Контрольная работа 3.
1. Прибор может работать в двух режимах нормальном и ненормальном. Нормальный режим встречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный в 20%. Вероятность выхода прибора за время tв нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.
Р
ешение
Пусть гипотезы и состоят в том что прибор работает:
в нормальном режиме, вероятность
- в ненормальном режиме, вероятность
Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.
Пусть событие А состоит в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления А равна
При условии что режим работы ненормальный вероятность наступления А
П
о формуле полной вероятности вычислим вероятность того что прибор выйдет из строя за время t
Ответ: 0,22
2. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль. Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он:
а) не будет в проигрыше;
б) будет в выигрыше.
Решение
Вероятность выиграть по произвольному билету, по формуле классической вероятности равна p=0.1
Проводится n=10 испытаний c одинаковой вероятностью наступления события в каждом.
Для того чтобы игрок не был в проигрыше, должен выиграть хотя бы один билет то есть k>=1
Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выиграть как минимум два билета или k>1
По формуле Бернулли,
Теперь найдем вероятность противоположного события p(k>=1)=1-p(k<1)=1-0.349=0.651 – вероятность не оказаться в проигрыше
P(k>=1)=p(k>1)+p(k=1) – вероятность суммы несовместных событий
P(k>1)=p(k>=1)-p(k=1)=0.651-0.387=0.264 – вероятность выигрыша
Ответ: а)0,651 б)0,264
3. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает:
а) 1600 семян;
б) не менее 1600 семян.
Решение
Мы имеем дело с серией последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойти событие А (семя прорастает)
Количество испытаний n=2000
Вероятность наступления события А равна p(A)=0.8=p
q=1-p=1-0.8=0.2
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что n достаточно велико, удобно применить для вычислений локальную теорему Муавра-Лапласа. Вероятность того, что событие А наступит ровно k=1600раз, приблизительно равна
Здесь - локальная функция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.
Получим
Ответ :0,0223
4. В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины --- числа исправных батареек среди извлеченных.
Решение
Пусть Х- дискретная случайная величина- число неисправных батареек. Х может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х.
В
ероятность для каждой батарейки быть неисправной определяем по формуле классической вероятности.
Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0.231, q=1-p=0.769
По формуле Бернулли
Проверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00
Получаем закон распределения случайной величины Х:
Х | 0 | 1 | 2 | 3 |
Р | 0,455 | 0,410 | 0,123 | 0,012 |
5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем P(X>2) = 0,5, а P(1<X<3) = 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение
Для случайной величины X с нормальным распределeнием вероятность попадания в интервал равна
,где Ф(х) – интегральная функция Лапласа,
значения которой табулированы.
По этой формуле
О
тсюда следует что
Из таблиц определяем a=2 – математическое ожидание Х
Кроме того
Значит
из таблицы определяем что -среднеквадратическое
отклонение
Дисперсия
О
твет : Математическое ожидание
Дисперсия
Другие работы по теме:
Исследование потока жидкости в канале переменного сечения
Анализ и особенности распределения поверхностных сил по поверхности жидкости. Общая характеристика уравнения Бернулли, его графическое изображение для потока реальной жидкости. Относительные уравнение гидростатики как частный случай уравнения Бернулли.
Примерная тематика ов
Операционные системы. Назначение. Понятие и характеристика одной из операционных систем
Интегральные преобразования
Операционное исчисление и некоторые его приложения Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Элементы теории вероятностей. Случайные события
Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
Шпаргалка по Теории Вероятности
1) свойство вероятности: 20 стр. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Для любого события , т.к.
Правило Лопиталя или правило Бернулли?
Это правило названо в честь французского математика, жившего в XVII веке, Франсуа Гийома Антуана, маркиза де Лопиталя (1661–1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), первую книгу по дифференциальному исчислению.
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
Основы теории вероятности
Контрольная работа Основы теории вероятности Задание 1 Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Формулировка теоремы Бернулли: “Частота появления события в серии опытов сходится по вероятности к вероятности данного события.”
по Математике 3
1. (237) Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами.
Прямое дискретное преобразование Лапласа
Предмет: Теория Автоматического Управления Тема: ПРЯМОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Введение Динамические процессы в дискретных системах управления описываются уравнениями в конечных разностях. Удобным методом для решения разностных уравнений является операционный метод, основанный на дискретном преобразовании Лапласа.
Теория вероятности 3
Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Биография и достижения в математике И. Бернулли
Бернулли Иоганн БИОГРАФИЯ Бернулли Иоганн I (1667-1748). Род Бернулли ведет своё начало из Фландрии. В конце 16 в. Бернулли покинули родной Антверпен из-за религиозных гонений и после неудачной попытки осесть во Франкфурте-на-Майне оказались в Базеле. Отец Бернулли занимал в городе заметное положение, был членом городского суда и членом Большого городского совета.
курсовые
Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты,что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.
Теория вероятности
Определение числа исходов, благоприятствующих данному событию. Теорема умножения вероятностей и сложения несовместных событий, локальная теорема Лапласа. Расчет среднеквадратического отклонения величин. Несмещенная оценка генеральной средней и дисперсии.
Теория вероятности и математическая статистика
Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.
Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
Исследования и теории Габриеля Крамера
Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.
Разложение функций. Теория вероятностей
Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
Формула Лапласа. Математическое ожидание
Задача на определение вероятности попадания при одном выстреле первым орудием, при условии, что для второго орудия эта вероятность равна 0,75. Интегральная формула Лапласа. Решение задачи на определение математического ожидания случайной величины.
Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа
Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном 0,7. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает 1600 семян; не менее 1600 семян.
Вероятностные распределения
Нормальное распределение плотность нормального распределения записывается так: где а и ?2 — параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия данной случайной величины (ввиду особой роли нормального распределения мы будем использовать специальную символику для обозначения его функции плотности и функции распределения).
Обратное дискретное преобразование Лапласа
Решетчатая функция как результат временного квантования непрерывного сигнала. Ее определение по изображению при помощи формул обратного дискретного преобразования Лапласа, с помощью разложения на простые дроби, способом разложения в степенной ряд.
Крамер, Габриэль
Габриэ́ль Кра́мер (нем. Gabriel Cramer, 31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) — швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры.
Бернулли, Даниил
План Введение 1 Биография 2 Научная деятельность 4 Труды в русском переводе Введение Дании́л Берну́лли (Daniel Bernoulli; 29 января (8 февраля) 1700 — 17 марта 1782), выдающийся швейцарский физик-универсал и математик, сын Иоганна Бернулли, один из создателей кинетической теории газов, гидродинамики и математической физики.
Ададуров Василий Евдокимович
Математик и писатель. В 1727 г. был студентом Академии и обратил на себя внимание математика Бернулли. Занимался также переводом древней истории Байера и статей для академических изданий.
Ампер, Андре Мари
Ампер, Андре Мари (Ampеre, Andrе-Marie) (1775–1836), французский физик и математик.
Коаксіальна лінія
Лекція 8 К оаксіальна лінія. Тут можуть розповсюджуватись хвилі Т (бо тут можна утворити конденсатор), ТЕ, ТМ. Розглянемо хвилю Т. Нам необхідно розв’язати рівняння
Рівняння Максвела для Т, ТЕ, ТМ хвиль
Лекція 5 . Для однорідного ізотропного середовища в декартовій СК: Т - хвиля розповсюджується зі швидкістю світла, . Для неї . Підставимо в рівняння Максвела: