Пошукова робота на тему:
Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості.
План
Похідна за напрямком
Градієнт функції
Основні властивості
1. Похідна функції за напрямком і градієнт
Нехай - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами і (тобто і - косинуси кутів, утворених вектором з додатними напрямками осей координат і ). При переміщенні в заданому напрямку (рис.7.10) точки в точку функція одержує приріст
, (7.46)
який називається приростом функції в заданому напрямку .
Якщо є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника одержуємо , , отже,
. (7.47)
Означення. Похідною функції в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто
. (7.48)
З цієї точки зору похідні і можна розглядати як похідні функції в додатних напрямках осей координат і . Похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку .
Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому
,
де і при і . Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо
.
Отже,
.
Переходячи до границі в останній формулі при ,тобто при і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:
. (7.49)
Приклад. Обчислити в точці похідну функції в напрямку, що складає кут з віссю .
Р о з в ’ я з о к.
.
Зауваження. Для функції її похідна в напрямку дорівнює
(7.50)
Рис.7.10 Рис.7.11
При вивчені поведінки функції в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .
Означення. Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці :
(7.51)
Тут - орти координатних осей і .
Теорема. Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.
Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної як скалярний добуток двох векторів:
.
Перший із співмножників є .
Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів і збігаються; це найбільше значення дорівнює модулю, тобто числу
.
Теорема доведена.
Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання .
Приклад. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції в точці і обчислити значення похідної в цьому напрямку.
Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :
.
Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю .
Похідна .
Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням . Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці (рис. 7.11) дорівнює (7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює .
Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівня , яка проходить через точку .
Зауваження. Градієнт функції в точці запишеться так:
, (7.52)
де - орти координатних осей.
Другие работы по теме:
Основні поняття квантової механіки
Поняття стану частинки у квантовій механіці. Хвильова функція, її значення та статистичний зміст. Загальне (часове) рівняння Шредінгера та також для стаціонарних станів. Відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. Рівняння одновимірного руху.
Функції адміністративного управління
Суть і зміст управлінської діяльності на всіх рівнях управління. Поділ і спеціалізація праці у виробництві і управління ним. Виробнича система та організаційна структура підприємства. основними функції: планування, організації, мотивацію, контроль.
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
Вивчення систем з постійною парною частиною
Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Застосування частинних похідних
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
Теорія множин. Операції над множинами та їх властивості
Теоретичні основи теорії множин. Основні операції над множинами та їх властивості. Складання програми для обчислення результуючої множини за вихідним і спрощеним виразами. Виконання операцій над множинами, застосування їх властивостей, спрощення виразів.
Функції права 2
Функції права та їх класифікація. Основні напрямки розвитку і впливу права на сучасне суспільство Соціальне призначення права, його місце і роль у системі соціально-нормативного регулювання відображається в його
Механізм держави
Тема: . Механізм держави як комплексна система державних організацій. Співвідношення апарату та механізму держави. Функції та завдання державних організацій.
Класифікація, будова і властивості ліпідів
РЕФЕРАТ на тему: Класифікація, будова і властивості ліпідів Ліпіди — це низькомолекулярні речовини з гідрофобними властивостями. Разом з білками і вуглеводами це основні компоненти всіх видів клітин. У різних органах і тканинах вміст ліпідів неоднаковий. Особливо багато їх у нервовій тканині, серці, печінці, нирках, крові, насінні і плодах деяких рослин.
Основні функції Національного банку України
Назва реферату : Основні функції Національного банку України Розділ : Банківська справа Основні функції Національного банку України Національний банк України – найважливіша ланка всієї банківської системи держави. На відміну від багатьох інших відомств, які постали на ґрунті колишніх республіканських чи союзних, НБУ являє собою принципово нову структуру.
Об єкти Ос Windows Робота із документами файлами папками дисками Основні об єкти в ос WIND
Лабораторна робота №5 Тема: Об’єкти Ос Windows. Робота із документами, файлами, папками, дисками. Основні дії над об’єктами в ос Windows можна виконати за допомогою контекстного меню, що з’являється при натисканні на об’єкті ПКМ. Контекстне меню кожного типу елементів може мати різні пункти. При активізуванні контекстного меню якогось документу ми отримаємо меню, яке складається із таких пунктів:
Функції властивостей
Реферат на тему: Функції властивостей Функції властивостей призначені для керування властивостями, пов’язаними із символами. CDR - елемент символа вказує на список властивостей, який містить властивості та прапорці (див. розділ ?????).
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Невзаємні елементи НВЧ
Лекція 32 . Закон Ньютона каже, що . Однак, в загальному випадку: , тобто зв’язок не векторний, а тензорний – напрямок руху не завжди співпадає з напрямком сили. Приклад – гіроскоп чи дзига.
Оксиди
Тема: План. Оксиди, їх класифікація. Номенклатура. Способи добування оксидів. Фізичні властивості. Хімічні властивості основних, кислотних і амфотерних оксидів.
Означення диференціала
Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х (а, b). Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу
Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали. Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn).
Похідна за напрямом Градієнт
1. Похідна за напрямом. Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом. Область простору кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини
Формула Н ютона Лейбінца
Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 Реферат На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.
Функції та способи їх задання
Реферат з предмету „Вища математика” на тему: Функції та способи їх задання” План 1. Деякі властивості функції. 2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.