1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.
Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
а=Х1а1+Х2а2+...Хnan,Xs є R(1) утворює лінійний підпростір V у Rm.
Справді, якщо а= в=, Хs, Ys є R
а, в є V, то виконується рівність
La+Bb =, тобто La+Bb є V.
Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1, а2,...,аn, або підпростором, породженим векторами а1, а2,...,аn.
2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а1, а2,...аm називається m-вимірним вектором.
Числа а1, а2,...аm називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.
Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.
Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається Rm.
Векторні простори R1, R2,R3 можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.
Означення: Вектори а1, а2,...,аn називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х1а1+Х2а2+...Хnan = О (1)
виконується лише при Х1= 0, Х2= 0,..., Хn=0.
Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти Х1, Х2,...Хn не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а1, а2,...,аn. у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовий вектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.
3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а1, а2,...,аn називається її рангом і позначається
r= rank (а1, а2,...,аn).
Якщо ранг системи n векторів дорівнює R(r<n), то будь-які (r+1) векторів цієї системи лінійно залежні. Число L = n-r називається дефектом системи векторів.
Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори – стовпці векторами – рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється.
Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.
З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.
1.У заданій системі векторів а1, а2,...,аn відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а1, а2,...,аn дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а1.
2.Множимо вектор а1 на Ві(і=2,...,n) і віднімаємо від вектора аі (і=2,...,n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.
3.Зі здобутих векторів ві = аі – Віаі (і= 2,..., n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.
Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.
Другие работы по теме:
Параметричний резонанс
РЕФЕРАТ на тему: Параметричний резонанс Розглянемо рух математичного маятника, точка підвісу якого z0 коливається вертикально з частотою со і амплітудою а:z0= = a cos
Вивчення поняття відносин залежності
Курсова робота Вивчення поняття відносин залежності Зміст Введення 1. Визначення й приклади 2. Простір залежності 3. Транзитивність 4. Зв'язок транзитивних відносин залежності з операторами замикання
ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші
Реферат З дисципліни “Вища математика” Розділ 4 “Диференціальні рівняння” на тему: “” План 1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера. 1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом 1.3.
Метод векторів та його застосування
Вступ Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначити по-різному: як напрямлений відрізок, як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка, як множину однаково напрямлених відрізків однакової довжини, як упорядковану пару чисел, як паралельне перенесення.
Вивчення поняття відносин залежності
Поняття відносини залежності, розгляд відносин залежності на різних множинах. Теорема довільних та транзитивних просторів залежності. Зв'язок транзитивних відносин залежності з операторами замикання. Поняття простору залежності, транзитивності, матроїда.
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
Розв'язок задачі лінійного програмування
Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.
Метод векторів та його застосування
Поняття вектора, його характерні риси та ознаки, порядок визначення координат та напряму. Додавання, віднімання та множення вектора на число. Тривимірний векторний простір і його підпростори. Колінеарність та компланарність векторів, їх скалярний добуток.
Рішення лінійних рівнянь першого порядку
Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.
Дії з векторами
1.4. . Означення 5 . Сумою двох векторів називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора
Розклад вектора за базисом
Означення . Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність Означення
Вектори лінійні операції над ними
Пошукова робота на тему: Вектори, лінійні операції над ними. План Вектори і скаляри. Множення вектора на число. Додавання та віднімання векторів. Проекція вектора на вісь.
Власні числа та власні вектори матриці
Реферат на тему: Власні числа та власні вектори матриці План Власні числа і власні вектори лінійного перетворення. Характеристичне рівняння. Властивості власних векторів і власних значень.
Лінійний векторний простір
РЕФЕРАТ на тему: Лінійний векторний простір” Векторний простір лінійний простір ) - безліч елементів, які називаються векторами, для яких визначені операції додавання і множення на число. Найпростіший, але важливий приклад - сукупність векторів
Опуклі множини
У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.