Міністерство освіти і науки України
Київський державний торговельно-економічний університет
Коломийський економіко-правовий коледж
Реферат
З дисципліни „Вища математика”
Розділ: 7 „Ряди ”
На тему:
„Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду”
Виконала:
Студентка групи Б-13
Комар Ірина
Перевірив
Викладач
Лугова Л.Б.
Коломия 2003
План
Розвинення функції у степеневий ряд.
Контрольні запитання
Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.
Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.
Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.
Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).
Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x
Література
Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 432с.
Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має вигляд
(1)
Нехай R– довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то
(2)
Позначивши через , матимемо
(3)
За ознакою Д’Аламбера ряд а1+а2+…an+… збіжний, тому . Звідси дістанемо
(4)
для всіх x є (-R;R). Оскільки число R було взято довільно, рівність правильна для всіх Х є
За теоремою Д’Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.
. (5)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд
(6)
Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа легко оцінюється зверху:
, (7)
Вище було показано, що для всіх R>0. Тому для всіх х є правильною є рівність
Звідси дістанемо
(8)
для всіх х є .
Функція f(x)=sin x в інтервалі розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд
. (9)
Аналогічно можна діяти при розвиненні в степеневий ряд функції f(x)=cosx.Однак простіше скористатись теоремою, згідно з якою степеневий ряд в інтервалі збіжності можна диференціювати почленно. Про диференціювавши почленно попередній ряд, матимемо (10)
Розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x). Правильною є рівність
(геометрична прогресія із знаменником, що дорівнює –x).Попередній степеневий ряд можна почленно інтегрувати на проміжку з кінцями 0 та x,де -1 x 1.Виконавши це дістанемо (11)
Оскільки
На підставі двох останніх рівностей знаходимо (12)
Розвинення в степеневий ряд функції arсtg x.Знаючи, що для х є
(-1;1) правильною є рівність.
(чому це так?),по членним інтегруванням її дістанемо
Оскільки,
остаточно маємо
Приклади
Розвинути функцію у степеневий ряд в околиці точки х0=2.
Виконаємо над заданою функцією тотожні перетворення, такі, щоб під знаком функції одержати вираз (х-2)
Тепер скористаємось формулою (10), ф яку замість х підставимо Тоді
.
Записаний ряд збігається до заданої функції при , тобто при
Таким чином,
2. Розвинути в ряд Макларена функцію
Маємо таке розвинення
Підставивши сюди замість х змінну –х, дістанемо
Віднявши від першої рівності другу, знайдемо
Другие работы по теме:
Основи конструювання батарейного циклону
Особливості використання та влаштування батарейних циклонів, оцінка його аеродинамічного опору. Методика визначення загальної кількості батарейних елементів та довжини вихлопної трубки циклонного елементу. Аналіз руху газу в корпусі батарейного циклону.
Теорема 15.2
Теорема 15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Доказательство . Пусть данная прямая и @ — данная плоскость. По аксиоме I существует точка
Практическое применение матрицы Купера на предприятии
МАТРИЦА Р. КУПЕРА. АНАЛИЗ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТИ ОТРАСЛИ И СИЛЫ БИЗНЕСА Матрица Д. Абеля, фактически, исправила недостатки модели, предложенной И. Ансоффом. Абель предложил определять область бизнеса в трех измерениях:
Теорема Наполеона
Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. С учетом того, что Наполеон был артиллеристом, неудивительно, что он увлекался геометрией.
Доказательство теоремы Ферма для n 3
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3 Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение: Аn+ Вn = Сn (1)
Тригонометрия
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1О{0,1,…,9}{9,n11}
Шпаргалка по Математике 4
наз. сходящимся, если сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то 3. Интегральный ПК сх.Р: 5. Признак Коши: 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Доказательство Великой теоремы Ферма 6
Файл: FERMA-ЛАРЧИК © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 Доказательство Великой теоремы Ферма Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Степенные ряды
Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.
Люблю травневий світлий час...
Автор: Бертран де Борн. Люблю травневий світлий час І ніжні квіти весняні, Люблю, коли чарують нас Пташині радісні пісні, І тішусь я красою Рясних наметів і шатрів,
Теорема Котельникова. Побудова ортонормованого базису
Зміст теореми Найквіста-Шенона. Задача на визначення сигналу, відновленого за допомогою фільтрації. Схема включення ФНЧ. Балансна амплітудна модуляція. Однотональний Ам-сигнал з балансною модуляцією. Аналітичний сигнал обвідної заданого коливання.
Абель, Карл Фридрих
Карл Фридрих Абель (нем. Carl Friedrich Abel; 22 декабря 1723, Кётен — 20 июня 1787, Лондон) — немецкий композитор и исполнитель на виола да гамба. Отец Абеля Христиан Фердинанд Абель был близко знаком с Иоганном Себастьяном Бахом. Считается, что именно по рекомендации Баха 24-летний Абель в 1748 г. поступил в дрезденский придворный оркестр под руководством Иоганна Адольфа Хассе, где проработал 10 лет.
Зведення і групування статистичних даних
ПЛАН 1. Зміст і завдання статистичного зведення. 2. Завдання групування, види групувань. 3. Ряди розподілу. 4. Статистичні таблиці, їх види, основні правила їх побудови.
Статистичні ряди і таблиці
Тема: . План Статистичні ряди і їх види. Статистичні таблиці і їх будова. 1. Результати статистичних зведень і групувань оформляють статистичними рядами і таблицями.
Проблемно-орієнтовані мови програмування
Курсова робота з курсу”” Зміст 1. Тема , мета та цілі курсової роботи . . . . . . . . . .3 2. Завдання на курсову роботу . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-6
Умова перпендикулярності прямих
: к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат: