Методические указания к лабораторным работам по курсу
«метод конечных элементов»
Цели работы: изучение поведения решения эллиптической задачи с разрывным коэффициентом диффузии на различных сетках, изучение возможности уточнения решения локальными сгущениями узлов
Порядок выполнения работы
В препроцессоре MASTAC2D комплекса TELMA задать параметры краевой задачи, описывающей поведение стационарного магнитного поля в конструкции, предложенной преподавателем.
Построить сетку, выполнить расчёт вектор-потенциала пакетом MASTAC2D.
Изучить поведение конечноэлементного решения, используя постпроцессор.
Используя локальные сгущения узлов в местах наибольшего изменения градиента решения, получить решение, погрешность которого не превышает 0.1% в указанных преподавателем точках. Точность оценивать путём решения задачи на вложенной сетке.
Подготовить отчёт, содержащий: решение задачи на грубой сетке, решение задачи на подобранной сетке с заданной погрешностью, решение задачи на вложенной сетке. Решение представить как в виде силовых линий магнитного поля, так и в виде таблиц значений потенциала и индукции в контрольных точках.
Вопросы к защите
Вычисление значения решения в заданной точке. Представление решения двумерной эллиптической задачи в виде линий равного уровня и цветовых градаций. Представление решения двумерной задачи магнитостатики в виде силовых линий. Совпадение силовых линий с линиями равного уровня векторного потенциала Поведение решения эллиптической задачи с разрывным коэффициентом диффузии. Излом линий равного уровня на границах разрыва коэффициента диффузии. Реакция решения эллиптической краевой задачи на изменение коэффициентов уравнения. 2.Реализация МКЭ с линейной аппроксимацией на треугольникахЦели работы: изучение структур данных и алгоритмов, используемых в МКЭ, изучение приёмов вычисления локальных матриц с использованием барицентрических координат
Порядок выполнения работы
Вычислить локальные матрицы и правую часть, используя барицентрические координаты. При этом считать, что коэффициент диффузии и источник являются на конечном элементе постоянными.
Разработать программы генерации портрета и сборки СЛАУ для треугольной сетки, заданной в формате препроцессора комплекса TELMA. Учесть возможность задания неоднородных краевых условий первого рода. Для решения СЛАУ использовать предоставленную преподавателем программу.
Протестировать построенный МКЭ-комплекс на тесте с линейным решением.
Вопросы к защите
Структуры данных МКЭ. Алгоритм построения портрета по конечноэлементной сетке. Нумерация базисных функций. Алгоритм сборки матрицы. 3.Реализация МКЭ-аппроксимаций высоких порядковЦели работы: изучение возможностей МКЭ по повышению порядка аппроксимации, изучение структур данных и алгоритмов, используемых в МКЭ
Порядок выполнения работы
Для указанного преподавателем типа конечных элементов и базисных функций вычислить локальные матрицы и локальные векторы правой части.
Написать программу генерации портрета разреженного строчного формата по заданной сетке и программу сборки глобальной СЛАУ. Для решения СЛАУ использовать предоставленную преподавателем программу.
Протестировать построенный МКЭ-комплекс на тестах с полиномиальным решением.
Разработать программу выдачи решения в заданной точке.
Разработать программу выдачи решения на треугольной сетке в формате постпроцессора комплекса TELMA.
Вопросы к защите
Повышение порядка аппроксимации МКЭ. Базисные функции. Эрмитовы и лагранжевы элементы. Нумерация базисных функций. Алгоритм построения портрета по конечноэлементной сетке. Структуры данных МКЭ высоких порядков. Тестирование программ МКЭ на тестах с полиномиальным решением. Погрешность аппроксимации правой части кусочно-постоянной функцией. 4.Тестирование построенного МКЭ-пакетаЦели работы: изучение принципов тестирования МКЭ-программ, отладка комплекса.
Порядок выполнения работы
Провести тесты с полиномиальным решением, степень которого равна степени базисных функций метода. Исправить обнаруженные ошибки.
Провести тесты с полиномиальным решением, степень которого на 1 больше степени базисных функций метода на сетках с постоянным и непостоянным шагом. Оценить правильность результатов.
Решить с помощью разработанных программ на грубой сетке задачу, которая была решена в первой лабораторной работе с помощью комплекса MASTAC2D. Сравнить результаты, объяснить различия.
Вопросы к защите
Порядок аппроксимации МКЭ. Оценка порядка аппроксимации. Порядок точности. Связь порядка точности и порядка аппроксимации. 5.Сравнение схем различных порядков аппроксимации при решении практических задачЦели работы: изучение проблем оценки точности решения и порядка аппроксимации метода.
Порядок выполнения работы
Сравнить погрешность решения задачи МКЭ с повышенным порядком аппроксимации и с линейными базисными функциями на одинаковых грубых сетках.
Изучить поведение методов при дроблении сеток.
Оценить для обоих методов порядок аппроксимации производной решения (компонент магнитной индукции). В качестве точного решения принять решение, полученное комплексом MASTAC2D на очень подробной сетке.
Написать итоговый отчёт по лабораторным работам 2-5.
Вопросы к защите
Число ненулевых элементов в строке СЛАУ для элементов высоких порядков. Корректное сравнение временных затрат на решение СЛАУ для разнотипных элементов Оценка эффективности решения задачи с применением элементов высоких порядков при решении задачи с заданной точностью. Дифференцирование решения. Порядок аппроксимации производной. Сглаживание.
4