Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра физики
ОТЧЕТ
Лабораторная работа по курсу "Общая физика"
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Выполнил: студент группы
Проверил:
2009 г.
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью настоящей работы является изучение основных законов динамики поступательного и вращательного движений твердых тел, экспериментальное определение момента инерции блока и сравнение его с расчетным значением.
2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис. 2.1.
На вертикальной стойке 1 крепится массивный блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы, равной 80 г. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. Риска на корпусе среднего кронштейна совпадает с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положение грузов. За начальное, принимают положение нижнего среза груза, за конечное - риску на корпусе среднего кронштейна.
Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Опоры 9 используют для регулировки положения установки на лабораторном столе.
Принцип работы машины Атвуда заключается в следующем. Когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, система находится в положении безразличного равновесия. Если же на один из грузов (обычно на правый) положить перегрузок, то система выйдет из равновесия, и грузы начнут двигаться с ускорением.
Машина Атвуда
1 – стойка;
2 – блок;
3 – нить;
4 – грузы;
5 – средний кронштейн;
6 – фотодатчик;
7 – линейка;
8 – миллисекундомер;
9 – регулировочная опора.
Рис. 2.1
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Средние значение времени < t > и средние значение квадрата времени < t2 > прохождения грузом с перегрузкомпути h:
(3.1), (3.2)
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути h:
(3.3)
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути h:
σсл(t) = t(, n) S(t) ; (3.4)
где t(, n) - коэффициент Стьюдента
стандартная абсолютная погрешность измерения времени:
(3.5)
где ti − время прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n);
n – число измерений;
< t > – среднее значение времени прохождения пути.
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути h:
σ(t2) = 2 <t> σ(t) (3.6)
Исследуемая зависимость двух величин t2 и h является линейной, то есть удовлетворяет в общем виде формуле:
(3.7)
где k - константа, зависящая от параметров экспериментальной
установки:
(3.8)
где I − его момент инерции блока ;
R – радиус блока ;
M, m – масса груза и перегрузка ;
g – ускорение свободного падения.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.
Результаты измерений времени прохождения груза
(Таблица 4.1)
Номер измерения | h1 =28,0 см | h2 =22,0 см | h3 =18,0 см | h4 =12,0 см | h5 =8,0 см |
1 | 3,617 | 3,281 | 3,092 | 2,348 | 1,986 |
2 | 3,73 | 3,23 | 2,891 | 2,346 | 1,921 |
3 | 3,797 | 3,414 | 3,133 | 2,521 | 2,099 |
4 | 3,597 | 3,414 | 3,061 | 2,323 | 2,058 |
5 | 3,837 | 3,238 | 2,882 | 2,412 | 2,096 |
3,716 | 3,315 | 3,012 | 2,39 | 2,032 | |
13,815 | 10,999 | 9,082 | 5,717 | 4,134 |
Из таблицы методического указания к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа определим коэффициент Стьюдента.
t(, n) = 2,1
Расчет погрешностей для построения графиков при коэффициенте
Стьюдента = 2,1
(Таблица 4.2)
Номер | Среднеквадра-тичное | Случайная | Абсолютная | Погрешность , с2 |
1 | 0,05 | 0,11 | 0,11 | 13,815 ± 0,8 |
2 | 0,04 | 0,08 | 0,08 | 10,999 ± 0,5 |
3 | 0,05 | 0,11 | 0,11 | 9,082 ± 0,7 |
4 | 0,04 | 0,08 | 0,08 | 5,717 ± 0,4 |
5 | 0,04 | 0,08 | 0,08 | 4,134 ± 0,3 |
Определяем абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени согласно методическому указанию к лабораторному практикуму по физике А.Г. Риппа
с.
Построение графиков.
Метод наименьших квадратов для построения прямых по экспериментальным точкам :
где обозначено:
k = 0,49 с2/м угловой коэффициент прямой
b = 0,06 с2 отрезок, отсекаемый прямой от оси OY
Искомая зависимость имеет вид: t2= 0,49∙h, с2 (4.1)
Вычислим значения ординат прямой линии для двух контрольных точек при произвольных значениях h по выражению 4.1:
h01 = 15 см, t201= 0,49Ч15= 7,35 c2 → точка A01
h02 = 29 см, t202= 0,49Ч29=14,21 c2 → точка A02
Рисунок 4.1. Зависимость квадрата времени t2от пройденного пути h
Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом наименьших квадратов определяются по следующим формулам:
где
∆(k) ≈ 0,01 с2/м
∆(b) = 0,17 с2
Используя выражение (3.7) для и учитывая, что г, г, R=75*10-3 и g=980,67 см/с2 вычисляется момент инерции блока.
