Границя функції

Коломийський коледж права і бізнесу

Р Е Ф Е Р А Т

на тему:

“ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ”

Виконав

Кушмелюк Федір М.

Перевірив:

Чоботар О.В.

Коломия

2002

План

Границя числової послідовності.

Нескінченно малі числові послідовності.

Нескінченно великі числові послідовності.

Основні теореми про границі.

Границя функції неперервного аргументу.

1. Границя числової послідовності.

У кур­сі «Алгебра і початки аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарни­ми способами. В основі методів, за допомогою яких уда­ється дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функ­ціональної залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають yn = f(n), п = 1, 2, ... .

Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1, 2, ..., ул,…, в якому y1 називають першим чле­ном послідовності, y2 — другим і т. д., yn — n-м, або за­гальним членом послідовності. Числову послідовність вва­жають заданою, якщо задано її загальний член.

Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп) або (ап), де уп, ап — n-ні члени послідов­ностей.

Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп= y1 + d (п - 1), уп = у1qn-1, п = 1, 2, ..., де d — різниця арифметичної прогресії; q — зна­менник геометричної прогресії.

Розглянемо ще приклади числових послідовностей.

Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою уп = , п = 1, 2, ... .

Дістанемо таку числову послідовність:

(2)

У послідовності (2) члени із зростанням числа п спа­дають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп — 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) зна­йдеться член yN такий, що для всіх п > N буде справ­джуватися нерівність

(3)

де — довільне додатне число. Надаючи є довільних додат­них значень, щоразу матимемо шукане число N.

Щоб знайти N для будь-якого наперед заданого додат­ного числа , підставимо в нерівність (3) значення уп і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо:

(4)

Звідси п > . Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п, які задовольняють нерівність (4).

Тому за число N можна взяти число , якщо воно ціле, абонайбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таб­лиці.

Таблиця

Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у1, y2, y3,…,уп,..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N = N (), що для всіх п > N виконується нерівність

. (8)

Символічно це записують так:

Ми будемо користуватися першим позначенням (lim — від латинського слова «limes», що означає «границя»).

2. Нескінченно малі числові послідовності

Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовнос­тям.

Послідовність уп = f (п), п — 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо уп = 0.

Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.

Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо не­рівність | уп | < , п > N. Тому нескінченно малу число­ву послідовність можна означити ще й так.

Числова послідовність (уп) називається нескінченно ма­лою, якщо для будь-якого додатного числа існує натуральне число N таке, що для всіх п > N виконується нерівність | уп | < .

Нескінченно малі послідовності позначають через (ап), (βп), (n) і т. д.

Наступні теореми встановлюють тісний зв'язок між послідовністю (уп), яка має границю, і нескінченно малою послідовністю.

Теорема 1. Якщо уп= a, то послідовність (аn) = (yn – a) є нескінченно малою.

Доведення. Яке б не було число > 0, знайдеться таке N, що для всіх п > N виконуватиметься нерівність | уп — а | < , або , тобто — нескін­ченно мала послідовність.

Справедлива і обернена теорема.

Теорема 2. Якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою послідовністю, то а є границею послідовності (уп).

Доведення. Позначимо ап = уп — а. Тоді уп — а є нескінченно малою послідовністю. Тобто для будь-якогочисла > 0 знайдеться таке N, що для всіх п > N виконується нерівність | ап | < , або, що те саме, |уп — а| < . Отже, згідно з означенням границі, yn = а. Доведені теореми дають змогу навести ще й таке означенняграниці послідовності.

Число а називається границею числової послідовності (уп), якщо різниця між уп і числом а є нескінченно малою по­слідовністю, тобто (уп — а) = (п), де () — нескінчен­но мала послідовність.

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

Властивівть 1. Алгебраїчна сума скінченного числанескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Перш ніж сформулювати наступну властивість, наве­демо таке означення.

Послідовність (уп) називається обмеженою, якщо існує число М > 0, що для всіх значень п = 1,2, ... виконуєть­ся нерівність

| уп | < М.

