У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.
Спочатку ознайомимось з поняттям опуклої лінійної комбінації векторів.
Нехай на площині задані точки А1 та А2, що визначають відрізок А1А2, зображений на Малюнку 1. Знайдемо радіус-вектор довільної точки М цього відрізка через радіуси-вектори 1 та 2 точок А1 та А2.
Вектори
колінеарні і однаково напрямлені, тому вони пропорційні. Отже, існує таке t, що:
Звідси одержимо:
Якщо позначити 1 – t = t1, t = t2, то остання рівність прийме вигляд
(1)
(2)
Означення. Опуклою лінійною комбінацією векторів 1 та 2 називають комбінацією (1) цих векторів при умові (2).
Рівняння (1) з умовою (2) можна зрозуміти як векторне рівняння відрізка А1А2.
Означення. Опуклою лінійною комбінацією k n-вимірних векторів називають комбінацію
(3)
при умовах
(4)
Наприклад. Лінійна комбінація , має
,
тому вона опукла.
Означення. Опуклою множиною називається множина, дві довільні точки якої визначають відрізок, що належить цій множині.
Відрізок, півпряма, пряма, кут менший 1800, коло, півплощина, куб, тетраедр, куля – опуклі множини.
На малюнку 2 зображені різні множини. У випадках а) – с) ці множини опуклі, у випадках d) – е) вони неопуклі.
Означення. Граничною точкою множини називають таку точку, в околі якої, як завгодно малого радіуса з центром в цій точці, є точки, що належать множині, і є точки, що не належать множині.
Границею множини називається сукупність всіх її граничних точок.
Множина, якій належить її границя, називається замкненою.
Опуклі замкнені множини бувають обмеженими і не обмеженими. Множина називається обмеженою, якщо існує таке число с > 0, що відстань довільної точки М множини від початку координат обмежена, тобто |ОМ| < 0.
Означення. Опукла замкнена множина в n вимірному просторі, що має скінченне число кутових точок, називається опуклим n вимірною многогранною множиною, якщо вона не обмежена.
Кутові точки називають вершинами, відрізки, що сполучають дві сусідні вершини, називають ребрами.
Означення. Опорною прямою многокутника в двовимірному просторі називається пряма, яка має з многокутником, розташованим по одну сторону від неї, принаймні одну спільну точку.
Опорна пряма з многокутником може мати спільну вершину або ребро.
Останні поняття узагальнюються на випадок n вимірного простору.
Означення. Опорною гіперплощиною опуклої замкненої множини n вимірного простору називається гіперплощина, що має з цією множиною, розташованою по одну сторону від неї, хоч би одну спільну точку.
Опорна гіперплощина з множиною може мати спільну вершину, ребро або грань.
Другие работы по теме:
Теорія споживання
Опуклі множини та їх головні властивості. Аксіоми відношення переваги. Функція корисності споживання. Геометрична інтерпретація функції корисності. Сутність закону Госена. Оптимізаційна математична модель поведінки споживача на ринку товарів і послуг.
Алгебра 10 класс Мерзляк академ
А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір АлгебрА і почАтки АнАлізу Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів Академічний рівень
Числення висловлень
Реферат на тему: Числення висловлень Числення висловлень ) згідно з поданою у розділі 1 схемою означається таким чином. Алфавіт числення висловлень складається з елементарних і змінних висловлень (пропозиційних змінних): a,b,c,d,...,x,y,z (можливо з індексами), знаків логічних операцій ,,, і круглих дужок ( та ).
Логіка і множини
Міністерство освіти і науки України Реферат на тему "Логіка і множини" з дисципліни "Дискретна математика" Харків 2011 Зміст Вступ
Теорія споживання
Контрольна робота з теми: ТЕОРІЯ СПОЖИВАННЯ Вступ Математичні моделі й методи, що досліджуються в даній роботі, є необхідними для вивчення споживчого поводження на ринку готової продукції, переваг індивідуального споживача, корисності й класифікації товарів, еластичності й інших властивостей попиту.
Логіка і множини
Виключення третього як фундаментальний принцип логіки, істинність і хибність як логічні значення пропозиції. Таблиці істинності, поняття тавтології і еквівалентності. Властивості функцій множин і запереченням гіпотези Гольдбаха в термінах квантифікаторів.
Наведення усіх перестановок елементів множини
Перестановка як перевпорядкованість наборів елементів, об’єктів або функція, що задає таку перевпорядкованість. Всі можливі варіанти перестановок елементів множини за умови наявності трьох елементів за умови, що жоден елемент не залишається на місці.
Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат
Визначення та властивості упорядкованих множин, приклади діаграм. Дистрибутивні ґрати як один з основних алгебраїчних об'єктів. Поняття нижньої і точної грані, їх властивості та приклади, доказ лем. Застосування та суть топологічних стоунових просторів.
Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел
Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел. Цілком упорядковані множини і їхні властивості. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи. Загальні властивості ординальних чисел.
Розв'язок задачі лінійного програмування
Послідовність графічного розв'язання задачі лінійного програмування. Сумісна система лінійних нерівностей, умови невід'ємності, визначення півплощини з граничними прямими. Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування.
Побудова скінченних множин
Множина як визначена сукупність елементів чи об’єктів. Списковий спосіб подання множини. Множина, кількість елементів якої скінченна (скінченна множина). Виведення декартового добутку з кожної заданої комбінації. Алгоритм рішення та реалізація програми.
Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин
Основні засади комбінаторики та теорії множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля і використання правила суми й добутку. Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин засобами мови програмування IDE C++ Builder з допомогою вбудованого GUI.
Комплексні числа Поняття про комплексне число
Реферат на тему: Комплексні числа Означення уявної одиниці. Розширення множини дійсних чисел. Поняття про комплексне число. У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв’язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від’ємних чисел.
Окремі випадки задач оптимального стохастичного керування
1. Зовнішній інтеграл Функції можуть бути довільними, а математичні сподівання можна обчислювати, якщо як функція від є вимірною. Якщо ж оптимальна стратегія, отримана в результаті оптимізації, виявиться невимірною, то і функція
Теорія множин. Операції над множинами та їх властивості
Теоретичні основи теорії множин. Основні операції над множинами та їх властивості. Складання програми для обчислення результуючої множини за вихідним і спрощеним виразами. Виконання операцій над множинами, застосування їх властивостей, спрощення виразів.
Способи зберігання графів. Пошук в графі
Програмна робота з графами: операції їх зчитування, збереження та обробки у вигляді перевірки на симетричність та орієнтованість. Основи пошуку в графі в різних напрямках. Розбиття множини вершин на класи еквівалентності за відношенням зв'язності графу.
Чисельне розв’язання задач оптимального керування
Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільним правим кінцем. Необхідні умови оптимальності. Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням. Оптимальне стохастичне керування. Мінімаксне керування.
Операції над множинами
Міністерство освіти і науки України Херсонський національний технічний університет Кафедра економічної кібернетики Контрольна робота з дисципліни:
Множини: Математичні операції з множинами
Створення програмного модуля "Множина" та організація його правильної структури, визначення методів та властивостей цього модуля (елементами множини є цілі числа). Реалізація математичних операцій з множинами з забезпеченням використання цього класу.
Внутрішнє подання даних стандартних типів
Реферат на тему: Внутрішнє подання даних стандартних типів 1. Біт, байт та інші У комп'ютері числа зберiгаються та обробляються в двiйковiй системі числення. Двійкова цифра 0 або 1 відображається станом елемента пам'яті, який вважається неподільним і називається
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування Цей метод базується на рівності , де а та b – де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд
Поняття предиката
Реферат на тему: Поняття предиката Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.
Початки комбінаторики
Реферат на тему: 1. Принцип добутку і принцип суми. Розміщення з повтореннями Двома основними правилами комбінаторики є: Принцип суми . Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AB містить m+n елементів.
Контекстно-вільні та LA-граматики
Реферат на тему: Контекстно-вільні та LA(1)-граматики 1. Контекстно-вільні граматики Контекстно-вільною , або КВ-граматикою , називається граматика, в якій ліві частини всіх продукцій є нетерміналами. Зміст терміну "контекстно-вільна" полягає в тім, що застосування продукції A w до ланцюжка uAv не залежить, тобто є
Елементи комбінаторики 2
ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ § 1. Поняття множини. Операції над множинами Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення Множину можна уявити собі як сукупність деяких предметів, об'єднаних за довільною характеристичною ознакою Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій
Множини 3
Практичні заняття Множини Paskal дозволяє оперувати трьома множинами, як трьома типами даних. Для визначення типу множина використовується вираз:
Бульові функції
Реферат на тему: 1. Алгебри бульових виразів і бульових функцій 7.1.1. Основні поняття Множину {0, 1} позначимо літерою B. Множину всіх можливих послідовностей з 0 і 1 – Bn. Такі послідовності за традицією будемо називати наборами або векторами довжини n. Очевидно, Bn містить 2n елементів. Значення 0 і 1 називаються протилежними одне до одного.
Поняття функції 5
Поняття функції Вивчаючи те чи інше явище, ми, як правило, оперуємо кількома величинами, які пов'язані між собою так, що зміна деяких з них приводить до зміни інших.