Задача №1.
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:
где S – площадь треугольника ABC.
Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?
Решение.
Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия
или
следует, что
Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):
Вычислим плотность составляющей X:
при ,
откуда плотность составляющей X –
Вычислим плотность составляющей Y:
при ,
при ,
Поэтому плотность составляющей Y –
Найдем условную плотность составляющей X:
при , случайные величины X и Y зависимы.
Найдем математическое ожидание случайной величины X:
Найдем дисперсию случайной величины X:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
Найдем математическое ожидание случайной величины Y:
Найдем дисперсию случайной величины Y:
Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):
Тогда ковариация: ,
а значит и коэффициент корреляции
Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.
Задача №2
Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:
Y | X |
3 | 6 | 8 | 9 |
-0,2 | 0,035 | 0,029 | 0,048 | 0,049 |
0,1 | 0,083 | 0,107 | 0,093 | 0,106 |
0,3 | 0,095 | 0,118 | 0,129 | 0,108 |
Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.
Решение.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:
X | 3 | 6 | 8 | 9 |
| 0,213 | 0,254 | 0,270 | 0,263 |
Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.
Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:
Y | -0,2 | 0,1 | 0,3 |
| 0,161 | 0,389 | 0,450 |
Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.
Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.
1. Математическое ожидание случайной величины X:
2.
Математическое ожидание случайной величины Y:
3. Дисперсия случайной величины X:
4. Дисперсия случайной величины Y:
5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:
Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):
X-M(X) | 3-M(X) | 6-M(X) | 8-M(X) | 9-M(X) |
| 0,213 | 0,254 | 0,270 | 0,263 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):
Y-M(Y) | -0,2-M(Y) | 0,1-M(Y) | 0,3-M(Y) |
| 0,161 | 0,389 | 0,450 |
Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:
[X-M(X)][Y-M(Y)] | 1,260873 | 0,153873 |
P | 0,035 | 0,083 |
-0,584127 | 0,235773 | 0,028773 | -0,109227 | -0,447627 |
0,095 | 0,029 | 0,107 | 0,118 | 0,048 |
-0,054627 | 0,207373 | -0,789327 | -0,096327 | 0,365673 |
0,093 | 0,129 | 0,049 | 0,106 | 0,108 |
Найдем ковариацию:
Найдем коэффициент корреляции:
Ответ: -0,028.
Задача №3
Рост, см (X) | Вес, кг (Y) |
22,5-25,5 | 25,5-28,5 | 28,5-31,5 | 31,5-34,5 | 34,5-37,5 |
117,5-122,5 | 1 | 3 | - | - | - |
122,5-127,5 | - | 2 | 6 | 1 | - |
127,5-132,5 | - | 1 | 5 | 5 | - |
132,5-137,5 | - | 1 | 6 | 7 | 2 |
137,5-142,5 | - | - | 1 | 4 | 2 |
142,5-147,5 | - | - | - | 1 | 1 |
147,5-152,5 | - | - | - | - | 1 |
Результаты обследования 50 учеников:
По данным таблицы требуется:
написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;
вычертить их графики и определить угол между ними;
по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.
Решение.
Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:
Для роста X получим:
1. Выборочная средняя –
2. Дисперсия выборочная исправленная –
Для веса Y получим:
Выборочная средняя -
Дисперсия выборочная исправленная –
Найдем выборочный коэффициент корреляции:
Найдем значения коэффициентов регрессии:
Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:
Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:
- угол между прямыми регрессии.
Следовательно, связь между X и Y не тесная.
Другие работы по теме:
Однофакторный дисперсионный анализ 3
дисперсионный анализ. Вариант 1. 10. Двух и трёх факторные Д. А. Содержание задания. Определить влияние времени откачки и напряжения на нагревателе насоса на давление внутри вакуумной камеры (р). Выбраны три уровня для времени откачки и два значения напряжения.
Магнитное поле Процесс формирования
Graphics Магнитное поле Содержание . 1 Чем создаётся 2 Вычисление 3 Магнитные свойства веществ 4 Проявление магнитного поля 5 Взаимодействие двух магнитов 6 Явление электромагнитной индукции 7Токи Фуко Graphics
Изучение законов вращательного движения
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Уральский Государственный Технический Университет Краснотурьинский Общетехнический Факультет Кафедра физики
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Физика. Билеты к экзамену за 9 класс
Физика 9 кл. Бровкиной Билет №1 Механическое движение. Система отсчета. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение материальной точки. Лабораторная работа. Определение коэффициента трения скольжения.
Что делать после случайных связей?
Что делать в случае, если произошел незащищённый половой контакт (порвался презерватив, контакт в состоянии алкогольного или наркотического опьянения и т. д.) со случайным партнёром?
Профилактика после случайных половых связей
Что делать в случае, если произошел незащищенный половой контакт (порвался презерватив, контакт в состоянии алкогольного или наркотического опьянения и т. д.) со случайным партнером.
Шпаргалка по Теории Вероятности
1) свойство вероятности: 20 стр. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Для любого события , т.к.
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
Вычисление наибольшей прибыли предприятия
Содержание Задача 1 Пусть х (млн. шт.) – объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 – соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Матожидание, дисперсия, мода и медиана
Математическое ожидание и его свойства. Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание . Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин
Ряд распределения функция распределения
Задача 1 (5) Производится контроль партии из 4 изделий. Вероятность изделия быть неисправным равна 0,1. Контроль прекращается при обнаружении первого неисправного изделия. Х – число обследованных приборов. Найти:а) ряд распределения Х б)функцию распределения F(X), в ответ ввести F(3.5). в) m(x) г) d(x) д) p(1.5<X<3.5).
Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции
Контрольная работа Тема: Приближенное вычисление определенного интеграла методом прямоугольника и трапеции. Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где есть некоторая заданная в промежутке [a,b] непрерывная функция. Истолковывая данный определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , необходимо определить эту площадь.
Вычисление случайных величин
Алгебраический расчет плотности случайных величин, математических ожиданий, дисперсии и коэффициента корреляции. Распределение вероятностей одномерной случайной величины. Составление выборочных уравнений прямой регрессии, основанное на исходных данных.
Предельные теоремы. Характеристические функции
Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.
Работа в среде Visual Basic
Создание приложения для вычисления значений функций и определение суммы этих функций: эскиз формы, таблица свойств объекта, список идентификаторов и непосредственные коды процедур. Результаты вычислений и выводы, проверка работы данной программы.
Расчет задач вычислительных систем
Алгоритм и программа вычисления функции на параллельной структуре. Разложение функции в ряд Маклорена. Однопроцессорный и многопроцессорный алгоритмы решения. Программа на Паскале. Размер буферной памяти между звеньями. Матрица вероятностных переходов.
Расчет задач вычислительных систем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ” Кафедра “Обчислювальна техніка та програмування”
Метки. Оператор GOTO. Процедура Halt
С.А. Григорьев Операторы в Паскале могут быть помечены. Метки - это идентификаторы, или целые числа от 0 до 9999, они могут записываться перед любым выполняемым оператором и отделяются от него двоеточием. Оператор может иметь любое количество меток. Все метки, использованные в программе, должны быть описаны в разделе описаний с ключевым словом LABEL.
Вычисление количества информации с помощью калькулятора
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА «Вычисление количества информации с помощью калькулятора» Цель работы: Овладеть навыками сложных вычислений, в том числе вычисления степени числа 2 с натуральным показателем, для перевода единиц количества информации.
Работа в среде Visual Basic
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский Государственный Университет» социально-экономический факультет