Реферат: работа по курсу "Математическая статистика" - Refy.ru - Сайт рефератов, докладов, сочинений, дипломных и курсовых работ

работа по курсу "Математическая статистика"

Остальные рефераты » работа по курсу "Математическая статистика"

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ


Кафедра 804 "Теория вероятности и математическая статистика"


КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

"Математическая статистика"


Выполнил:

студент группы 08-304


Принял:

профессор каф. 804

Кан Ю. С.


Дата:


Оценка:


Подпись:



2003 г.

Задание 1.


Дан случайный вектор , где , k = 15.

Методом Монте-Карло найти вероятность .


Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) заключается в моделировании требуемой случайной величины с помощью выборки большого объема. При этом вероятность попадания рассматриваемой случайной величины в заданную область Q определяется, исходя из соотношения:

,

где n – объем выборки, m – количество реализаций случайной величины, попавших в область Q.

Для того чтобы смоделировать нормальный случайный вектор с ковариационной матрицей K, задается линейное преобразование, переводящее стандартный нормальный случайный вектор в рассматриваемый случайный вектор с матрицей K.

Чтобы найти матрицу преобразования , приводим квадратичную форму к сумме квадратов:

, где

,

.

Таким образом, моделируя вектор из трех некоррелированных стандартных нормальных случайных величин, с помощью преобразования получаем гауссовский вектор с ковариационной матрицей K.

Вектор моделируется с помощью датчика случайных чисел. Для каждой полученной реализации случайного вектора выполняется проверка на попадание в заданный шар. Итоговая вероятность рассчитывается как отношение количества реализаций, попавших в шар, к объему выборки.

На рис. 1а и 1б показаны результаты статистического испытания при объеме выборки n = 10000, k = 15 и k = 1.


Рис. 1а (n = 10000, k = 15)

Рис. 2б (n = 10000, k = 1)

Задание 2.


Имеются 50 опытов наблюдения X и Y:

,

где .

Оценить параметры a и b методом наименьших квадратов.


Решение 1:

Для нахождения оценок и применим метод максимального правдоподобия.

,

Составляем функцию правдоподобия:

,

где n – объем выборки (n = 50).

Получаем логарифмическую функцию правдоподобия:

.

Задача максимизации сводится к минимизации суммы квадратов:

Распишем сумму квадратов:

.

Введем новые обозначения:

С учетом новых обозначений получаем:

J(a,b) =  a2 + nb2 + 2 ab – 2 a – 2 b + 

Берем частные производные:

2 a + 2 b – 2,

2nb + 2 a – 2.

Решаем систему:

 a +  b = ,
nb +  a = .

Получаем:

,

.


Решение 2:

Оценки параметров можно получить, решая так называемую нормальную систему уравнений:

,

где , ,

Получаем:

т.е. то же самое в виде системы:

nb +  a = .
 a +  b = ,

Как видно, это та же система, что и в решении 1.

Таким образом, с учетом данных, полученных в опытах по наблюдению за X и Y, получаем значения коэффициентов:

 = 121.415720807951,

 = 75.462893127151,

 = 472.393613346561,

 = 293.720213200493,

 = 1838.39078890617.

Получив значения коэффициентов, получаем значения оценки параметров:

a = 3.86747517626168,

b = 0.0373869460469762.


На рис. 2 представлена прямая .


Рис. 2. Результаты оценки параметров.

Задание 2а.


Построить доверительные интервалы уровня 0.95 для параметров a и b.


Основная МНК-теорема:

Пусть в условия предыдущей задачи

,

.

Тогда

,

.


Следствие:

,

,

где - (i, i)-й элемент матрицы , - квантиль уровня для распределения Стьюдента с степенями свободы.


С учетом условия задачи () и всего вышесказанного, получаем следующее:

Матрица ,

соответственно,

 0.322795848743494

 0.132930005519663

 0.662505924471855

 2.011


Итого – доверительные интервалы уровня 0.95:

для a : ( 3.84191262236633 , 3.89303773015703 )

для b: ( -0,0246869720909494 , 0,0994608641849019 )

Задание 3.


Рассматривая как выборку, построить гистограмму (10 интервалов одинаковой длины). Пользуясь критерием и полученной гистограммой, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с уровнем значения 0.01 случайной величины .


Минимальное и максимальное выборочные значения равны –0.2083122 и 0.2076246, соответственно. Разобьем получившийся промежуток на 10 интервалов одинаковой длины. В таблице 1 представлены характеристики получившегося разбиения.


Левый конец

Правый конец

Кол-во элементов выборки, попавших в интервал

1 -2,2233607326425400 -1,7794225005712100 2
2 -1,7794225005712100 -1,3354842684998800 2
3 -1,3354842684998800 -0,8915460364285440 5
4 -0,8915460364285440 -0,4476078043572120 9
5 -0,4476078043572120 -0,0036695722858795 8
6 -0,0036695722858795 0,4402686597854530 8
7 0,4402686597854530 0,8842068918567850 7
8 0,8842068918567850 1,3281451239281200 3
9 1,3281451239281200 1,7720833559994500 4
10 1,7720833559994500 2,2160215880707800 2

Таблица 1. Данные для гистограммы.


Рис. 3. Гистограмма.

Прежде чем проверять гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины , оценим параметры закона распределения в предположении, что распределение гауссовское. Из условия предыдущей задачи

Значит, мат. ожидание равно нулю, а дисперсия оценивается выборочной дисперсией:

Подставляя выборочные данные, получаем: 0.00878

Таким образом, выдвигаемая гипотеза:

Для каждого интервала вычисляем вероятность, а также частоту попадания выборочных точек. Полученные результаты представлены в таблице 2.


(k)

Вероятность попадания в k-интервал:

Частота попадания выборочных точек в k-интервал

,

1 0,0131 0,0376 0,0245 0,04
2 0,0376 0,0909 0,0533 0,04
3 0,0909 0,1865 0,0956 0,10
4 0,1865 0,3273 0,1408 0,18
5 0,3273 0,4986 0,1713 0,16
6 0,4986 0,6700 0,1714 0,16
7 0,6700 0,8119 0,1419 0,14
8 0,8119 0,9079 0,0960 0,06
9 0,9079 0,9618 0,0539 0,08
10 0,9618 0,9864 0,0246 0,04

Таблица 2. Вероятностные и частотные характеристики.


На основании полученных результатов вычисляем статистику:

3.077

Если гипотеза верна, то статистика

Используя закон распределения , находим критическое значение для заданного уровня p = 0.01:

0.99

Из таблицы распределения получаем: 20.8

, значит гипотеза принимается.