Гайсин М. А.
Математическая проблема континуума
Проблему континуума математики относят к числу главных проблем. Итак, проблемой континуума является вопрос существования промежуточной мощности между счетной мощностью и мощностью континуума. Континуум-гипотеза утверждает, что такой мощности нет. Математики доказали, что как существование такого множества, так и ее отсутствие не противоречат остальным аксиомам теории множеств. Тем самым пришли к выводу, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Автор же данной статьи, при решении проблемы, исходил из того, что если бы решение проблемы было в аксиоматике теории множеств, то она давно была бы решена. Поэтому автор направил свои усилия на анализ исходных принципов.
Анализ проблемы.
При анализе исходных принципов, автор пришел к выводу, что в действительности, проблемой континуума является само понимании континуума в математике.
Итак, первая концепция континуума была представлена в виде неделимых моментов - мигов времени и неделимых точек пространства. Проблема континуума была поставлена Зеноном, выявившим парадоксы в этой концепции. Рассмотрим один из этих парадоксов, например третий. Зенон в парадоксе “Стрела” доказывает, что летящая стрела покоится. Здесь он исходит из понимания времени как суммы неделимых моментов “теперь”, а пространства как суммы неделимых точек. Зенон считал, что в каждый момент времени стрела занимает место, равное своему объему, а значит, движение можно мыслить лишь как сумму “продвинутостей” – состояний покоя, так как при действительном движении предмет должен занимать место большее, чем он сам. Таким образом Зенон доказал, что атомистический континуум не позволяет движению ни существовать, ни быть мыслимым.
Аристотель, создавая свою физику, был вынужден доказать возможность мыслить движение без противоречий, т.е. решить парадоксы Зенона. Аристотель сделал это, углубив понимание природы континуума, вводом понятия непрерывности. По Аристотелю, непрерывность - это когда у соприкасающихся друг к другу элементов, граница соприкосновения принадлежит как одному, так и другому соприкасающемуся элементу. Смежность же, это когда соприкасающиеся друг к другу элементы сохраняют свои границы. По Аристотелю, непрерывными могут быть части пространства, времени и движения. И непрерывное это то, что делится на части, всегда делимые. То есть, непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель разрешил парадоксы, которые возникли в физике, при допущении атомарности пространства и времени, показав возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму “продвинутостей”. Автора данной статьи, восхитила глубина мысли Аристотеля, которая до сих пор полностью не осознана, и считает, что теория континуума Аристотеля, является фундаментом не только физики, но и математики, так как принцип непрерывности дана Аристотелем с соблюдением строгой математической логики.
Решение проблемы.
А как же обстоят дела с пониманием природы континуума в современной математике? Посмотрим это на примере решения математической проблемы континуума. Математическая проблема континуума задана в категории актуальной бесконечности. Натуральный ряд в современной математике определяется как множество всех натуральных чисел. Это определение противоречит природе натурального ряда. Натуральный ряд является примером потенциально бесконечного множества по определению. Беспредельно возрастающий ряд натуральных чисел, который, сколько бы его не увеличивали, остается конечной величиной. А в категории потенциальной бесконечности мы не имеем права говорить о Натуральном ряде как о совокупности всех натуральных чисел, или как о бесконечном счетном множестве.
Разберем теперь, что такое мощность всех действительных чисел так называемая континуальная мощность. Континуум в категории актуальной бесконечности определяется как бесконечное множество всех действительных чисел представленной в виде числовой прямой. Рассмотрим эту числовую прямую с учетом принципа непрерывности. Согласно принципу непрерывности – числовая прямая не может быть представлена в виде актуального бесконечного множества. Поэтому аналогом множества мощности континуума будет понятие возможности неограниченного деления числовой прямой в выбранной системе исчисления. А это понятие определено в категории потенциальной бесконечности.
Итак, понятие натурального ряда и понятие неограниченного деления числовой прямой в категории потенциальной бесконечности преобразуются в одно понятии - в понятие числа. Возможность неограниченного счета с возможностью неограниченного деления в выбранной системе исчисления для определения численных значений объектов математики сколь угодно больших со сколь угодной точностью – есть определение числа в категории потенциальной бесконечности.
