Современные
качественные исследования устойчивости
О вариационности некоторых ДУЧП
с отклоняющимися аргументами
И.А. Колесникова
Российский университет дружбы народов
117198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.
тел.: (095) 952-35-83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu
Исследована задача
существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися
аргументами вида
1. Постановка задачи. Пусть
N – оператор, заданный в
области
D(N) линейного нормированного пространства
U над полем
действительных чисел
R, а область значений
R(N) принадлежит
линейному нормированному пространству
V
над полем
R, т.е.
В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке
существует производная Гато оператора N,
определяемая формулой
(1)
Решается задача
существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися
аргументами вида
(2)
где
-ограниченная область в, с кусочногладкой границей
в
предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.
Зададим область определения оператора N равенством
(3)
Здесь - заданные функции, - неизвестная функция.
Числа зависят соответственно от . Если - четны, то При нечетном полагаем
Обозначим
Введем классическую билинейную форму вида где (4)
Будем говорить, что уравнение (2)
допускает
прямую вариационную формулировку на множестве D(N), относительно билинейной формы
(4), если
существует функционал
FN: D(
FN )=
D(N)—>R такой, что
Функционал FN называется потенциалом
оператора N, а N – градиентом функционала FN.
Записывают N=gradфFN. Оператор N называется
потенциальным на множестве D(N) относительно Ф.
Обозначая через замыкание области , будем предполагать, что - выпуклое множество, , для любых фиксированных
элементов функция
Как известно [2.,
стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N
на множестве D(N) относительно заданной формы является условие
симметричности
Искомый функционал в этом случае имеет вид:
где F0
произвольный фиксированный элемент из R.
Для уравнения вида (2) устанавливается, что
существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда,
когда справедлива
Теорема
1. Для потенциальности оператора (2)
на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия
Современные качественные исследования
устойчивости
Доказательство теоремы
может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].
2.Примеры.
А. Рассматривается
дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай
уравнения (2))
с граничными условиями
Для решения вопроса о
вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим
Отсюда заключаем, что в
случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a-1, a 0 ,a 1
могут зависеть только от x, а b-1,
b0, b1
– только от t.
С учетом условий (9),
уравнение (7) может быть записано в виде
Таким образом, уравнение (7’) c граничными
условиями (8) допускает вариационную формулировку.
Соответствующий функционал
имеет вид
В. Рассматривается
уравнение
где a,b – const, u – неизвестная функция с граничными условиями
Для оператора задачи(10),(11)
условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.
Найти функцию [2]
М=М(x,t,u,ui)
в Ω для любого u
из D(N) и соответствующий функционал F[u] так,
что
Используя условия (6), находим вариационный
множитель М=еu(x,t). Тогда
получим, что оператор вида
является потенциальным.
Соответствующее
эквивалентное уравнение будет иметь вид:
Таким образом, задача (13’),
(11) допускает вариационную формулировку с функционалом
ЛИТЕРАТУРА.
[1]
Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с
отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета
физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.
[2] Филиппов
В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г., Вариационные
принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.
Другие работы по теме:
Хронометражные исследования времени
Федеральное агентство по образованию ГОУВПО "Удмуртский государственный университет" Институт экономики и управления Кафедра экономики и социологии труда
Россия на пути к Орхусской Конвенции
Конвенция ЕЭК ООН о доступе к информации, участии общественности в процессе принятия решений и доступе к правосудию по вопросам, касающимся окружающей среды известна как Орхусская Конвенция по имени датского города Орхус.
Картезианские традиции в философии XX века
Не умаляя творческой мощи философов Нового времени, ограничимся рассмотрением некоторых аспектов творчества Рене Декарта, главного «виновника» достаточно любопытной ситуации, сложившейся в философии XX столетия.
Философия Зенона
Зенон стремится не к тому, чтобы усвоить или понять эмпирическую действительность, но только к тому, чтобы защитить парадоксы своего учителя посредством разных операций над понятиями. Поэтому, когда он стремится раскрыть противоречия, заключающиеся в повседневном мнении о множественности и изменяемости вещей, он пользуется (еще одностороннее, чем Парменид) не фактическими, эмпирическими, но только формальными и логическими аргументами.
Вольтер о религии
ВОЛЬТЕР, ФРАНСУА МАРИ АРУЭ Неутомимый и беспощадный враг церкви и клерикалов, которых он преследовал аргументами логики и стрелами сарказма, писатель, чей лозунг гласил (уничтожьте подлую), Вольтер обрушивался и на иудаизм, и на христианство (например в Обеде у гражданина Булэнвилье), изъявляя впрочем своё уважение к личности Христа (как в указанном сочинении, так и в трактате Бог и люди); с целью антицерковной пропаганды Вольтер издал Завещание Жана Мелье, священника-социалиста XVII века, не щадившего слов для развенчания клерикализма.
Место авторитета и разума в индийской философии
Чтобы отыскать ответы, совместимые с истинами, уже установленными нашим опытом, философ должен применить воображение и разум. Подобно другим отраслям знания, философия в своих исканиях идет от известного к неизвестному.
