Применение
обобщенного
метода
Фурье
в
задаче
полого
волновода
треугольного
сечения
к. ф.-м. н. АндрушкевичИ.Е., ЖизневскийВ.А.
Витебскийгосударственныйуниверситетим. П.М.Машерова.
Решениеприкладныхзадачраспространенияэлектромагнитныхволнзачастуюсопряженоспроблемойпоискааналитическихрешенийкраевыхзадачматематическойфизики. Сэтойточкизрения, применениеметодаразделенияпеременныходинизвозможныхпутейэтогопоиска. ХорошоизученныйклассическийметодФурьепозволяетразделитьпеременныевдифференциальныхуравненияхвчастныхпроизводныхприменительнокграничнымусловиямпростейшеговида. Треугольнаяграницанаправляющейструктуры, рассмотреннойвстатье, неотвечаетвозможностямразделенияпеременныхвклассическомпредставлении. ВстатьерассмотреноприменениеобобщенногометодаФурьеразделенияпеременных, какодногоизспособоврасширениякругааналитическирешаемыхзадачприкладнойэлектродинамики. НапримереопределениясемействаЕ-волнволноводатреугольногосеченияпоказанопреимуществопередклассическимметодомразделенияпеременныхприрешениикраевойзадачидлядвухмерногоуравненияГельмгольца.
НагляднымпримеромреализациипреимуществобобщенногометодаФурье (ОМФ) [1] передклассическимприрешенииприкладныхзадачэлектродинамикиявляетсязадачапологоволноводатреугольногосечения (рис.1), оболочкакоторогопринимаетсязаидеальнопроводящую, авнутренняясредаявляетсяоднородной. Такаямодельвбольшинствеслучаевоказываетсяудовлетворительнойдляпрактическихрасчетов. Принеобходимостионауточняетсяпутемучетапотерьвметалле.
рис.1
Поиск векторов электромагнитного поля обычно замыкается на рассмотрение уравнения Гельмгольца, которому должны удовлетворять компоненты этих векторов:
(1)
Пространственная задача о распространении волн в подобной продольно-однородной структуре сводима к решению двумерного уравнения Гельмгольца путем классического отделения переменной z, т.е. представления искомой функции в виде:
(2)
Уравнение для при этом принимает вид:
(3)
Здесь неизвестна не только функция, но и параметр l, имеющий смысл поперечного волнового числа. Само по себе уравнение (3) не имеет определенных решений с физической точки зрения. Необходимо поставить краевую (граничную) задачу. Известно, например из [2], что для определения семейства Е-волн той или иной направляющей структуры с однородной средой и при идеализации проводящих границ надо найти решения краевой задачи, содержащей, помимо уравнения (3), условие:
на L, (4)
где под L понимается идеально проводящий контур поперечного сечения полого волновода или совокупность контуров в более сложных случаях. В нашем примере, как видно из рисунка, в качестве L выступает прямоугольный равнобедренный треугольник. Применяя для решения этой краевой задачи классический метод Фурье, т.е. представляя искомую функцию в виде:
(5)
можем получить следующее общее решение для рассматриваемого уравнения:
(6)
Неопределенные константы, содержащиеся в данном решении, должны быть определены из граничных условий, но получаемая при этом система уравнений не имеет нетривиальных решений. Следовательно, решение (6) не удовлетворяет поставленной краевой задаче. Можно пойти по пути расчленения замкнутого контура на отрезки, что безусловно вызовет увеличение количества краевых задач, требующих решения. Этого можно избежать, используя ОМФ.
Представляя искомую функцию в виде:
(7)
уравнение (3) приводится билинейному виду:
(8)
На следующем этапе применения ОМФ необходимо построить матрицу функций билинейного уравнения, которая в нашем случае выглядит следующим образом:
(9)
Следуя теории реализации ОМФ [1], используя эту матрицу, можно построить следующие системы разделенных уравнений:
(10)
(11)
(12)
Приведенные системы отличаются функциями, входящими в их базис, и их количеством. Анализ этих систем указывает, что только система (11) может иметь решения, удовлетворяющие требованию линейной независимости искомых функций по каждой переменной. Решение системы (11) при условии имеет следующий вид:
(13)
Это решение содержит восемь неопределенных коэффициентов и постоянные разделения, которые должны быть определены из граничных условий.
