Тема: Функції багатьох змінних. Означення, границя та неперервність, похідні диференціали.
Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn). Відстань між точками М(х1,…,хn) і М/(х/1,…,х/n) визначається за формулою
Нехай D Rn – довільна множина n-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х1,…,хn) D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х1,…,хn), то кажуть, що на множині D задана числова функція f : RnR від n змінних х1…,хn. Множина D називається областю визначення, а множина - множиною значень функції f.
Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f(x,y),(x,y)D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат Оxyz. Графіком цієї функції називається множина точок
яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.
Приклад 4. Знайти точки розриву функції
Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.
Нехай (х01,…,х0k,…x0n) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f(х1,…,хn). Надаючи значенню змінної хk приросту , розглянемо границю
.
Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній xk в точці (x01,…,x0n) і позначається або
Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як сталі.
Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x1,…,xn) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:
Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.
Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.
Повним приростом функції в точці , який відповідає приростам аргументів , називається різниця
Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді
де A1,…An – числа, не залежні від .
Диференціалом 1-го порядку du функції називається вираз
Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам: .
Для диференціала du правильна формула
Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула:
Диференціалом 2-го порядку d2u функції називається диференціалом від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних при фіксованих значеннях : d2u = d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d3u = d(d2u). Взагалі, dku = d(dk-1 u).
Диференціал k-го порядку функції , де х1…хn – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули
яка формально розкривається за біномним законом.
Зокрема, у випадку функції двох змінних , маємо:
Градієнт функції - це вектор, що визначається формулою grad Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції:
Приклад 9. Нехай Знайти grad u (M0).
Маємо
Тоді
а тому grad u(M0)= (10;3;8)=
Другие работы по теме:
Функція, її границя та неперервність
Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.
Похідні та диференціали функції багатьох змінних
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
Функцiя, класифiкацiя функцiй
Абсолютна величина дiсного числа. Властивостi абсолютних величин. Функцiя. Парнiсть, непарнiсть, перiодичнicть, монотоннicть. Складна функцiя. Класифiкацiя функцiй.
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками поділимо на n рівних за довжиною відрізків. У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ1; ξ1
Степінь з ірраціональним показником
Вступ Введення поняття степеня з ірраціональним показником Означення поняття степеня з ірраціональним показником Узагальнення поняття степеня Список літератури
Степінь з ірраціональним показником
Операція піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь. Введення поняття степеня з ірраціональним показником. Означення поняття степеня з ірраціональним показником, узагальнення поняття степеня. Дві послідовності, що обирають поняття степеня.
Застосування частинних похідних
Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
Абсолютна величина дiсного числа
Властивостi абсолютних величин. Змiннi i сталi величини. Функцiя.Парнiсть, непарнiсть, перiодичнicть, монотоннicть. Складна функцiя. Класифiкацiя функцiй. Перетворення графiкiв.
Інтегральне числення Невизначений інтеграл
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Означення : Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F'(x) = f(x) або dF(x) = f(x)dx .
Означення диференціала
Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х (а, b). Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу
Функція границя функції
Реферат на тему: Функція, границя функції Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f
Послідовності
План Числова послідовність. Означення границі числової послідовності. Основні теореми про границі. Обчислення деяких границь. Монотонні послідовності.
Границя функції
Коломийський коледж права і бізнесу Р Е Ф Е Р А Т на тему: ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ” Виконав Кушмелюк Федір М. Перевірив: Чоботар О.В. Коломия 2002 План Границя числової послідовності.
Похідна за напрямом Градієнт
1. Похідна за напрямом. Для характеристики зміни скалярного поля в заданому напрямі вводять поняття похідної за напрямом. Область простору кожній точці М якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини
Диференціал 5
Диференціал План Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних.
Опуклі множини
У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.
Функції та способи їх задання
Реферат з предмету „Вища математика” на тему: Функції та способи їх задання” План 1. Деякі властивості функції. 2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.