1. Довести, що . Починаючи з якого n маємо
Виберемо довільне число і покажемо, що існує такий номер N, що для всіх членів послідовності з номерами n > N виконується нерівність
(1)
Для визначення N досить розв’язати нерівність (1) відносно n:
.
Отже, якщо , то нерівність (1) виконується для будь-якого наперед заданого числа . Якщо , то за N беремо цілу частину виразу , тобто N = . А якщо , то за N можна взяти 1 або будь-яке інше натуральне число.
Зокрема, при , N = . Отже, при дістанемо
2. З’ясувати, чи має границю послідовність (xn), якщо:
а) б)
в)
а) Оскільки то послідовність () обмежена. Неважко бачити, що для всіх , тобто () монотонно зростає. Отже, вона має границю.
б) Члени послідовності з парними номерами прямують до 1 при , оскільки . А члени послідовності з непарними номерами прямують до 2 при . Отже, згідно з означенням, послідовність немає границі, тобто є розбіжною.
в) Дана послідовність є добутком нескінченно малої послідовності , оскільки , і обмеженої послідовності , тому що . Тоді за властивістю 2) задана послідовність має границю, що дорівнює 0.
3. Обчислити границі:
а) б)
в) г)
д) ; е)
є)
ж)
а) скористаємось теоремою про границю двох послідовностей. Неважко побачити, що границя першого доданка дорівнює 0, а другий доданок є добутком нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність , тому його границя також дорівнює нулю. Отже, за властивістю 1( задана послідовність є нескінченно малою.
б) У даному випадку чисельник і знаменник мають нескінченні границі, тому користуватись теоремою про границю частки не можна. Перетворимо дріб, поділивши чисельник і знаменник на (найвищий степінь n). Дістанемо
Оскільки маємо , , , , то, застосувавши теорему про границю суми і добутку, помічаємо, що границя чисельника дорівнює 1, а знаменника 3. за теоремою про границю частки маємо
в) Поділимо чисельник на знаменник дробу на , а потім скористаємось теоремою про границю суми і частки. Дістанемо
г) Аналогічно попередньому маємо
Оскільки при , а знаменник є нескінченно малою послідовністю, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто
У прикладах б) - г) порівняйте старші степені чисельників і знаменників заданих дробів і зробіть висновок відносно одержаних відповідей.
д) У даному випадку маємо різницю двох нескінченно великих послідовностей. Позбавимося ірраціональності в чисельнику, вважаючи, що знаменник дорівнює 1, і застосуємо теорему про зв’язок нескінченно малої і нескінченно великої послідовностей. Матимемо.
е) Поділивши чисельник і знаменник виразу, що стоїть в дужках, на n і скориставшись властивістю степеня, дістанемо
Користуючись теоремою про границю добутку, частки і формули (1), маємо
є) Оскільки , то
. Тоді
ж) Маємо границю послідовності комплексних чисел. Обчислимо границі дійсної та уявної частин цієї послідовності. Оскільки
, то
Вправи для самоперевірки
1. Довести, що:
а) б) в)
2. Обчислити і визначити номер N () такий, що при всіх , коли:
а) б)
Відповідь: а) ; б)
3. Зясувати, чи має границю послідовність , якщо:
а) ; б) ;
в)
Відповідь: а) так; б) так; в) ні.
4. Обчислити границі:
1) 2) 3)
4) 5)
6) 7)
8) 9)
10) 11)
12) 13)
14) 15)
16) 17)
18)
Відповідь: 1) -2; 2) 0; 3) ; 4) 5) ; 6) 6; 7) 1; 8) 2;
9) ; 10) 3; 11) ; 12) 0; 13) ; 14) ; 15) ;
16) ; 17) ; 18) .
5. Обчислити суму всіх членів спадної геометричної прогресії 1,
Відповідь: S=3.
1. Знайти
Використовуючи теорему про границю добутку маємо:
Оскільки
аналогічно
Відповідь: - 9.
2. Знайти
.
3. Знайти
Завдання для перевірки знань
1. Довести, що при послідовність 3, має границею число 2.
2. Довести, що при послідовність має границею число 1,5.
