Пусть ¦
(
x)
, g(x) , xÎ
R1 –суммируемые на [
-p
, p
]
, 2p
- периодические, комплекснозначные функции. Через f*
g(x) будем обозначать свертку
f* g(x) =dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [
-p
,p
]
и
cn ( f*
g ) = cn ( f )×
cn ( g ) , n = 0, ±
1 , ±
2 , ... ( 1 )
где {
cn ( f )}
-- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn = -i n tdt , n = 0, ±
1
,
±
2
,
¼
Пусть ¦
Î
L1 (-p
,
p
) . Рассмотрим при 0
£
r <
1
функцию
¦
r ( x ) = n ( f ) r|
n |
ei n x , x Î
[
-
p
,
p
]
, ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0
£
r <
1
. Коэффициенты Фурье функции ¦
r (
х)
равны
cn ( fr ) = cn ×
r| n
| , n = 0 , ±
1 ,
± 2 ,
¼
, а это согласно (1) значит, что ¦ r (
x ) можно представить в виде свертки :
¦
r ( x ) = , ( 3 )
где
, t Î
[
-
p
,
p
]
.
( 4 )
Функция двух переменных Рr (t) , 0 £
r
<
1
, t Î
[
-
p
,
p
]
, называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .
Следовательно,
Pr ( t ) = , 0
£
r <
1
, t Î
[
-
p
,
p
]
. ( 5 )
Если ¦
Î
L1
( -p
,
p
) -
действительная функция , то , учитывая , что
c-n ( f ) = `
cn( f ) , n = 0,
±
1
,
±
2
,
¼
,
из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) =
= , ( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )
аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦
Î
L1( -p
, p
) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦
r (eix ) , z = reix , 0 £
r <
1 , x Î
[ -p
, p
] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге |
z |
<
1
+
e
(
e
>
0
)
функция и ¦
(x) = u (eix) , xÎ
[
-
p
, p
]
. Тогда
u (z) = ( z = reix , |
z |
<
1
) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
=, |
z |
<
1
+ e
.
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦
r (x) при r®
1
, отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого d
>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно
положить в (2) и (3) ¦ (
х) º 1
.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции (
-p , p ) , 1
£ p < ¥ ,
имеет место равенство
;
если же ¦
(x) непрерывна на [ -p
, p
] и ¦
(-p
) = ¦
(p
) , то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
.
Следовательно,
.
Для данного e
>
0
найдем d
= d
(e
) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция
где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и
, ( 13 )
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К - абсолютная константа).
Пусть - такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно (13) при xÎ
(-2p
,
2
p
)
Учитывая , что по теореме 1 для каждого xÎ
[-p
,
p
] и (14)
Из последней оценки получим
при n®
¥
.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ
[-p
,
p
] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.
Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности
на отрезок [ -
2p , 2p
] (т.е. f (x) = f (y) , если x,y Î
[-2p ,2p
] и x-y=2p ) и f (x) = 0 , если
| x|
> 2 p
.
Другие работы по теме:
Применение криволинейных интегралов в физике
екция 10.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму
Теория вероятности и математическая статистика
Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
Математический обзор
Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
Нахождение площади живого сечения траншеи
1. Формулировка проблемы. Сечение траншеи имеет форму близкую к сегменту параболы, ширина траншеи на её поверхности l метров наибольшая глубина H метров . найти площадь «живого сечения» траншеи , если она полностью заполнена водой.
Решение дифференциальных уравнений
Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
Интеграл Пуассона
Пусть –суммируемые на - периодические, комплекснозначные функции. Через
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Дискретная теория поля
Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Вычисление емкости
Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки).
Расчет поляризованности и плотности связанного заряда
Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала.
Интеграл Пуассона
Пусть x , g(x) , xR1 –суммируемые на -, , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку
Криволинейный интеграл первого и второго рода
Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.
Вычисление определённых интегралов
Министерство Образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра вычислительной и прикладной математики.