Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“ Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя”
Роботу виконала
Студентка 211 групи
Піщук Олеся
Викладач:
Виговська В.Г.
Отриманий бал:
_____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
частка цих функцій в точці х0 має невизначеність вигляду або ;
існує .
Тоді існує і виконує рівність:
(1)
а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;
2. Частки , , …, мають невизначеність вигляду або ;
3. Існує , тоді
(2)
б) Приклад 1.
Знайти: .
Розв’язання:
Функції та визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.
Маємо:
.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
Нехай і , тоді
(3)
За умовою при , тому при .
Якщо не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо при , то вираз має невизначеність .
2. Нехай , , тоді має невизначеність вигляду при .
В цьому випадку поступають так:
Під знаком останньої границі маємо невизначеність .
3. Нехай , при . Тоді має невизначеність вигляду .
Позначимо . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:
Отже, обчислення натурального логарифма границі зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
4. Невизначеності вигляду та зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .
а) Приклад 2.
Знайти границю .
Розв’язання:
Функції та диференційовані, а їх частка має невизначеність вигляду при .
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
б) Приклад 3.
Знайти границю .
Розв’язання:
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
, тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
Отже, .
в) Приклад 4.
Знайти границю .
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
.
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
Список використаної літератури:
Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.
Другие работы по теме:
Приватне життя і життя компанії з етичних поглядів
Приватність, її психічна, фізична та соціальна цінність. Право особи на приватність і секретність. Внутрішній світ та життя. Межа між обґрунтованим і необґрунтованим втручанням в приватність. Сфери законного зацікавлення. Інформація про приватне життя.
Реакція конкурентної фірми на зміну цін
Не завжди конкурентна фірма входить на ринок за такої сприятливої кон’юнктури, яка дозволяє їй максимізувати прибуток. Можливі ситуації, коли ціни не забезпечують прибутковості на жодному з обсягів. Дослідимо, якою буде реакція фірми на зниження або підвищення ціни продукції в короткостроковому періоді за допомогою
Державне регулювання корпоративної діяльності
Держава як учасник корпоративних відносин Державне регулювання корпоративного сектору і контроль за діяльністю учасників корпоративного сектору здійснюють Державна комісія з цінних паперів і фондового ринку (ДКЦПФР), Антимонопольний комітет, Фонд державного майна але ін. в межах своїх повноважень.
Реакція конкурентної фірми на зміну цін
Графічні моделі реакції фірми. Графічна ілюстрація ситуації закриття фірми. Умови прибутковості та збитковості конкурентної фірми. Ціна беззбитковості. Короткострокова стратегія фірми на досконало конкурентному ринку.
Держава та її соціально економічні функції
Особлива роль держави у суспільстві. Розкриття співвідношення між функціонуванням ринку як саморегулюючого механізму і мірою впливу держави та її органів на економічні процеси. Характеристика політичної, соціальної, міжнародної та економічної функцій.
Державне регулювання корпоративної діяльності
Методи та інструменти державного регулювання корпоративного сектору і контролю за діяльністю учасників корпоративного сектору, відповідальні за це органи, їх права та обов'язки. Юрисдикція антимонопольного комітету України. Захист прав інвесторів.
Прогнозный алгоритм управления внеоборотными активами фирмы
Text 1. Назначить работника учреждения, который бы занимался вопросами безопасности в учреждении, в том числе, по защите коммерческой тайны. На него возложить обязанность разработки и совершенствования нормативной базы, определения и организации защиты коммерческой тайны, создания методик и определения стратегии применения соответствующих режимных мер. 1.
Найпростіші задачі квантової механіки
РЕФЕРАТ на тему:” Найпростіші задачі квантової механіки План 1. Рух вільної частинки 2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику 3. Гармонічний квантовий осцилятор
Корпускулярно-хвильовий дуалізм речовини
Поняття ядерної моделі атома, її сутність і особливості, історія розробок і розвитку, сучасний стан і значення. Нездоланні суперечки, пов’язані з існуючою теорією атомних часток, спроби їх усунення Н. Бором. Розробка гіпотези та формули де Бройля.
Гуманістична теорія особистості А. Маслоу
Реферат на тему: Гуманістична теорія особистості А. Маслоу А. Маслоу – американський психолог, один з основоположників гуманістичної теорії особистості. Головною характеристикою особистості вважав потяг до самоактуалізації, самовираження, розкриття потенцій до творчості та любові, в основі яких лежить гуманістична потреба приносити людям добро.