Структура аргументации: тезис, аргумент, демонстрация.
Аргументация, тезис, демонстрация. Виды аргументации. Опровержение и критика, как виды аргументативных процессов. Правила аргументации по отношению к тезису. Генетическая аргументация. Генетическое опровержение и критика. Аргументация по существу.
Системный рейтинг депутата
Предложено голосу каждого депутата ставить в соответствие его индивидуальный рейтинг, представляющий собой значение определенной информационной функции, аргументами которой являются факторы, характеризующие результаты избирательной кампании.
Трюк с биномиальными коэффициентами
С биномиальными коэффициентами проще иметь дело, когда их аргументами являются целые неотрицательные числа, однако возможны и полезны и более общие рассуждения.
Числові функції
Реферат на тему: Числові функції. Числові функції виконують основні математичні операції над цілими та дробовими числами. Користувач може обрати для роботи точну або наближену раціональну арифметику. Для точної раціональної арифметики розмір цілих чисел, чисельників та знаменників обмежений приблизно до 25000 десяткових знаків.
Виды аргументирования
Существуют различные виды аргументирования. Они 'могут отличаться друг от друга методикой организации, структурой и композицией, механизмом обмена аргументами и др. Зачастую спор и диалог, полемика и дискуссия, дебаты и прения рассматриваются как синонимы, однако необходимо их концептуально различать.
Каким я представляю себе автора Слово о полку Игореве
Каким я представляю себе автора "Слово о полку Игореве" Автор: Разное Прочитав "Слово о полку Игореве", я представил себе все картины исторических событий, которые были упомянуты в "Слове...". Я очень хотел понять ил даже представить кто же был автором этого произведения.
Норманская теория 3
Норманская теория предполагает, что народ русь происходит из Скандинавии периода экспансии викингов, которых в Западной Европе называли норманнами. Этот вывод базируется на толковании содержащегося в «Повести временных лет» «Сказания о призвании варягов».
Мосульский конфликт
(1918—1926) — территориальный спор между Великобританией и Турцией по вопросу о принадлежности нефтеносного района Мосул, входившего до Первой мировой войны вместе с районами Киркук, Эрбиль и Сулеймания в состав Мосульского вилайета Османской империи.
Prolog. Реализация на ПЭВМ
Интегрированная среда языка Turbo Prolog. Структура программы на TURBO PROLOG. Предикаты работы с символьными данными. Работа с командами операционной системы.
Модель программного обеспечения холодильника
Основные принципы, которыми следует руководствоваться в процессе создания и функционирования информационной системы. Проектирование системы программного обеспечения холодильника. Построение диаграммы классов, компонентов, размещения и состояний.
Базис стандартной и рекурсивной схемы. Верификация программы
Базис класса стандартных схем программ. Стандартная схема в линейной форме. Протокол выполнения программы рекурсивной схемы. Слабейшие предусловия операторов программы в линейной форме. Верификация программы с помощью метода индуктивных утверждений.
Анализ бизнес-ситуации в области продаж сканеров
Анализ бизнес-ситуации в области продаж сканеров в г. Днепропетровске. Прогнозирование стоимости сканеров на период исследования и на неделю вперед с помощью функции MS Office Excel "ПРЕДСКАЗ". Использование формул для автоматизации процесса вычислений.
Прикладной пакет Microsoft Office
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Международный институт «ИНФО - Рутения» (МИИР) КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине: «Информатика» тема: «Прикладной пакет
Чубатий Микола
(11.12.1889 -21.7.1975) - визначний український вчений, історик права та церкви, педагог і публіцист Н. у Тернополі. У 1909 закінчив українську державну гімназію. У 1909-13 навчався у Львівській греко-католицькій духовній семінарії. У 1913 вступив на філософський ф-тет Львівського ун-ту. Слухав лекції М.Грушевського, відвідував семінари визначного історика слов'янського права Освальда Бальцера.
Георгий Грек, митрополит Киевский
Прибыл на Русь из Византии около 1062 г. Как явствует из греческих надписей на принадлежащих ему печатях («Господи, помози Георгию, митрополиту Росии и синкеллу»), одновременно являлся членом императорского сената в Константинополе.
Джон Рей
Английский биолог, один из основоположников систематики растений как науки.
Особенности банковского учета с применением Excel
Общие рекомендации по выполнению задач финансовой математики с использованием финансовых функций Microsoft Office Excel. Методика вычисления обыкновенных процентов по ссуде и эффективной ставки процента банка. Порядок определения дисконта от векселя.
Доведення і спростування
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “КИЄВО-МОГИЛЯНСЬКА АКАДЕМІЯ” САМОСТІЙНА РОБОТА з курсу “Логіка” на тему: “ДОВЕДЕННЯ І СПРОСТУВАПННЯ” Виконала: студентка 1 курсу
Паскаль рекурсивні означення та підпрограми
1. Рекурсивні означення Часто кажуть, що рекурсивне означення – це коли щось означається з його ж допомогою. Фраза ця не зовсім точна, а вірніше, зовсім неточна. Кожне означення задає щось, і цим чимось є, як правило, об'єкти, що утворюють деяку множину.