Другие работы по теме:
Форми навчання фізичної культури
Форми навчальної роботи з фізичної культури Термін “фізична культура” має декілька значень. Під ним розуміють “втілення в самому чоловікові, результати використання матеріальних і духовних цінностей, які відносяться до фізичної культури в широкому розумінні, так як засвоєні людиною фізкультурні знання, уміння, навички, які досягнуті на основі використаних засобів фізичного виховання показники розвитку .
Електромагнітна сумісність
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра ЕПМ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА З «ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ СУМІСНОСТІ»
Теорема Гауса
Реферат на тему: “ Теорема Гауса” Цілі: Засвоєння та закріплення загальних відомостей про статичні електричні поля. Навчити розв’язувати задачі за допомогою використання теореми Гауса. Виховувати старанність, працелюбність.
Розрахунок показників електричного кола
РОЗРАХУНОК ЛIНIЙН ЕЛЕКТРИЧН КОЛА СИМВОЛІЧНИМ МЕТОД В РЕЖИМІ СИНУСОЇДАЛЬНОГО СТРУМУ Змiст i порядок виконання завдання Задано схему електричного кола Рис. 1
Електромагнітна сумісність
Імітація базового графіка завади та його статистична обробка. Перевірка можливості апроксимації статистичної (опитної) функції розподілу теоретичними імовірнісними розподілами. Перевірка дотримання норм стандарту на однохвилинні відхилення напруги.
Характеристика твердого стану речовини
Заняття № Тема: Характеристика твердого стану речовини. Питання: Характеристика твердого стану речовини. Кристалічні та аморфні речовини. Анізотропія кристалів. Кристалічні решітки та їх дефекти. Види кристалічних структур.
Зозуля та Косик
Автор: Сковорода Григорій. Зозул спитала чорного Дроздика, чому він не нудьгує співаючи. Сама вона співає навіть частіше за нього, але це не позбавляє її від нудьги.
Формування здорового способу життя в режимі дня школяра
РЕФЕРАТ Принцип оздоровчої спрямованості фізичної культури полягає в організації фізичного виховання і зокрема занять фізичними вправами, таким чином, щоб вони сприяли профілактиці захворювань учнів зміцненню їх здоров’ю. В ході фізичного виховання слід забезпечити таке поєднання роз’яснювальної, виховної роботи і різних форм практичних занять фізичними вправами, при якому фізична культура ста усвідомленим обов’язковим компонентом режиму дня школяра.
День святого Валентина 2
Реферат з педагогіки Урок «День святого Валентина» Мета: виховувати інтерес до минулого, повагу до справжніх почуттів, уміння вирізняти своє єдине, половинку, любов до літератури, поезії.
1998-10-27 - Освiта в США Теорiя дидактики
База лекций и рефератов института КИМО www.kimo.non Система освіти в США Основний принцип – децентралізація. Безпосередній контроль на території штатів виконують Boards of Education. В 19 ст. с США сформувалася наступна система середніх освітніх навчальних закладів:
Стискання та архівування даних
Вміння та навички роботи з об’єктами файлової системи. Перевірка вміння учнів працювати з об’єктами файлової системи. Шкідливі комп’ютерні програми за рівнем небезпечності дій. Зменшення об'єму інформації – поняття про архівування та стиснення даних.
Реклама в житті людини
КОНСПЕКТ ЗАНЯТТЯ З МОВЛЕННЄВОГО СПІЛКУВАННЯ РЕКЛАМА В ЖИТТІ ЛЮДИНИ” (старша група) Програмований зміст: уточнити знання дітей про рекламу, її призначення. Дати уявлення про те, що над її створенням працюють фахівці кількох професій. Вчити будувати складнопідрядні речення з підрядними причини, вижати сполучники бо, тому що, через те що.
Алфавіт Голосні Дифтонги
Методрозробка практичного заняття з латинської мови І. Тема практичного заняття. а) Граматична тема: Алфавіт. Голосні. Дифтонги. б) Лексична тема: Вивчення лексичного мінімуму.
МКТ газів
Заняття№ Тема МКТ газів. Питання: Ідеальний газ. Основне рівняння МКТ газів. Залежність тиску газів від температури при постійному об’ємі. Абсолютний нуль. Термодинамічна шкала температур.