Чехов а. п. - Авторская позиция в рассказе а. п. чехова человек в футляре
В 80-х годах, когда Чехов писал свои рассказы, казенщина в человеческих отношениях проникла во все слои общества и главным правилом стало механическое, бездушное исполнение предписанных правил и норм. Повседневная пошлость, серость и грязь калечат человеческие души, лишают человека божественной искры, непосредственности и готовности воспринимать жизнь в самых разнообразных формах.
Передчасні пологи
Передчасне розродження є однією з невідкладних проблем медицини. Їх профілактика і, по можливості, лікування, є однією з найважливіших частин акушерського догляду. Наслідки передчасного розродження тим частіше і серйозніші, чим менший гестаційний вік новонародженого. Новонароджені, що народилися передчасно, можуть бути з малою або відповідною до терміну гестації масою тіла.
Числення висловлень
Реферат на тему: Числення висловлень Числення висловлень ) згідно з поданою у розділі 1 схемою означається таким чином. Алфавіт числення висловлень складається з елементарних і змінних висловлень (пропозиційних змінних): a,b,c,d,...,x,y,z (можливо з індексами), знаків логічних операцій ,,, і круглих дужок ( та ).
Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
Запис системи рівнянь та їх розв'язання за допомогою методів оберненої матриці та Гауса. Поняття вектора-стовпця з невідомих та вільних членів. Пошук оберненої матриці до даної. Послідовне виключення невідомих за допомогою елементарних перетворень.
Теорія і практика обчислення визначників
Основні поняття і теореми. Обчислення визначників методом зміни елементів, представлення їх у вигляді суми, виділення лінійних множників, методом рекурентних співвідношень, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами рядка або стовпця.
Созвездия Лисичка, Щит
Планетарные туманности далеко не всегда по своему внешнему облику напоминают диски планет. Последнее является скорее исключением, чем правилом. Формы планетарных туманностей очень сложны и различия, по крайней мере внешние.
Анализ стихотворения Н.М. Языкова "Пловец"
В наши дни Н.М. Языков стал как бы поэтом «для избранных», хотя стихи его по сути народные и для развития русского языка необходим вклад, внесенный им в сокровищницу нашего искусства.
Тимофей I
Архиепископ (греч. Τιμόθεος Α΄; ум. 20 июля 385) — архиепископ Александрийский (380—385), святитель. Память 13 февраля.
Криптологія
Створення математичної моделі інформаційної системи для надання користувачам інформації в використанні різних задач. Структурна схема захисту від зловмисних дій в системі. Класифікація криптоперетворень, умови реалізації безумовно стійких криптосистем.
Організація облікової політики підприємства
Розгляд поняття, законодавчого регулювання, причин появи облікової політики в ринкових умовах, її документальне оформлення та основні соціальні, інформаційні і економічні завдання. Розгляд методичних прийомів та способів ведення бухгалтерського обліку.
Проблемні питання взаємодії в розкритті злочинів
Забезпечення оптимальної взаємодії в діяльності правоохоронних органів стосовно розкриття злочинів значною мірою залежить від правильного тлумачення терміну “взаємодія”. Термінологічний аналіз свідчить, що поняття “взаємодія” є зовнішньо схожим з такими поняттями, як “співробітництво”, “координація”, “узгодження”, “сприяння” і т. ін.
Функція границя функції
Реферат на тему: Функція, границя функції Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f
Умисні вбивства вчинені на замовлення історія та сучасність
Основними завданнями, що постають перед юридичною наукою і державою, є забезпечення дотримання прав і свобод громадян. У статті 27 Конституції України зазначено: “Ніхто не може бути свавільно позбавлений життя. Обов’язок держави – захищати життя людини” [1].
Теореми про диференціальні функції
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖ РЕФЕРАТ
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
Конституйційно-правові засади діяльності правоохоронних та контролюючих органів України у протид
Конституйційно-правові засади діяльності правоохоронних та контролюючих органів України у протидії злочинності та корупції Після проголошення незалежності України почалося формування самостійної політики у всіх сферах життєдіяльності суспільства, у тому числі й у боротьбі зі злочинністю та корупцією, реформування державних органів виконавчої влади, на які покладено завдання боротьби зі злочинністю та корупцією.
Організація підготовки фахівців по боротьбі зі злочинністю у сфері високих технологій
Організація підготовки фахівців по боротьбі зі злочинністю у сфері високих технологій Боротьба зі злочинністю в інформаційній та комунікаційній сферах сьогодні набула особливої гостроти та актуальності в усьому світі. Так, за даними Федерального міністерства внутрішніх справ Німеччини, за останні 10 років кількість таких злочинів там зросла у 10 разів (від 5 тисяч випадків у 1990 р. до майже 50 тисяч – у 1999 р.).