I_ex = 16986 г∙см2
Абсолютная погрешности косвенного определения момента инерции блока Iэ в ходе эксперимента, по формуле:
∆(I_ex) = 552 г∙см2
Экспериментальное значение момента инерции блока:
I_ex = (16986 ± 552) г∙см2 = (1,7 ± 0,6) Ч 10 -4 кг∙м2
Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок (латунь, = 8400 кг/м3), рассчитать его момент инерции.
Толщина блока в метрах d = 6∙10-3м
Объём сплошного диска V_CD = π∙d∙R2
V_CD = 1,06 см3
Масса сплошного диска m_CD = p∙ V_CD
m_CD = 890 г = 0,89 кг
Момент инерции сплошного диска I_CD = 1/2∙ m_CD∙r22
I_CD = 25031 г∙см2
Так как оси, проходящие через центры масс вырезанных дисков, не совпадают с осью вращения всего блока, то момент инерции I_can каждого диска находится по теореме Штейнера.
Радиус каждого выреза в метрах r2 = 30∙10-3 м
Объём каждого выреза V_can = π∙d∙ r22
V_can = 1.696∙10-5 см3
Масса каждого вырезанного диска m_can= p∙V_can
m_can=142 г = 0,142 кг
Момент инерции каждого вырезанного диска относительно его центра масс:
Ic=1/2∙ m_can∙ r22 Ic = 639 г∙см2
r1=40∙10-3м расстояние от оси вращения блока до центра масс каждого
вырезанного диска в метрах
Момент инерции каждого вырезанного диска относительно оси вращения блока:
I_can=Ic+ m_can∙ r12 I_can = 639 г∙см2
Момент инерции цилиндрического отверстияIотв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем по формуле:
= 2911 г∙см2
Момент инерции блока с тремя вырезами в виде малых дисков
I_an= I_CD-3∙ I_can I_an = 16298 г∙см2
Полученные экспериментальным и аналитическим способами моменты инерции можно сравнить, получив отличие между ними в процентах, при помощи нижеследующего соотношения:
5. ВЫВОДЫ
Используя экспериментальные данные, был построен график линеаризованной зависимости и рассчитаны коэффициенты соответствующего уравнения t2 = f(h)= 0,49∙h с2. Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей. Это свидетельствует, что экспериментальная зависимость t2 = f(h) соответствует теоретической, т.е. экспериментально доказана справедливость основного уравнения динамики вращательного движения:
Значение собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента равно:
I_ex = 1,7 кг∙м2
Используя геометрические параметры блока, с учетом плотности металла, из которого изготовлен блок, рассчитан его момент инерции:
I_an = 1,6 кг∙м2
Значение собственного момента инерции, полученное в ходе эксперимента, больше расчетного
Несовпадение экспериментального результата с расчетным можно объяснить тем, что не учитывался момент сил трения. Это и привело к завышенному значению собственного момента инерции блока в эксперименте.
6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое момент сил и момент инерции?
Моментом силы относительно оси называется физическая величина, численно равная произведению величины составляющей силы, действующей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, на плечо этой составляющей, т.е. на кратчайшее расстояние r от оси вращения до линии действия
Момент силы относительно оси есть вектор, направленный вдоль этой оси и связан с направлением вращения правилом правого винта.
Момент инерциихарактеризует инерционные свойства вращающихся тел. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить его угловую скорость. Момент инерции во вращательном движении аналогичен массе тела в поступательном движении. Момент инерции тела относительно некоторой оси зависит от распределения его массы относительно оси вращения.
Для элемента тела массой dm момент инерции dI выражается соотношением: dI = r2dm,
где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.
Момент инерции всего тела запишется в виде интеграла
где интегрирование осуществляется по всему телу.
2. Моменты каких сил действуют на блок?
Т1 и Т2 – силы натяжения нитей.
На блок действуют моменты сил натяжения нитей:
M1= T1R, M2= T2R .
Вращательное движение блока описывается уравнением:
Рис. 6.1
где ε - угловое ускорение блока, I- его момент инерции,
- сумма моментов сил, приложенных к блоку.
Согласно рис.6.1 вращательное движение блока описывается уравнением
Как рассчитать момент инерции блока?
Сформулировать теорему Штейнера.
Момент инерции блока рассчитывается как:
I = Iдиск – 3Ч Iотв
где Iдиск – момент инерции сплошного диска;
Iотв – момент инерции цилиндрического отверстия (“дырки”).
Момент инерции цилиндрического отверстияIотв относительно оси, проходящей через центр масс блока, определяем согласно теоремы Штейнера.
Теорема Штейнера :
Момент инерции Iотносительно произвольной оси, равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела и произведения массы тела m на квадрат расстояния l между осями:
I = I0 + ml2
4. Укажите возможные причины несовпадения экспериментальных результатов с расчетными.
Физические допущения, принятые при теоретическом анализе движения грузов в эксперименте; погрешности измерения величин; точность вычислений.
7. ПРИЛОЖЕНИЕ
К работе прилагается:
регистрационный файл - phyLab2.reg
файл журнала измерений - Ж.лаб2.txt