Условие по оси х, имеющее вид f(x,0)=0, приводит к уравнению:
(14),
из которого следует :
Условие по оси y, имеющее вид f(0,y)=0, приводит к уравнению:
(15),
из которого полагаем:
Условие по гипотенузе рассматриваемого треугольника, имеющее вид f(y-а,y)=0, приводит к уравнению:
которое может быть преобразовано к виду:
(16)
Решая данное тригонометрическое уравнение можно обратить его в тождество при следующих ограничениях на неопределенные постоянные:
(17),
где k,n,m v целые ненулевые числа.
При этих ограничениях искомая функция принимает следующий вид:
(18),
где С v неопределенная амплитудная константа, появившаяся вследствие следующих обозначений:
Возвращаясь к первоначально поставленной задаче об определении семейства Е-волн рассматриваемой направляющей структуры, согласно [2], в качестве f(x,y) выступают собственные функции, имеющие смысл продольной компоненты напряженности электрического поля для волны, определяемой выбором чисел m и n. Этим собственным функциям соответствуют собственные значения из выражения (17). Полное электромагнитное поле для этого волновода может быть определено из зависимостей поперечных компонент от и, вытекающих из уравнений Максвелла:
,
где - продольное волновое число, а - круговая частота волнового процесса.
Список литературы
1. И.Е. Андрушкевич. Об одном обобщении метода Фурье разделения переменных. ЭВ & ЭС .1998. ¦2
2 В.В. Никольский, Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука.1989
Другие работы по теме:
Жан Батист Жозеф Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье. (21.3.1768-16.5.1830) Французский математик,член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, где родился, работал там же преподавателем. В 1796-98 преподавал в Политехнической школе.
Электромагнитные поля и волны
Задача №1 Дано: вектор напряжённости электрического поля в воздухе изменяется по закону – где Е0=5мВ/м; 10 м-1 ; 40 м-1; f =*106 рад/с задано согласно варианта.
Основы конструирования элементов приборов
Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Расчет геометрических параметров . . . . . . . . . . . . . . 7
Щелевая антенна
www.acsoft.tk Балтийский Государственный технический университет им. Д.Ф.Устинова (“Военмех”) Кафедра И4 Реферат ЩЕЛЕВАЯ АНТЕННА
Расчет параметров гидропривода
Омский государственный технический университет Кафедра «Авиа- и ракетостроения» Курсовая работа Выполнение расчетов по курсу «Гидропривод ЛА» семестр 2005 учебного года
Нахождение объема бетонной строительной конструкции
Проведение аппроксимации данных с помощью Excel, расчет площадей (отдельно для выпуклой и вогнутой кривых периферического, серединного и корневого сечения) и целевой функции V с целью нахождения полного объема бетонной строительной конструкции.
Фотонные транзисторы в кремниевом исполнении
Фотоника (так называется эта новая область устройств, использующих в качестве основного сигнала отдельные фотоны) может использоваться в таких областях, как телекоммуникации, маршрутизация Интернета, оптоволоконные сети
работа по эд и ррв
Волновод представляет собой металлическую трубу произвольного сечения, внутри которой распространяются электромагнитные волны. Наиболее часто применяют волноводы прямоугольного (рис. 1) сечения. В волноводах могут распространяться волны электрического типа и волны магнитного типа
Лабораторная работа
В предыдущих лабораторных работах была изложена теория многочленной аппроксимации. Попробуем теперь изложить подобную теорию для аппроксимации периодических функций рядами Фурье. Ряд Фурье на интервале -N
Дискретное преобразование Фурье 2
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет) Гуманитарный факультет
Нахождение площади живого сечения траншеи
1. Формулировка проблемы. Сечение траншеи имеет форму близкую к сегменту параболы, ширина траншеи на её поверхности l метров наибольшая глубина H метров . найти площадь «живого сечения» траншеи , если она полностью заполнена водой.
Анализ Фурье
Жозеф Фурье очень хотел описать в математических терминах, как тепло проходит сквозь твердые предметы. Возможно, его интерес к теплу вспыхнул, когда он находился в Северной Африке.