Отсюда видим, что вопрос о существование промежуточного множества определенного в актуальной бесконечности в категории потенциальной бесконечности теряет смысл. Но возникает вопрос, почему трансцендентные и иррациональные числа, определенные в категории актуальной бесконечности в категории потенциальной бесконечности не имеют места? Они, и действительно, в категории потенциальной бесконечности не являются числами, а являются объектами математики, которые могут быть вычислены с любой точностью. Так как в категории потенциальной бесконечности числа по определению конструктивны. И число, вне числовой конструкции, появиться не может.
А отрицательные числа? Индийцы ввели понятие отрицательного числа. Отрицательное число трактовалось ими, как коммерческий долг. На языке логики это отложенное на время вычитание денег у должника. В Индии был введен особый знак для нуля. Словесное обозначение нуля у индийцев “шунья” переводится как “пустое”.
Современное понятие отрицательного числа и нуля входит в противоречии с их первичным пониманием. Нуль, с точки зрения изначального понимания, это пусто. Тогда непонятно какой счет может идти после “пусто”. В первичном понимании отрицательного числа, его и нет, так как отрицательное число являлось обычным числом со знаком вычитания. Поэтому в современную математику надо ввести уточнение, что операции сложения и вычитания записывается не только в бинарном виде, но и в унарном. Это явно видно на элементарном примере: 0-1=-1. Нереализованная бинарная операция вычитания переходит в унарный вид записи, то есть в вид записи ожидания. И при дальнейшем использование этого числа в расчетах реализуется как обычная операция вычитания.
Автор делает вывод: что нет отрицательных чисел в современном понимании, а есть математика, в которую заложено, что числа при расчетах определены относительно операций сложения и вычитания.
Вывод: Решение математической проблемы континуума акцентировала внимание на более глобальной проблеме - необходимости ввода в числовую математику принципа непрерывности, которая уже более чем давно определена в философии (физике). Тем более, что природа едина, и не могут принципы философии и принципы математики по одной и той же проблеме противоречить друг другу.
Список литературы
П. П. Гайденко. "Понятие времени и проблема континуума"
Другие работы по теме:
Интерпретационный потенциал номинативной модели
Формирование концептуальной области номинативного континуума, соответствующего языковой картине мира, обусловлено необходимостью использовать определенную информацию в коммуникативном акте.
Циклический характер развития экономики
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уфимский государственный авиационный технический университет
Два вида науки о мышлении
Искусственная жизнь - замечательная и быстро развивающаяся область научного знания, которая может совершить переворот в науке о мышлении.
Что такое аритмология?
Каковы истоки понятия аритмология? В другой транскрипции оно также читается как арифмология. Поэтому в буквальном смысле слова аритмология – это арифметическое или числовое учение о Бытии и Сущем.
Механика сплошной среды
Закон распределения компонент тензора истинных напряжений в эйлеровых координатах. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии. Расчет главного момента поверхностных и массовых сил. Поле ускорений в эйлеровых координатах.
Механика сплошной среды
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности Материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент t объем пространства V, выражается интегралом
Обобщенный принцип наименьшего действия
Хорошо известный в физике принцип наименьшего действия основан на классическом вариационном исчислении, когда функционал зависит от экстремали и ее производных, применим только для нейтральных частиц.
Эволюция представлений о времени
Отслеживание хода (астрономического) времени было едва ли не основным делом не только интеллектуалов, но и всего племени. Естественно, что время представлялось цикличным.
Среда обитания вещества в Природе
Свет всегда распространяется в пустом пространстве с ограниченной скоростью, которая не зависит от состояния движения излучающего тела. Все сказано предельно научным образом, претендующим на глубокий физический смысл.
Типы связей в природе
Современная физика (XX в) признает разнокачественность связей в природе и доказала ее значение в опытах по взаимному превращению электрона и фотона. Однако, сущность этой разнокачественности физика не установила до сих пор.
Принципы организации производственного процесса
В целях рациональной организации производственного процесса необходимо соблюдение ряда принципов, т.е. тех исходных положений, на основе которых осуществляются построение, функционирование и развитие производства.
