Реферат на тему:
Власні числа та власні вектори матриці
План
Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.
Характеристичне рівняння.
Властивості власних векторів і власних значень.
Означення. Ненульовий вектор який задовольняє умові
, (1)
називається власним вектором лінійного перетворення а число власним значенням. Говорять, що власний вектор відповідає власному значенню
Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру
Якщо в просторі вибраний базис, то рівність (1) можна записати в координатах як що зв’зує матрицю перетворення і координатний стовпчик вектора або
(2)
де одинична матриця В розгорнутому вигляді (2) можна записати так:
(2/)
Із рівності (4.18/) знаходимо координати власного вектора Це система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Оскільки власний вектор ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (2/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
(3)
Рівняння (3) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.
Знайшовши із рівняння (3) всі власні значення , ми кожне із них підставляємо в систему (2/) і знаходимо власні вектори , що відповідають цим власним значенням.
Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення що задається в деякому базисі матрицею
Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (3)
, тоді і власні значення матриці Нехай власний вектор, що відповідає власному значенню Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (2/)
загальний розв’язок якої буде
Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи і одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню
і причому
Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.
10. Власні вектори , що відповідають попарно різним власним значенням , лінійно незалежні.
20. Якщо і матриці лінійного перетворення в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто
30. Якщо деяке власне значення перетворення є коренем характеристичного рівняння кратності то йому відповідає не більше лінійно незалежних власних векторів.
40. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.
50. Матриця лінійного перетворення в базисі має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.
60. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці
різні, то існує така матриця із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця діагональна.
Другие работы по теме:
Використання алгебри матриць
В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі. Приклад 1. Сезонний продаж товарів трьох видів (α, β, γ) здійснюють три магазини (12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином представлено у вигляді матриць
Графоаналітичний метод – "квадрат потенціалу"
Алгоритм графоаналітичного методу оцінки потенціалу підприємства. Особливості побудови "квадрату потенціалу". Обґрунтування розрахунків, згідно з якими підприємству "Гермес" необхідно звернути увагу на виробничий, фінансовий і маркетинговий потенціал.
Власні значення і власні вектори матриці
Міністерство освіти і науки України Криворізький державний педагогічний університет Кафедра математики Курсова робота з математики Власні значення і власні вектори матриці
ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші
Реферат З дисципліни “Вища математика” Розділ 4 “Диференціальні рівняння” на тему: “” План 1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера. 1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом 1.3.
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова В роботі дано елементарне доведення відомих теорем Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого порядку. Робота має певну методичну цінність і може бути використана на заняттях шкільних гурків та факультативів
Тривимірні перетворення
Наочне представлення про об'єкт та його зображення в тривимірному просторі. Порядок тривимірний зміни масштабу фігури, її зсуву та обертання. Особливості відображення елементів у просторі, просторовий перенос та тривимірне обертання навколо довільної осі.
Системи лінійних рівнянь
Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Представлення і перетворення фігур
Розгляд представлення і перетворення точок та прямих ліній. Правило здійснення обертання та відображення фігури на площині. Рівномірна і нерівномірна зміна масштабів. Двовимірний зсув і однорідні координати. Побудування матриці перетворення векторів.
Рішення лінійних рівнянь першого порядку
Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.
Дії з векторами
1.4. . Означення 5 . Сумою двох векторів називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора
Представлення і перетворення фігур
ПРЕДСТАВЛЕННЯ І ПЕРЕТВОРЕННЯ ТОЧОК Представлення точок здійснюється наступним чином: На площині У просторі Перетворення точок. Розглянемо результати матричного множення
Метод виокреслення лінійно незалежних векторів
1.Нехай V – не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V. Візьмемо систему векторів а1, а2..., аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.
Розклад вектора за базисом
Означення . Лінійно залежними називають вектори , якщо існує хоч би одне дійсне число (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність Означення
Спрощений Data Encryption Standart
Реферат на тему: Спрощений Data Encryption Standart На рисунку 1 наведена структура спрощеної схеми шифрування DES (Data Encryption Standart). На вхід схеми кодування подається 8 бітовий відкритий текст та 10 бітовий ключ. Результатом роботи схеми є 8 бітовий шифротекст. Схема декодування приймає на вхід 8 бітовий шифротекст та 10 бітовий ключ та виробляє на виході 8 бітовий відкритий текст.
Анатомія цифрового фотоапарату в картинках
РЕФЕРАТ НА ТЕМУ: Анатомія цифрового фотоапарату в картинках Як видно з приведених фотографій, у матриці 3 млн. крапок, перед кожною з них розташований кольоровий фільтр, синій, зелений і червоний. Таким чином, для кожної з крапок ми знаємо тільки одну зі спектральних складових. Комп'ютер же в камері перетворює її в зображення, що складається з тих же 3 млн. крапок, але для кожної з який обчислені уже всі три колірні складові.
Вектори лінійні операції над ними
Пошукова робота на тему: Вектори, лінійні операції над ними. План Вектори і скаляри. Множення вектора на число. Додавання та віднімання векторів. Проекція вектора на вісь.
Обчислення визначника методом Гауса
Курсова робота з дисципліни основи програмування та алгоритмічні мови Тема. Обчислення визначника методом Гауса Зміст 1)Вступ 2)Теоретична частина
Збудження об’ємних резонаторів
Лекція 18 . Доведемо ортонормованість власних функцій резонатора. , бо задача про власні коливання розв’язується без струмів. Для другого коливання: