, 1924. электронный ресурс Дорофеев Н. В.
Научно-методические особенности применения Дальтон-технологии при обучении старшеклассников математике
Магистерской программы по направлению 230100. 68 Фионов А. Н
Днм. 01 федерального компонента образовательной программы подготовки магистра по направлению 230100 — Информатика и вычислительная техника
работа
Челябинский институт путей сообщения – филиал государственного образовательного учреждения
Буль Boole Джордж
Буль (Boole) Джордж (2 ноября 1815, Линкольн, Великобритания - 8 декабря 1864, Баллинтемпль, Ирландия), английский математик и логик, один из основоположников математической логики. Разработал алгебру логики (булеву алгебру) ("Исследование законов мышления", 1854), основу функционирования цифровых компьютеров.
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
Векторная алгебра
Свойства и уравнения векторной алгебры.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Математическая экономика
Понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическими приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.
Булевы Функции Функциональная полнота
В алгебре булевых функций P2=<P2;S> S – Операцией является подстановка функции в функцию, суперпозиция. Порождающее множество алгебры P2, принято называть полной системой булевых функций.
Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры Бобров А.В. г. Москва Контактный телефон – 8 (495)193-42-34 bobrov-baltika@mail В теореме Ферма утверждается, что равенство
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.
Линейное программирование является составной частью раздела математики, который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных и называется математическим программированием. В классическом математическом анализе рассматривается задача отыскания условного экстремума функции.
Некоторые примеры некоммутативных алгебр
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет»
Решение отдельных видов уравнений n-й степени n2
Text Graphics
Проверка однофакторной линейной регрессии на адекватность
Лабораторная работа № 3 Тема : проверка однофакторной линейной регрессии на адекватность. Цель лабораторной работы: Должны быть приобретены следующие умения:
Метод вращений решения СЛАУ
Математические модели явлений или процессов. Сходимость метода простой итерации. Апостериорная оценка погрешности. Метод вращений линейных систем. Контроль точности и приближенного решения в рамках прямого метода. Метод релаксации и метод Гаусса.
Разработка алгоритма точного решения системы линейных уравнений методом Гаусса
АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ----------------------------------- Факультет информатика Кафедра математики и информатики КУРСОВАЯ РАБОТА
Исследования и теории Габриеля Крамера
Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.
Интерполирование и приближение функций
Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
Стихотворение Книги-наши друзья
Стихотворение "Книги-наши друзья" Автор: Сочинения на свободную тему Все задают себе вопрос, Кто просто шутит, кто всерьез: “Зачем нам книги на Земле?
Метод наложения
Принцип наложения. Основным свойством линейной электрической цепи является принцип наложения (принцип суперпозиции): реакция линейной электрической цепи на совокупность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той же цепи каждым из воздействий в отдельности. На этом принципе основан метод расчёта сложных цепей – метод наложения.
Крамер, Габриэль
Габриэ́ль Кра́мер (нем. Gabriel Cramer, 31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.
Изучение методов адресации информации и обработки адресов
Цель работы. Изучение основных методов адресации информации и обработки адресов. Введение Для выполнения операций, указанных в программме , процес-
Программирование алгоритмов линейной структуры
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 по дисциплине ИНФОРМАТИКА Тема: «Программирование алгоритмов линейной структуры»
Классы вычислительных машин
Здесь выделяют аналоговые (непрерывного действия); цифровые (дискретного действия); гибридные (на отдельных этапах обработки используются различные способы физического представления данных).
Циклические вычислительные процессы
Отчет по лабораторной работе №1. Тема: «Циклические вычислительные процессы». Дисциплина: «Языки программирования и методы трансляции». Цель: Ознакомление с методами работы организации циклических вычислений при использовании языка программирования С.
Подготовка электронных документов в MS Word
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА Контрольная работа Подготовка электронных документов в MS Word”
ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012 кодификатор PDF
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения
Фазовые модели песчаных отложений Беларуси
Фазовые модели грунтов естественной структуры, распространенных на Беларуси (пески, супеси, суглинки, глины и торфа), являются комбинированными.
Буль (Boole), Джордж
Его работы «Трактат о дифференциальных уравнениях» (1859г.) и «Трактат о вычислении предельных разностей» (1860г.) оказали колоссальное влияние на развитие математики. В них нашли свое отражение наиболее важные открытия Буля.