Муниципальное общеобразовательное учреждение
Школа-интернат лицей-интернат
Реферат
«Б и н о м Н ь ю т о н а»
Работу выполнил:
ученик 11 класса «А»
Зыбко Иван
Руководитель
Еремина
Людмила Александровна
Калининград
2008 год
С о д е р ж а н и е.
| Стр. | |
| Понятие бинома Ньютона. | 3-4 |
| Свойства бинома и биномиальных коэффициентов. | 5-6 |
| Типовые задачи по теме «Бином Ньютона». | 7 |
| Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона») | 8-10 |
Понятие бинома Ньютона.
Биномом Ньютона называют разложение вида:
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного.
Цель изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий.
Компоненты формулы «бином Ньютона»:
правая часть формулы – разложение бинома;
– биномиальные коэффициенты, их можно получить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.
Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:
Альтернатива треугольнику Паскаля:
перемножить почленно четыре скобки:
;
вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
общий член разложения бинома n-й степени: ,
где Т – член разложения; – порядковый номер члена разложения.
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.
Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно
Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n
Доказательство
Рассмотрим -й член разложения:
Сумма показателей степеней a и b:
Ч.т.д.
Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)
Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна
Доказательство
Пусть , тогда:
левая часть равна ;
правая часть равна
Тогда:
Ч.т.д.
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
Правило Паскаля:
Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона».
К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых:
Найти член (номер члена) разложения бинома
Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме)
Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома
и другие.
Продемонстрируем на примере.
Пример 1
В биномиальном разложении найти член разложения, не содержащий х
Решение
Так как в разложении мы ищем член не содержащий х, то
Тогда
Ответ:
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона
(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»).
К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным.
Пример 1
Доказать, что для любых и для любых верно неравенство Бернулли:
Доказательство
Пусть
Так как , то
Переформулируем требование: Доказать, что , где
Так как , значит в разложении как минимум три члена разложения, тогда:
Это означает, что
Ч.т.д.
Пример 2
Доказать, что при любом натуральном n число делится на 9
Доказательство
1 способ:
Ч.т.д.
2 способ:
Начнем рассматривать бином в общем виде:
Тогда
Ч.т.д.
Пример 3
Решить уравнение
Решение
Осуществим замену:
Тогда уравнение перепишем:
Применим формулу бинома к левой части уравнения:
В итоге
Ответ: .