ЗНО математика 2007

МАТЕМАТИКА
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ
Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє: • відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;
• рівень навчальних досягнень учнів; • ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних
закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.
При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.
Частина 1
ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ
5
1. Розташуйте у порядку спадання числа 5 ; 2 log 2 5 ; .
2
А Б В Г Д
5 5 5 5 5
2 log 2 5 ; ; 5 ; 5 ; 2 log 2 5 ; 2 log 2 5 ; 5 5 ; ; 2 log 2 5 2 log 2 5 ; 5 ;
2 2 2 2 2
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.
2. Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.
А Б В Г Д
1150 1050 950 850 750
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.
3. З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?
А Б В Г Д
1 2 4 6 7
30 30 15 15 15
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.
1 1
4. Розв’яжіть нерівність х + > − 2 .
х − 3 х − 3
А Б В Г Д
( − 2 ; 3 ) ( − 2 ; +∞ ) ( −∞ ; − 2 ) U ( − 2 ; +∞ ) ( −∞ ; 3 ) U ( 3 ; +∞ ) ( − 2 ; 3 ) U ( 3 ; +∞ )
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.
5.
Знайдіть область визначення функції у = х + 9 .
А Б В Г Д
[ 3 ; +∞ ) [ 9 ; +∞ ) [ − 3 ; +∞ ) [ − 9 ; +∞ ) [ − 9 ; 9 ]
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.
6. Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.
А Б В Г Д
41 45 54 68 81
Правильна відповідь : Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.
7.
Обчисліть ( 2 sin 45 ° + 1 ) 2 − ( 1 − 2 cos 45 ° ) 2 .
А Б В Г Д
1 2 1 2 2
2 2
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.
х
8. Розв’яжіть рівняння tg = 3
2
А Б В Г Д
π π + π n , n ∈ Z 2 π + , π n n ∈ Z 2 π + 2 π n , n ∈ Z інша відповідь
6 3 3 3
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. 9. За видом графіка функції у= кх + b визначте знаки коефіцієнтів кі b. Оберіть правильне твердження.
А Б В Г Д
? k > 0 , ? k < 0 , ? k < 0 , ? k > 0 , ? k = 0 ,
? ? ? ? ?
? b < 0 ? b > 0 ? b < 0 ? b > 0 ? b > 0
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.
10. Укажіть парну функцію.
А Б В Г Д
y = x y2 = x y = tgx y = log x y = x 2
2
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.
11.
Обчисліть log 5
1
25
А Б В Г Д
− 1 − 1 − 2 1 1
4 2 2 4
Правильна відповідь : А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості логарифма.
12.
Розв’яжіть нерівність log 10 < log x .
0 , 1 0 , 1
А Б В Г Д
( 10 ; +∞ ) (0; 10) (0,1; 10) (−10; 0) ( −∞ ; 10 )
Правильна відповідь : Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.
13.
Розв’яжіть рівняння 3 8 х = 2 ⋅ 3 2
А Б В Г Д
2 1 3 5 2
3 6 2 6 5
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.
14. Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння х 3 − х 4 = 0 .
А Б В Г Д
жодного один два три більше трьох
Правильна відповідь : В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.
15. Знайдіть первісну функції f ( х ) = х 2 + 2 , графік якої проходить через точку з
координатами (1;4). А
Б В Г Д
F ( х ) = х 2 + 2 х F ( х ) = х 2 + 2 х + 1 F ( х ) = х 2 + 2 х + 2 F ( х ) = х 2 + 2 х − 4 F ( х ) = х 2 + 2 х − 23
Правильна відповідь : Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних. 16. На рисунку зображений графік функції
у = f (х ) та дотичні до нього в точках х та
1
х. Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть f ′ ( х ) + f ′ ( х ) .
2 1 2
А Б В Г Д
1 3 3 1 3
3 2 2
Правильна відповідь : А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.
17.
Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить
125 . Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В. °
А Б В Г Д
30 о 40 о 50 о 60 о 70 о
Правильна відповідь : Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.
18. Точка М– середина сторони квадрата АВСD. Площа зафарбованої частини дорівнює 7
см 2 . Знайдіть площу всього квадрата.
А Б В Г Д
14 см 2 21 см 2 28 см 2 35 см 2 42 см 2
Правильна відповідь : В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.
19.
Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е ( − 3 ; 8 ; 7 ) і
F ( − 9 ; 6 ; 1 ) .
А Б В Г Д
( − 6 ; 7 ; 4 ) ( − 12 ; 14 ; 8 ) ( 0 ; 0 ; 0 ) ( 3 ; 1 ; 3 ) інша відповідь
Правильна відповідь : А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.
20.
Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см.
А Б В Г Д
4 π a 3 см 3 2 π a 3 см 3 1 π a 3 см 3 1 π a 3 см 3 1 π a 3 см 3
3 3 3 6 12
Правильна відповідь : Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.
Частина 2
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ
21. Обчисліть ( 6 27 + 4 64 )( 6 27 − 4 64 )
Правильна відповідь : − 5 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.
22. Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.
Правильна відповідь : 144 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.
23.
Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності
( х − 3 )( х + 10 )( х 2 + 8 х − 9 )
< 0
х 2 + 8 х − 9
Правильна відповідь : − 8 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.
24. На перегоні, довжина якого дорівнює 240 км, поїзд рухався зі швидкістю на
10 км/ год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 хв. З якою
швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?
Правильна відповідь : 60 км / год .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.
25.
Обчисліть 2 sin 15 ° cos 15 ° tg 30 ° ctg 30 ° .
Правильна відповідь : 0,5
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.
26.
Розв’яжіть рівняння ( х 2 − 9 ) − 15 + 8 х − х 2 = 0 . У відповідь запишіть суму коренів.
Правильна відповідь : 11 (або 8).
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь. Примітка.
Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів по-
різному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.
Розв’язання.
Знайдемо область визначення: − 15 + 8 х − х 2 ≥ 0 , х 2 − х 8 + 15 ≤ 0 , х ∈ [ ] 3 ; 5
Рівняння ( х 2 − 9 ) − 15 + 8 х − х 2 = 0 рівносильне сукупності рівнянь:
? х = − 3 ,
? ? ? ? х 2 − − 15 9 + = 8 0 х , − х 2 = 0 ; звідси: ? ? ? ? х х 1 3 2 = = 3 3 , ,
? х 4 = 5 .
Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь х = − 3 не входить в область
визначення. Тому 3+3+5=11.
? ? 2 2 у − х = 32 ,
27. Розв’яжіть систему рівнянь ? log ( у − х ) = − 2 .
? ? 1
2
Запишіть у відповідь добуток x ⋅ y , якщо пара ( x , y ) є розв’язком вказаної
0 0 0 0
системи рівнянь.
Правильна відповідь : − 3 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ? логарифмічне.
28. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?
Правильна відповідь : 32.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.
29.
Обчисліть 81 log 4 ⋅ log 5 ⋅ log 7 ⋅ log
3 4 5 7
Правильна відповідь : 4.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.
30.
Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь
? у − х = а ,
? має два розв’язки.
? х 2 + у 2 = 1
Правильна відповідь : 1.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.
31.
Знайдіть найбільше значення функції у = х 3 − 3 х 2 + 2 на проміжку [ − 1 ; 1 ] .
Правильна відповідь : 2.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.
32.
Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння
log ( х + 2 ) = log ( 2 х − а ) має корені.
8 8
Правильна відповідь : − 3 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.
33.
Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний
r ⋅ . r
добуток A B A C
Правильна відповідь : 12,5.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.
34. Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м
3 . Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має
форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?
Правильна відповідь : 405.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.
35
. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см і нахилена під кутом
60 до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди. °
Правильна відповідь : 12 см. 3
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.
Частина 3
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ
36.
У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше
сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.
Правильна відповідь : α = arctg 11 .
Розв’язання (авторський варіант)
Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і
SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а, тоді бічне ребро SA = 2a.
У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC. У
трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC, то MN || (ABC). Прямі MN та ND перетинаються в точці N, тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо
∠MND = α .
a 2
Діагональ АС квадрата АВСD дорівнює a 2 , тому середня лінія MN = .
2
Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є
a 2
рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN = .
4
2 a 2 7
З прямокутного трикутника SOC SO = SC 2 − OC 2 = 4 a 2 − = a .
4 2
1 7
За теоремою Фалеса SL = LO = SO = a .
2 8
2 a 2 7 a 2 11
З прямокутного трикутника LOD LD = OD 2 + LO 2 = + = a .
4 8 8
Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників
SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.
З трикутника DLN маємо:
tg α = LD = 11 .
LN
Відповідь. α = arctg 11 .
Схема оцінювання
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності
відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN) учень
одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для
знаходження кута α , він одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал. Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
• Якщо учень не з’єднує точки М і Дна рисунку, а розглядає кут α як кут
трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN –прямокутний.Тоді має місце така схема оцінювання :
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал. 2. За обґрунтування того, що
LD ⊥ MN учень одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута
α , він одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал. Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
• Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний
метод, то тоді має місце така схема оцінювання:
1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал. 2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал
.
