Матрицы
Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами.
Матрица m Ч n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
Пример матрицы 4Ч3 :
| a1,1 | a1,2 | a1,3 |
| a2,1 | a2,2 | a2,3 |
| a3,1 | a3,2 | a3,3 |
| a4,1 | a4,2 | a4,3 |
Определитель матрицы
Определитель матрицы A (обозначается как det A) это число, которое ставится в соответствие матрице A по определенному правилу.
Определитель существует (определен) только для квадратной матрицы.
Определителем квадратной матрицы A порядка n называется число:
| det(A)= | 
| = | 
|
где M1,j - определитель квадратной матрицы порядка n -1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j -го столбца, называемый минором элемента a1,j.
Выражение
| det A = |
|
называется формулой вычисления определителя разложением по первой строке.
Число (-1) j+1 M1,j называется алгебраическим дополнением элемента a1,j.
Если вас пугает это формула, то она значит следующее:
Определитель вычисляется как сумма n слагаемых, где n - порядок матрицы.
Знак, с которым каждое слагаемое входит в сумму, определяется как (-1)1+k.
Каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел: элемента первой строки матрицы на минор - определитель матрицы, получаемой из исходной путем вычеркивания 1 строки и j столбца.
Обратите внимание, что порядок минора на 1 меньше, чем у исходной матрицы!!!
Умножение матриц
Произведением матриц A размером m Ч n и матрицы B размера n Ч k называется матрица размера m Ч k, элементы которой определяются формулой
| ci,j = | n | a i,q · b q,j |
| ∑ |
| q=1 |
i=1, ... , m
j=1, ..., k
Произведение матриц записывается как C=A·B.
Произведение матриц определено, если число столбцов матрицы A равняется числу строк матрицы B!!!!
Для более легкого запоминания формулы умножения матриц существует простое правило: строка на столбец. Берем элементы из строки матрицы А и они умножаются на соответствующие элементы столбца матрицы B. Потом все произведения складываются и мы получаем значение элемента матрицы C.
Координаты элемента в результирующей матрице определяется как номер строки матрицы A и номер столбца матрицы B.
Транспонирование матриц
Транспонирование матрицы - это такая операция над матрицей, когда первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и так далее...
В результате получается транспонированная матрица, обозначаемая как AT.
Обратная матрица
Матрица A-1 - называется обратной к матрице A, если выполняется условие A ·A-1 = A-1·A=E.
Для квадратной матрицы A обратная матрица существует тогда, когда det A ≠ 0.
Обратную матрицу находим следующим образом:
где Ai,j - алгебраические дополнения элементов матрицы A.
Другие работы по теме:
ный архив рунета
На первом этапе глубоко изучаются сильные стороны организации, ее конкурентные преимущества в областях
Выпускная
Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы «Логарифмические уравнения»
: «Фузионизм в преподавании геометрии»
Актуальные проблемы обучения математике (К 150-летию со дня рождения А. П. Киселева). Т. 1: Материалы Всероссийской научно практической конференции. Орел: Изд-во огу, 2002. – 351 с
Матрица McKinsey
Матрица McKinsey Матрица портфельного анализа, в которой по одной оси определяется уровень привлекательности конкретной отрасли для корпорации, а по другой — конкурентоспособность бизнес–единиц этой корпорации на отраслевом рынке.
Матрица БКГ теория
Матрица БКГ Матрица БКГ строится следующим образом. По горизонтальной оси откладывается относительная доля рынка (отношение доли рынка компании к доле рынка компании-лидера). По вертикальной оси откладываются показатели темпов роста рынка, то есть рост потребительского спроса, характеризующий привлекательность рынка.
Дифференциальные уравнения
Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Матрицы графов
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра информатики РЕФЕРАТ На тему: «Матрицы графов» МИНСК, 2008 В теоретико-множественной и геометрической форм определения (задания) графов, часто используется матричная форма их представления. Существуют различные виды матриц графов, однако все они, как правило, полностью передают основные свойства графов.
Линейная алгебра
Обратная матрица. Матрица A-1 - обратная для матрицы A, если AA-1=A-1A=I Для квадратной матрицы A обратная существует тогда и только тогда, когда detA0.
Решение систем линейных уравнений
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Построение матрицы достижимости
Понятие матрицы достижимости и связности. Операция удаления вершины из графа. Алгоритм выделения компонент сильной связности. Разработка и листинг программы на языке Turbo Pascal, осуществляющей вычисление матрицы достижимости по заданному алгоритму.
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
Кривые второго порядка. Квадратичные формы
Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
Обратная матрица
Матричные уравнения. Некоторые свойства определителей.Фундаментальная система решений.
Матрицы
Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
Основы высшей матиматики
Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
Собственные вектора и собственные значения линейного оператора
Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.
Матрицы действия с ними
Контрольная работа на тему: «Матрицы, действия с ними» Историческая справка Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами.
Основы высшей математики
Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.
Квадратные формы
Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Мой любимый предмет - математика сочинение-рассуждение
Автор: Сочинения на свободную тему Я часто думаю, что было бы, если бы мы до сих пор не умели писать и считать. Наверное, жизнь была бы очень скучной и однообразной. Например, я очень люблю головоломки, разные математические задачи. Они помогают мне развиваться, и я всегда радуюсь, когда нахожу правильное решение.
Лабораторная работа №12
Цель работы: Изучение правил описания и вызова подпрограмм: процедур и функций. Получение навыков и овладение приемами работы над подпрограммами. Задание№ 17
Turbo Paskal Операции над матрицами
Государственный Комитет Российской Федерации по Высшему Образованию Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет «ЛЭТИ»
Ададуров Василий Евдокимович
Математик и писатель. В 1727 г. был студентом Академии и обратил на себя внимание математика Бернулли. Занимался также переводом древней истории Байера и статей для академических изданий.
