Розв’язання
раціональних
рівнянь
2002 Для нашого часу характерна інтеграція наук, прагнення отримати найточніші уявлення про загальну будову світу. Ці ідеї знаходять своє відображення і в концепції освіти. Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв’язки як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вміти розв’язкувати рівняння? Так, щоб за їх допомогою розв’язувати задачі. Рівняння називають “мовою алгебри”. Але їх використовують не тільки в алгебрі, а й в інших науках, наприклад хімії та фізиці.
Вступ
Різновиди рівнянь не вичерпуються трьома видами, які ми вміємо розв’язувати. Для математиків важливо було навчитися розв’язувати рівняння третього порядку (кубічні). Найпростіші кубічні рівняння, якщо в них вдало підібрані коефіцієнти, розв’язуються легко.
Чи обмежуються всі види рівнянь третього порядку такими простими способами розв’язання? Першим, хто поставив це питання, був Омар Хайям – перський учений і поет. Одним із методів розв’язання рівнянь Хайям пропонує геометричний.
Висновок:
Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діщфант, аль-Хорезмі, О.Хайям, Ф.Вієт та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна людина.
Раціональні рівняння
Основними раціональними рівняннями з однією змінною являються лінійні і квадратні рівняння. Їх розв’язування нам відомі.
Всі інші раціональні рівняння проводяться за допомогою різних перетворень до цих основних рівнянь, тобто до лінійних і квадратних.
Ці перетворення є слідуючи ми:
1) Якщо рівняння дробове, то спочатку перетворюють його до цілого виду, помноживши обидві частини рівняння на спільний знаменник всіх дробів.
При цьому потрібно пам’ятати, що згідно правила І.З ми отримаємо лиш наслідок вихідного рівняння.
2) Якщо рівняння ціле, то використовують два способи перетворень:
а) заміну змінних (введення нових змінних);
б) розкладання лівої частини рівняння на множники, коли права частина рівна нулю.
Покажемо на прикладі використання цих перетворень:
Задача 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Дане рівняння дробове. Щоб привести його до цілого виду, помножимо обидві частини на спільний знаменник всіх дробів:
(так як ). Будемо пам’ятати, що отримаємо лиш наслідок вихідного рівняння:
.
Після розкриття дужок і зведення подібних членів в кожній частині рівняння отримаємо:
.
Перенесемо тепер всі члени в ліву частину і зробимо зведення подібних членів, отримаємо:
.
Розкладемо ліву частину рівняння на множники:
.
На основі правила У.н. отримаємо сукупність лінійних рівнянь:
і , звідси , .
Так як в процесі розв’язання ми використовували перетворення, які приводять до наслідків рівнянь, то необхідна перевірка. Підстановка до вихідного рівняння показує, що х = 0 являється по стороннім коренем (так як 0 не входить в область визначення рівняння), а задовольняє рівнянню:
Відповідь:
Задача 2. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Очевидно, що приведення лівої частини до стандартного виду многочлена лиш ускладнює рівняння. Тому необхідно шукати інші способи розв’язання.
1-й спосіб: Він оснований на розкладанні лівої частини рівняння на множники. Ліва частина рівняння дуже нагадує квадрат суми виражений хІ+х+4 і 4х. Але тоді третій доданок повинен бути на 15хІ, а 16хІ.
Це легко зробити слідуючим чином
На основі правила У.н. отримаємо сукупність двох квадратних рівнянь:
;
Розв’язавши їх знайдемо множину коренів:
х1= - 2; х2,3 = .
2-й спосіб заснований на підстановці
Тоді вихідне рівняння приймає вид:
Цей квадратний тричлен легко розкласти на множники:
Звідси знаходимо, що y = -5x або у = -3х.
Підставляємо отримані вирази замість ув (1) отримаємо ті ж два квадратні рівняння.
Другие работы по теме:
Подбор сечения для сжатого стержня
Задача №2. Для заданого стержня із розрахунку знайти переріз. Розв’язання. Перше наближення. Приймаємо φ =0,5 [ № 16а, А =19,5 см , Jz=823 см
Інтегрування раціональних функцій
Пошукова робота на тему: Інтегрування раціональних функцій. План Інтегрування раціональних функцій Прості раціональні дроби Неправильні раціональні дроби
Раціональні дроби та їх властивості
м. Комсомольськ гімназія ім. В.О.Ніжніченка ПРАКТИЧНА РОБОТА на тему Раціональні дроби та їх властивості” підготувала Шепель Ілона 2004 р. Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається
Диференціальне рівняння
Основи означення. Диференціальні рівняння І порядку. Задача Коші. Теорема існування та єдності розв'язку. Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.
Раціональні дроби та їх властивості
Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним). Приведення раціональних дробів до спільного знаменника. Скоротити дріб - це означає розділити числівник і знаменник дробу на спільний множник.
Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці
Крайова задача для звичайного диференціального рівняння. Метод Рунге-Кутта, метод прогнозу і корекції та метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач. Реалізація пакетом Maple. Оцінка похибки й уточнення отриманих результатів.
ЛІнійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами Задача Коші
Реферат З дисципліни “Вища математика” Розділ 4 “Диференціальні рівняння” на тему: “” План 1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами 1.1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера. 1.2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами матричним методом 1.3.
Системи лінійних рівнянь
Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Математичне моделювання економічних систем
Задача лінійного програмування. Розв’язання задачі геометричним методом. Приведення системи рівнянь до канонічного вигляду. Розв’язання симплекс-методом. Розв’язок двоїстої задачі. Задача цілочислового програмування і дробово-лінійного програм.
Розрахунок інтегралів за допомогою методів Гауса та Чебишева
Дослідження застосування різницевого методу для розв’язання крайової задачі. Дослідження проводиться на прикладі заданого диференційного рівняння. Дається опис методу та задачі в цілому. Застосування при обчисленні формули Чебишева і формули Гаусса.
Інженерні розрахунки в MathCad
Розв’язання системи лінійних та нелінійних рівнянь у програмі MathCAD. Матричний метод розв'язання системи рівнянь. Користування панеллю інструментів Математика (Math) для реалізації розрахунків в системі MathCAD. Обчислення ітераційним методом.
Розв’язання задач з елементарної математики в пакеті Maple-8
Використання встроених функцій елементарних перетворень пакету Maple. Зображення основних геометричних фігур. Використання функції RootOf для позначення будь-якого кореня виразу, заданого як її параметр. Оператор виділення повного квадрату в чисельнику.
Рішення задач з елементарної математики в пакеті MAPLE-8
Алгебраїчні перетворення в Maple за допомогою вбудованих функцій елементарних перетворень. Позбавлення від ірраціональності в знаменнику. Побудування графіку функції в пакеті Maple-8. Пакет plottools – пакет для створення та роботи з графічними об’єктами.
ЗНО математика 2007
МАТЕМАТИКА ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє: • відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;
ЗНО математика 2006
Зошит номер Міністерство освіти і науки України Український центр оцінювання якості освіти МАТЕМАТИКА ЗОВНІШНЄ ОЦІНЮВАННЯ Час виконання – 135 хвилин
Затухання у металі, скін – шар
Лекція 3 . У попередньому пункті ми записали ЕМХ як , для металу , тоді маємо . Оскільки . В металі хвиля затухає як . Глибина, на якій хвиля спадає в раз називається скін – шаром.