Структура курсу Біологія
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ. КИЇВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Коломийський економіко – правовий коледж Затверджую Директор Коломийського
Моніторинг інвестиційного процесу
Вид заняття : лекція Мета заняття : навчити студентів що таке моніторинг, які є види моніторингу та як вони застосовуються на діючих підприємствах, а також як здійснюють моніторинг державні будівництва.
Гепатити
Коломийське медичне училище ім. І.Я.Франка Методична розробка теоретичного заняття з внутрішніх захворювань на тему: “ГЕПАТИТИ” м.Коломия 2001 р.
Захист навколишнього середовища Інтегроване заняття
Захист навколишнього середовища Інтегроване заняття Тема. Хімічна промисловість і охорона довкілля. Мета: сформувати знання про сучасний стан навколишнього середовища та вплив діяльності людини на живу і неживу природу; виховувати дбайливе ставлення до навколишньою середовища, почуття відповідальності за діяльність людства та вплив антропогенного фактора на живу і неживу природу; розвивати вміння дискутувати, вільно висловлювати
Системний підхід до складання логічної структури теми
Приступивши до складання тематичних планів викладач стикається з проблемою побудови навчального матеріалу таким чином, щоб із хаотичних уявлень про предмет в студента створилась певна система знань. Виходячи із цих міркувань, інформація підлягає структуруванню в тому числі при розробці плана-конспекта лекцій чи тактичного заняття, алгоритму семінару, чи опорної схеми.
Планування позаурочної роботи
Робота з фізичного виховання школярів виконується всім педагогічним колективом із залученням медперсоналу, громадських організацій і батьків. Загальне керівництво здійснюється адміністрацією, а практичне — учителем фізичної культури. У цій ситуації успіху можна досягти лише за умови чіткого і конкретного планування.
Фізичні вправи для вагітних
Вагітність .... Скільки важливості, ніжності й терпеливості міститься в цьому слові. Під час вагітності слід не тільки дотримуватися режиму їжі, дня, слідкувати за гігієною тіла, але і велику роль слід приділяти фізичному вихованню під час вагітності. Тому, що важливе значення під час родів відіграють м'язи матки і живота.
Виникнення парашуту Історія його вдосконалення
Волинські Реферати Всі права збережено Referats@360 www.referaty Вища школа і просування до науки. Участь студента в дослідженні - одне з найбільш ефективних методів для навчання високо - кваліфікованих фахівців здібних до прийняття участі у швидко розвивається науковій і технологічній революції.
Пам ять Правила запам ятовування
ВИХОВНЕ ЗАНЯТТЯ ДЛЯ УЧНІВ 7 КЛАСУ Тема. Пам’ять. Правила запам’ятовування. Мета. Дата елементарне уявлення про пам’ять як один із психічних процесів, ознайомити з природою пам’яті та її видами, розвивати увагу, мислення. Формувати вміння запам’ятовувати матеріал.
Особиста гігієна студента-фізкультурника
Реферат на тему: Особиста гігієна студента-фізкультурника” Як часто, побачивши поблизу обличчя спортсмена, а особливо спортсменки високого рівня, ми оцінюємо їхній вік на 5-10 років старше, ніж насправді. Здавався б - парадокс. Адже функціональна готовність їхнього організму набагато вище, ніж у їхніх ровесників.
Гігієна вагітної жінки
Реферат на тему: Гігієна вагітної жінки” ПЛАН 1. Загальні засади гігієни вагітних 2. Гігієна одягу вагітних 3. Гігієнічна гімнастика вагітних 4. Використана література
Множини 3
Практичні заняття Множини Paskal дозволяє оперувати трьома множинами, як трьома типами даних. Для визначення типу множина використовується вираз:
Рівні і форми контролю якості викладання
Реферат на тему: РІВНІ І ФОРМИ КОНТРОЛЮ ЯКОСТІ ВИКЛАДАННЯ. Ті,у кого ми вчимося, правильно називаються нашими вчителями, але не всякий, хто вчить нас, заслуговує це ім'я.
Землезнавство
Хімічний склад грунту і його практичне значення. Генетико-морфологічна будова і властивості дерново-підзолитистих грунтів Українського Полісся.