Министерство образования и науки Российской Федерации
Курсовая работа
По дисциплине: Высшая математика
(Основы линейного программирования)
На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Выполнил: ______________
Преподаватель:___________
Дата ___________________
Оценка _________________
Подпись ________________
ВОРОНЕЖ 2008
Содержание
1 Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл
1.2 Тройной интеграл
1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах
1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов
2 Криволинейные и поверхностные интегралы
2.1 Криволинейные интегралы
2.2 Поверхностные интегралы
2.3 Геометрические и физические приложения
Список используемой литературы
1 Кратные интегралы
Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей 
, а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d1, d2, ..., dn. Выберем в каждой части 
точку Рi.
Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P1), f(P2),…, f(Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(Pi)ΔSi:
, (1)
называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.
Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при 
и 
, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается
. (2)
Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями 
x = a, x = b ( a < b ), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:
Рис. 1
= 
(3)
Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δvi , считая объем каждой части равным Δvi , и составим интегральную сумму вида
, (4)
Предел при 
интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:
. (5)
Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (6)
1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах
Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.
Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда 
, tg
.
Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ1 (φ) и ρ=Φ2 (φ), где φ1 < φ < φ2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).
Рис. 4
Тогда
(7)
В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).
Рис.5 Рис.6
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:
, (10)
где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.
1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов
1) Площадь плоской области S:
(11)
Пример 1.
Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями 
у = 2, у = 5.
Решение.
Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями 
и
где 
вычисляется с помощью интегрирования по частям:
Следовательно,
2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:
(12)
3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:
(13)
где D – проекция S на плоскость Оху.
4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:
(14)
Пример 2.
Найти момент инерции однородной круглой пластинки
(x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Решение.
В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.
Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.
Уравнения границ пластинки имеют вид
Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I1 сделаем замену: 
при x = a – 2b 
при x = a + 2b 
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:
Тогда
Следовательно, 
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
(15)
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(16)
Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если 
Решение.
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(17)
Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и 
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда 
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
Соответственно
6) Объем тела V:
(18)
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями 
Решение.
Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость 
проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20)
(21)
где γ (х, y, z) – плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координаты центра масс тела:
II. Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: 
.
Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы 
, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:
(24)
Если кривую L можно задать параметрически:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,
то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой
(25)
В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:
у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:
. (26)
Теперь умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi – xi-1 = Δxi.
Если существует конечный предел при 
интегральной суммы 
, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается
. (27)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора 
, и существуют интегралы
,
тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают
.
Если кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то
. (28)
Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:
(29)
где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.
Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования являются:
. (30)
При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как
При этом функцию и можно найти по формуле
(31)
где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.
Поверхностные интегралы
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sп (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sп). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части Si точку
Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму
Если существует конечный предел при этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается
. (32)
Если поверхность S задается явным образом, то есть уравнением вида z = φ(x, y), вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла:
(33)
где Ω – проекция поверхности S на плоскость Оху.
Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы
,
не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается
(34)
Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:
и 
.
Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:
(35)
Если D, D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на координатные плоскости Оху, Oxz и Oyz, то
(36)
Связь между тройным интегралом по трехмерной области V и поверхностным интегралом 2-го рода по замкнутой поверхности S, ограничивающей тело V, задается формулой Гаусса-Остроградского:
(37)
где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориентации поверхности:
(38)
2.3 Геометрические и физические приложения
1) Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
(39)
2) Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
(40)
Пример 6.
Найти массу кривой с линейной плотностью 
заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где 
Решение.
Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:
3) Моменты кривой l:
- (41)
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
- (42)
момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;
- (43)
моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
. (44)
5) Работа силы 
, действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):
, (45)
Пример 7.
Вычислить работу векторного поля 
вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).
Решение.
Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:
Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой
z = f(x, y), можно найти в виде:
(46)
(Ω – проекция S на плоскость Оху).
7) Масса поверхности
(47)
Пример 8.
Найти массу поверхности 
с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.
Решение.
На рассматриваемой поверхности 
Тогда
Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.
Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:
8) Моменты поверхности:
(48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;
(49)
моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
- (50)
моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;
- (51)
момент инерции поверхности относительно начала координат
Координаты центра масс поверхности:
. (52)
Список используемой литературы
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Т.2. М.: Наука, 2001.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редекцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича). – Т.2. М.: Наука, 2004.
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006.