Функция планирования
Планирование - это систематическая подготовка принятия решений о целях, средствах и действиях путем целенаправленной сравнительной оценки различных альтернативных действий в ожидаемых условиях.
Пределы
Основные понятия и формулы.
Множества и операции над ними
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ТАВРИЧЕСКОЕ ПРДСТАВИТЕЛЬСТВО ОТКРЫТОГО МЕЖДУНАРОДНОГО УНИВЕРСИТЕТА РАЗВИТИЯ ЧЕЛОВЕКА (УКРАИНА) Реферат
Методы оптимизации при решении уравнений
Контрольная работа «Методы оптимизации при решении уравнений Задание №1 Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
Предельные точки
Определения понятия множество. Предельная точка множества, предел функции в точке. Эквивалентные, счетные и несчетные множества. Замкнутые и открытые множества. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве.
Пределы
Предел. Число А наз-ся пределом последоват-ти X если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, , такое что при всех n>N будет выполн-ся нер-во |X
Предельные точки
Федеральное агентство по образованию Кафедра общей математики Курсовая работа по математическому анализу на тему: «Предельные точки» 2008 Содержание:
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
Универсальный календарь
Введение 1 Основная теория изменения григорианского календаря 2 Недостатки григорианского календаря 3 Проекты, нарушающие непрерывность счета дней семидневной недели
Война годов Дзинсин
Война годов Дзинсин , или Смута Дзинсин (яп. 壬申の乱 дзинсин но ран?, «смута года водяной обезьяны») — вооружённый конфликт за Императорский престол в древней Японии в 672 году между старшим сыном покойного Императора Тэндзи, принцем Отомо, и его младшим братом, принцем Оама.
Русификация политика
Русификация — комплекс политических мер, направленных на обрусение жителей какой-либо территории, и сам процесс такового обрусения, как в языковом, так и в культурно-религиозном плане. Как целенаправленная языковая политика, русификация получила распространение в XIX веке, как одно из средств сплочения народов российской империи, а затем и СССР в единую нацию.
Классификация тюркских языков
План Введение 1 Основные принципы разделения 1.1 Проблемы 2 Известные варианты классификаций 2.1 Классификация Махмуда Кашгари 2.2 Новейшие классификации
Марксистско-ленинская философия
Марксистско-ленинская философия (МЛФ) — философское учение, развившее и последовательно проводящее материалистический принцип в понимании объективного мира и мышления, дополнив его диалектическим воззрением. Построившее, по словам В. Ленина[1], диалектическую логику как «учение не о внешних формах мышления, а о законах развития „всех материальных, природных и духовных вещей“, то есть развития всего конкретного содержания мира и познания его, то есть итог, сумма, вывод истории познания мира».
Современные взгляды на время
Развитие материи, согласно представлениям современной философской мысли, приводит к возникновению новых видов этой самой материи, а также к появлению новых свойств, новых форм существования материи.
Принципы гражданского судопроизводства
Место судебного разбирательства в гражданском процессе. Понятие принципов гражданского судопроизводства, их теоретическое и практическое значение. Сущность и содержание принципа непосредственности, устности и непрерывности судебного разбирательства.
Ф.Тейлор и его принципы
Историческая ретроспектива развития управленческой науки, взаимосвязь этапов ее развития с практикой управления, а так же квалификация и свод основных идей и открытий в плане исторической временной последовательности получила название управленческого континуума. Это понятие является основополагающим при попытке проанализировать историю школ управления.Идея разделения труда благоприятно сказалась в организации не только с точки зрения разделения труда, связанного с производством какой-либо продукции.
Общие понятия о зависимостях, законах и закономерностях
Общие понятия о зависимостях, законах и закономерностях. Зависимость – это связь между переменными входа и выхода. Зависимости могут быть: • объективными и субъективными. Объективные зависимости формируются независимо от сознания и воли людей. Субъективные – формируются людьми для реализации их
Шарль Бонне
Бонне, Шарль (Bonnet, Charles) (1720–1793), швейцарский натуралист и философ. Родился 13 марта 1720 в Женеве. Изучал право, в 1743 получил докторскую степень, но позднее заинтересовался естественной историей.