Властивість 2. Добуток нескінченно малої чис­лової послідовності на обмежену послідовність є нескінченно малою числовою послідовністю.

3. Нескінченно великі числові послідовності

Розглянемо нескінченно великі числові послідовності.

Означення. Послідовність (уп) називається нес­кінченно великою, якщо, яке б не було число М > 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > М. Це записують так:

уп при цьому називають нескінченно великою послі­довністю. Наприклад, послідовності ((—1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.

Доведемо, наприклад, що ((—1)пп) є нескінченно ве­лика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |уп|=(—1)пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зро­стають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1 = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, ... .

Отже, .

Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послі­довність (уп), де

є необмеженою і не є нескінченно великою.

Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.

Теорема. Якщо (уп)є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність () = є нескінченно малою.

Доведення. Оскільки (уп) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М > 0, існує таке число N, що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > M. Нехай М = , де — довільне додатне число.

Тоді | уп | > (n > N), або | аn | < (n > N). Теоре­му доведено.

Обернена теорема. Якщо послідовність () є нескін­ченно мала числова послідовність і для всіх n= 1, 2, ..., то послідовність (уп)==є нескінченно велика.

Доведення. Оскільки за умовою теореми () — не­скінченно мала послідовність, то для будь-якого числа > 0, наприклад, для = , де М > 0 — будь-яке дійсне число, існує натуральне число N = N (М) таке, що для всіх значень п > N виконується нерівність | | < .

Позначимо уп = . Тоді

Теорема доведена.

4. Основні теореми про границі

Знаходження границі числової послідовності на основі "тільки означення границі викликає часто певні труднощі, оскільки: треба наперед знати «підозріле» на границю число; не кожного разу за заданим можна знайти N.

Тому на практиці для знаходження границі числових послідовностей користуються такими теоремами.

Теорема 1. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають від­повідно границі а і b. Тоді послідовність (xn+yn) має границю а + b.

Теорема 2. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають від­повідно границі а, b. Тоді послідовність (хп • уп) має границю, яка дорівнює а • b, тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (хп) і (уп) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна об­межена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність (хп) має границю а, то ця границя єдина.

Приклад 1. Знайти (За означенням п! = , читають «ен факто­ріал».)

Розв'язання. Використаємо теорему про гра­ницю суми. Для цього з'ясуємо, чи існують границі доданків.. Послідовності , є нескінченно малими , тобто Послідовність (sin n2) є обмеженою: | sin n2 | 1. Отже,

Границі доданків існують. Тому

5. Границя функції неперервного аргументу

Розглянемо функцію у = f (х), де аргумент змінюється неперервно (набуває всіх значень з певного проміжку , крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного про­міжку).

Наведемо два приклади.

Приклад 1. Простежимо, як поводить себе функція f (х) = + 2, коли значення аргументу х як завгодно близько наближається до числа 2. Символічно це позначають так: х  2. З малюнка 105 випливає, що коли х  2 зліва або справа, то відповідні значення функції f (х) як завгодно близько наближаються до числа 4, тобто ці значення мало відрізнятимуться від числа 4.

У такому разі кажуть, що функція f (х) = + 2 має границею число 4, якщо х  2, або в точці х0 = 2, Символічно це записують так: .

Число А називається границею функції у = f (х) у точці х0 , якщо для будь-якого числа > 0 існує таке числе > 0, що для всіх і таких, що , якщо виконується нерівність

Символічно це записують так:

Приклад. Довести, що

Розв'язання. Під знаком граниш є лінійна функція y=kx+b(k=2,b=1).З попереднього при­кладу випливає, що лінійна функція у = kx + b у будь-якій точці х a має границю А. Границя дорівнює значенню цієї функції у точці х = а, тобто А = ka + b. Отже, у даному прикладі А = 2 • 1 + 1 = 0. Задача розв'язана.