3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал. 4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал. Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
− x + 4 − − x
37. Побудуйте графік функції y = .
2
Розв’язання
Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність
− х ≥ 0 . Отже,
D ( y ) = ( − ∞ ; 0 ] .
Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння
4 − − x = 0 , звідки x = − 16 .
− x − ( 4 − − x ) 2 − x − 4
Якщо x ∈ ( −∞ ; − 16 ] , то y = = = − x − 2 .
2 2
Якщо х ∈ ( − 16 ; 0 ] , то y = − x + 4 − − x = 2 .
2
Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.
Схема оцінювання
1. За правильно знайдене D ( y ) учень одержує 1 бал.
2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку x ∈ ( −∞ ; − 16 ] , то він одержує 1 бал.
3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку ( − 16 ; 0 ] , то він одержує ще 1 бал.
4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал. Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.
38. Розв’яжіть нерівність
( x 2 − 2 a ⋅ x + 1 )( 2 x + lg a ) < 0 .
1
Правильна відповідь : при a ∈ ( 0 ; 1 ) x ∈ ( −∞ ; log 2 lg a ) ;
при а = 1 х ∈ ∅ ;
при a ∈ ( 1 ; +∞ ) x ∈ ( a − a − 1 ; a + a − 1 ) .
Розв’язання
Визначимо область допустимих значень параметра а:
a > 0 .
Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:
? ? ? x 2 − 2 x a + 1 > 0 ,
? ?
? ? ? 2 x + lg a < 0 ;
?
? ? ? x 2 − 2 x a + 1 < 0 ,
? ?
? ? ? ? 2 x + lg a > 0 .
Розв’яжемо спочатку першу систему. Розглянемо нерівність
x 2 − 2 a ⋅ x + 1 > 0 .
D = ( a ) 2 − 1 = a − 1 .
4
1. Якщо a < 1 , то розв’язком першої нерівності даної системи буде x ∈ . Тоді R
розв’язком нерівності 2 x < − lg a буде x ∈ ( −∞ ; log lg 1 ) при 0 < a<1. Тобто,
2 a
1
розв’язок першої системи матиме вигляд x ∈ ( −∞ ; log 2 lg a ) при 0 < a<1.
2. Якщо а ≥ 1 , то розв’язком нерівності x 2 − 2 a ⋅ x + 1 > 0 буде
x ∈ ( −∞ ; a − a − 1 ) ∪ ( a + a − 1 ; +∞ ) , а нерівність 2 x < − lg a не має розв’язків.
Отже, перша система не має розв’язків.
Розв’яжемо другу систему. Розглянемо нерівність
x 2 − 2 a ⋅ x + 1 < 0 .
Ураховуючи розв’язання попередньої системи, D = ( a ) 2 − 1 = a − 1 .
4
1. Якщо a < 1 , то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має
розв’язків.
2. Якщо а > 1 , то розв’язком нерівності x 2 − 2 a ⋅ x + 1 < 0 буде
x ∈ ( a − a − 1 ; a + a − 1 ) . Тоді розв’язком нерівності 2 x > − lg a буде x ∈ . R
Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд x ∈ ( a − a − 1 ; a + a − 1 ) .
3. Якщо a = 1 , то одержимо нерівність x 2 − x 2 + 1 < 0 , звідси х ∈ ∅ .
1
Отже, загальна відповідь: при 0 < a < 1 x ∈ ( −∞ ; log 2 lg a ) ;
при a > 1 x ∈ ( a − a − 1 ; a + a − 1 ) ;
при а = 1 х ∈ ∅ .
Схема оцінювання
1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і
розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал.
2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали.
Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали.
Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
• Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів,то в цьому випадку
має місце така схема оцінювання:
1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал. 2. За правильно знайдені нулі функції
у = ( х 2 − 2 а х + 1 )( 2 х + lgа ) з вказівкою
відповідних значень параметра учень одержує 2 бали.
Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал.
3. За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків
для параметра а учень одержує 2 бали.
Якщо учень розглянув один з випадків a > 1 або 0 < a < 1 , то він одержує лише 1
бал .
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал. Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.
• Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три
випадки: 0 < a < 1 , а=1, a > 1 , то в цьому випадку має місце така схема
оцінювання:
1. Якщо учень дослідив випадок а = 1 і одержав відповідь, то він одержує 1 бал.
2. Якщо учень дослідив випадок 0 < a < 1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.
3. Якщо учень дослідив випадок a > 1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал. Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.