.
С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук
Впервые нормальный закон был обнаружен в Х1Х веке в применении к теории ошибок измерения Лапласом и Гаусcом. Сейчас, после доказанной Ляпуповым центральной предельной теоремы, стало уже ясным, почему этот нормальный закон широко распространен в технике, биологии, социологии, психологии и многих других сферах человеческих знаний. Все его содержание показано на рисунке 1, на графике плотности распределения вероятностей.
Рис.1
Рис.1 Плотность распределения вероятностей нормального закона
1,2 - графики с одним средним m и разными стандартными отклонениями s , причем s 1<s 2
3 - график при m =0, s =1 для Z - закона и примерным распределением площадей под кривой.
Под аргументом x здесь можно понимать самые различные числовые величины, не поддающиеся предсказанию до проведения эксперимента: рост, вес, число ошибок при тестировании, умственное развитие, склонность к правонарушениям и любые другие, возникающие как результат сложения многих независимых (или слабо зависимых) и сравнимых по порядку своего влияния случайных воздействий. Функция f(x) показывает следующую важнейшую информацию: вероятность числовой величине х принять значение больше числа а и меньше числа в равна площади под кривой f(x) на отрезке [ a,b] (рис.1). Разумеется, это касается любых a и b, близких между собой или далеких, расположенных в любом месте прямой х. Кроме того, площадь под всей кривой f(x) равна 1, т.е. вероятность для х попасть на прямую равна 1, и это событие достоверное (это свойство еще называется условием нормировки).
У нормального закона два параметра, полностью его определяющих: числа m и s . Число m есть средняя величина для интересующих нас числовых показателей: средний рост, средний вес и т.п. Меняя m , можно т совершать параллельный перенос кривой f(x) вдоль оси х. Видно также, что наиболее вероятно появление числа х в эксперименте вблизи m : площадь под f(x)на любом отрезке, содержащем m, самая большая.
Число s есть среднее отклонение числового показателя х от числа m: чем меньше s , тем “круче” становится “холм” f(x) (рис.1) и тем меньше вероятность для х сильно отличаться от m. Наоборот, при больших s “холм” f(x) растекается по “равнине” и с почти равной вероятностью х может появиться как вблизи m , так и сколь угодно далеко от m.
Если числовой показатель х пересчитать в число Z по следующему правилу:
то все “холмы” f(x) превратятся в кривую 3 закона Z Гаусса на рис.1. Тогда все точки ± 1 для Z соответствует точкам m± s для х, а точки ± 3 для Z - точкам m± 3s для х. По распределению площадей под кривой 3 видно, что на отрезке [ -3,3] сосредоточено примерно 99,7% всей площади под кривой f(x). Отсюда вытекает так называемое правило “трех s “ для закона Z: с вероятностью р=0,997 случайная величина х отклоняется от то все “холмы” f(x) превратятся в кривую 3 закона Z на рис.1. Тогда все точки ± 1 средней m (влево или вправо) не более чем на 3s .
Теперь настал момент объяснить, почему так много внимания уделяется “холму” f(x) на рис.1. В теории вероятностей доказана теорема, совершенно справедливо названная центральной предельной теоремой. В грубых чертах, сумма большого числа (практически более 7 - 10) независимых случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы, подчиняется нормальному закону. Например, рост человека, на который оказывают влияние очень много факторов, среди которых в массе нет доминирующих по своему влиянию.
С начала ХХ века оказался очень полезным введенный Пирсоном закон c 2 (рис.2): в страховом деле, в выяснении торгового спроса или популярности политиков и т.п.
Рис.2. Плотность распределения вероятностей законаc 2, с n степенями свободы.
Под аргументом х здесь понимается сумма n независимых слагаемых в квадрате, каждое из которых подчиняется нормальному Z- закону с m =0 и s =1. Ясно, что при больших n (практически при n >30) закон c 2 превращается в нормальный закон с m = n и s =, поскольку действует теорема Ляпунова. Но чаще всего слагаемых не более 10. Число n называеся числом степеней свободы. Смысл f(x) такой же, как и в нормальном законе: вероятность числовой величине х=c 2 попасть в заданный диапазон равна площади под кривой f(x). Так, площадь под кривой на отрезке от 0 до n + составляет более 90% всей площади под всей кривой f(x). Отсюда следут правило “трех s “ для закона c 2: с вероятностью рі 0,9 случайная величина х=c 2 не превосходит величины n +Ц 2n (очевидно, c 2 не может быть отрицательным).
