Математическое ожидание

Рефераты по математике » Математическое ожидание

Азартные игры были главной причиной возникновения и развития теории вероятностей. Эта теория как и любая другая математическая теория устанавливает свои законы и теоремы которые приводят к некоторой путанице. Действительно кажется странным что случай может регулироваться законами потому что если это так и если мы знаем эти законы мы можем выиграть в случайной игре — действительно несбыточная мечта. Первое что нужно прояснить это то что случайной является игра в которой игрок не может иметь никакого влияния на исход игры. Ни шахматы ни спортивный бридж не являются случайными играми. А вот бросание монеты и рулетка — случайные игры.

Математическое ожидание

В некоторых играх таких как обычная лотерея или бинго игрок не принимает никакого участия выходящего за рамки приобретения билета. Другие такие как игры казино (рулетка и блэк джек) допускают более активное участие игрока который может управлять ставками и выбирать тип игры. Вообще говоря чем меньше участие чем больше выигрыш. В любом случае у нас есть четкое ощущение что в выигрыше всегда оказывается казино. Это потому что с математической точки зрения игра не является справедливой. Понятие справедливой игры тесно связано с математическим ожиданием которое впервые было введено голландским математиком Яном де Виттом (1625–1672) в трактате о пожизненной ренте (1671).

В игре где известны вероятности событий которые в ней происходят математическое ожидание обозначаемое буквой представляет собой средний выигрыш за игру. Игра считается справедливой когда математическое ожидание равно нулю. Посмотрим на примере как найти математическое ожидание. Предположим что кто-то предлагает следующую игру: мы бросаем кости если выпадает то вы платите € а если что-то другое то вы выигрываете € . Первое что нужно сделать это вычислить вероятность каждого события. Вероятность того что выпадет равна (один благоприятный случай из шести возможных) а вероятность выпадения любого другого числа равна . Математическое ожидание рассчитывается как сумма всех вероятностей умноженных на соответствующие доходы или убытки (доход берем со знаком “плюс’’ убыток — со знаком “минус’’). В нашем случае математическое ожидание будет равно

евро.

Это сумма средней прибыли которую получит наш противник если мы согласимся на игру. Эта игра будет справедливой если при выпадении чего-либо отличного от мы будем получать евро в случае подвижного поскольку:

В некоторых случаях интуиция может помочь определить является ли игра благоприятной неблагоприятной или несправедливой но существует много ситуаций в которых эта интуиция не является полезным инструментом и становится необходимым использовать карандаш и бумагу. Есть множество примеров которые показывают как интуиция может ввести в заблуждение. Например на собрании в котором участвуют человека вероятность встретить человека день рождения которого в тот же день что и у вас несколько выше чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.

Вот еще один пример. Предположим что два игрока и играют в следующую игру. Игрок случайным образом берет одну карту из колоды в карт. Если у него валет дама или король игрок должен заплатить € если туз то игрок платит игроку € и если любая другая карта то также проигрывает который должен заплатить игроку €. Кто выиграет? Сначала найдем вероятность каждого исхода. В колоде 36 карт из которых только валетов королей и дам поэтому вероятность вытянуть одну из этих карт:

Так как есть только туза то вероятность вытянуть один из них

Исключим валетов дам королей и тузов оставшихся карт в колоде в общей сложности поэтому вероятность вытянуть карту отличную от перечисленных:

Теперь мы можем применить формулу для расчета математического ожидания игры.

€.

Это средняя прибыль игрока . Ясно что игра не является справедливой.

Список литературы