Ряды и интеграл Фурье
Определение и свойства рядов и интеграла Фурье. Методы разложения периодических функций в ряд Фурье. Примеры решения задач.
Преобразование Фурье
В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея – почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих.
Четвертьволновой трансформатор
Республика Казахстан Алматинский институт Энергетики и Связи Кафедра Радиотехники Контрольная работа № 3 По дисциплине ТПЭМВ Тема: Четвертьволновой трансформатор
Расчёт полупроводникового выпрямител
Задача № 13 «РАСЧЕТ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ» Для питания электронного термометра от однофазной сети частотой f= 50 Гц используется однополупериодный выпрямитель, преобразующий переменное напряжение (АС) - в постоянное (DС). Он состоит (рис. 13, а) из понижающего трансформатора Т; полупроводникового диода VD; Г -образного сглаживающего RС-фильтра.
Особенности устройства антенны
Расчет размеров и параметров рупорной антенны. Линия передачи - фидерный тракт антенны. Вычисление КПД антенно-фидерного тракта и мощности передатчика. Эксплуатация антенно-фидерного устройства. Определение типа волновода исходя из размеров сечения.
Расчет одномодового круглого волновода
Задание. Расчет одномодового круглого волновода. Рабочая частота - 6 ГГц Ширина полосы частот - 1 ГГц Коэффициент шероховатости стенок kш = 1.0 Заполнение волновода воздушное Атмосферные условия нормальное
Волноводно-щелевая антенна
Линейная (плоская) многоэлементная волноводно-щелевая антенна (ВЩА): излучающие элементы, разновидности, назначение. Основные параметры щели в волноводе. Антенны доплеровского измерения скорости и угла сноса самолета. Расчёт и конструкция решетки ВЩА.
Прямоугольный волновод
Построение амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристики отрезка волновода в заданном диапазоне. Картина силовых линий электромагнитного поля, зависимость их продольных составляющих от поперечных координат. Изменение длительности импульса.
Четвертьволновой трансформатор
Расчет размеров амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик четвертьволнового трансформатора. Определение полосы пропускания трансформатора при изменении перепада волновых (характеристических) сопротивлений, оценка реактивного сопротивления.
Проектирование двухзеркальной антенны по схеме Кассегрена
Роль малого зеркала. Расчет геометрических параметров двухзеркальной антенны Кассегрена, параметров облучателя. Соотношение радиуса волновода и критической длины волны. Максимальная фазовая ошибка на краях апертуры. Амплитудное распределение в раскрыве.
Волноводы
Определение геометрии прямоугольного и круглого волновода, расчет и построение графиков частотной зависимости электрических характеристик (фазовой, групповой скоростей и т.д.). Расчет геометрии коаксиальной, несимметричной, симметричной полосковой линии.
Линейная решётка рупорных антенн
Антенно-фидерное устройство как неотъемлемая часть любой радиотехнической системы. Основные электрические и геометрические параметры линейной решётки рупорных антенн и её элементов. Диаграмма направленности, поляризация и полоса пропускания антенны.
Бэлэчану, Эманоил
Эманоил (Манолаке) Бэлэча́ну (рум. Emanoil Bălăceanu, ? — 1 мая 1842) — румынский землевладелец и мыслитель, социалист-утопист (фурьерист).
Дискретное преобразование Фурье
Разработка функции вычисления дискретного преобразования Фурье от входного вектора. Исследование свойств симметрии ДПФ при мнимых, четных и нечетных входных сигналах. Применение обратного преобразования Фурье для генерации периодической функции косинуса.
Фурье (Fourier), Жан Батист Жозеф
Он стал представлять математические функции тригонометрическими рядами. Рядами, состоящими из гармонических составляющих. Рядами Фурье – так назовут их потом. А сперва станут упрекать за недостаточную строгость выводов.
Аполлоний Пергский
Написал ряд сочинений, не дошедших до нас. Важнейший труд — “Конические сечения” (четыре книги сохранились в греческом подлиннике, 3-я в арабском переводе, 8-я книга утеряна).