Наконец, необходимо упомянуть закон t Стьюдента, полученный из нормального закона и законаc 2. Случайная величина t получается из дроби в числителе которой стоит случайная величина Z Гаусса с m=0 и s =1, а в знаменателе - случайная величина c 2 с n степенями свободы. По -прежнему при больших n закон Стьюдента переходит в нормальный закон (практически при n і 30). Но даже при небольших n вид кривой плотности распределения вероятностей для t очень похож на кривую 3 рис.1. Разница в том, что вместо s =1 для Z необходимо брать s =n /(n -2), т.е.среднее отклонение t от m=0 больше, чем среднее отклонение Z от m=0. Соответственно “холм” закона t более пологий, чем “холм” закона Z.
Другие работы по теме:
Основные формулы
Электростатика. - закон Кулона. - напряженность электрического поля - принцип суперпозиции полей. - поток через площадку S. - теорема Гаусса. - теорема о циркуляции.
Расчеты электростатического поля
Описание теоремы Гаусса как альтернативной формулировки закона Кулона. Расчеты электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме и вычисление напряженности поля вокруг заряженного тела согласно данных условий. Сравнительный анализ решений.
Методы обработки статистических данных
Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы” ОБРАБОТКА ДАННЫХ Учебная программа для специальности: 1-03 03 08-02 Олигофренопедагогика. Логопедия.
Математические методы в психологии 3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ Голубев А.М. Выписка из образовательного стандарта по дисциплине «Математические методы в психологии» Измерение в психологии; типы шкал; представление данных; описательная статистика; меры связи; метрика; методы одномерной и многомерной прикладной статистики; многомерное шкалирование; многомерный анализ данных (факторный, кластерный); дисперсионный анализ; анализ данных на компьютере, статистические пакеты; приближенные вычисления; возможности и ограничения конкретных компьютерных методов обработки данных; стандарты обработки данных; нормативы представления результатов анализа данных в научной психологии; методы математического моделирования; модели индивидуального и группового поведения, моделирование когнитивных процессов и структур, проблема искусственного интеллекта
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
Математическая статистика
Основные понятия: статистическая модель, выборка, выборочные характеристики, статистики, функция правдоподобия.
Шпаргалка по Теории Вероятности
1) свойство вероятности: 20 стр. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Для любого события , т.к.
Кто придумал t-критерий Стьюдента (Student)?
Это распределение вероятностей, связанное с нормальным распределением. Возникает оно, когда требуется оценить среднее статистической выборки, когда размер выборки, используемой для оценки, мал и дисперсии неизвестны.
Решение задачи линейного программирования
Рассмотрим задачу линейного программирования Теорема . Если множество планов задачи (1) не пусто и целевая функция сверху ограничена на этом множестве, то задача (1) имеет решение.
Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Законы больших чисел
Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
Теория вероятностей
Основы комбинаторики. Комбинаторика это раздел математики в котором изучается вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечного числа различных элементов.
Первичная статистическая обработка информации
400 45 431 394 362 436 343 403 483 462 395 467 420 411 391 397 455 412 363 449 439 411 468 435 313 486 463 417 369 377 409 390 389 386 409 379 412 370 391 421 459 390 415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
Математический анализ. Регрессия
y=a уравнение регрессии. Таблица 1 1.35 1.09 6.46 3.15 5.80 7.20 8.07 8.12 8.97 10.66 Оценка значимости коэффициентов регрессии. Выдвигается и проверяется гипотеза о том что истинное значение коэффициента регрессии=0.
Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Теория вероятности
Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
Математическое моделирование
Математическое моделирование экономических параметров: определение вида и параметров функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.
Предельные теоремы. Характеристические функции
Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.
Прогнозирование функций по методу наименьших квадратов
Исследование точности прогнозирования случайного процесса с использованием метода наименьших квадратов. Анализ расхождения между трендом и прогнозом, последующая оценка близости распределения расхождений наблюдений и распределения сгенерированного шума.
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
Геометрическое и гипергеометрическое распределение
Геометрическое распределение. Определение. Дискретная случайная величина Х=т имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1,2,..., т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями
Вероятностные распределения
Нормальное распределение плотность нормального распределения записывается так: где а и ?2 — параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия данной случайной величины (ввиду особой роли нормального распределения мы будем использовать специальную символику для обозначения его функции плотности и функции распределения).
Адамар Жак
В теории чисел Адамар доказал асимптотический закон распределения простых чисел (высказанный П. Л. Чебышевым). В теории дифференциальных уравнений занимался задачей О. Коши для гиперболических уравнений.