Равноускоренное движение

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 111
РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Цель и содержание работы
Целью работы является изучение законов равноускоренного движения при помощи
машины Атвуда.
Содержание работы состоит в определении зависимости пути, пройденного телом
при равноускоренном движении, от времени.
Краткая теория работы
В настоящей работе определяется зависимость пути от времени для равноускорен-
ного движения при помощи машины Атвуда.
Машина Атвуда (рис. 1) состоит из легкого блока в виде сплошного диска, способ-
ного вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, расположенной в верхней части
вертикальной стойки. На правой стороне стойки нанесена шкала с сантиметровыми от-
метками. Через блок перекинута легкая капроновая нить, на концах которой закреплены
грузики в виде цилиндров разной массы m и m.
1 2
В левой верхней части стойки установлено электромагнитное пусковое устройство,
позволяющее фиксировать положение грузиков, зажимая нить между двумя дисками,
один из которых связан с электромагнитом. При освобождении нити грузики приходят в
движение, одновременно включается электронный секундомер.
Пройдя путь S , правый цилиндрик попадает своим нижним основанием на гори-
зонтальную неподвижную платформу и замыкает контакты, останавливающие секундо-
мер.
Величина пути S , пройденного телом с начальной нулевой скоростью за время t,
определяется (из кинематики) уравнением:
at 2
S . (1)
2
Однако ряд причин случайного характера (например, неточность начального рас-
положения правого грузика на заданном расстоянии S от неподвижной платформы,
инерционность пускового устройства и срабатывания контактов, застойные явления в
подшипниках оси блока и т.п.) усложняют эту зависимость.
1
3
5
2
4
6
Рис 1. Машина Атвуда.
1 – блок, 2 – грузики, 3 – нить, 4 – неподвижная платформа, 5 – стойка со шкалой,
6 – основание.
Введем параметр – случайную величину, характеризующую неопределенность
моментов начала и конца движения. Тогда,
a ( t ) 2
S ( t , ) . (2)
2
Преобразовав это выражение, получим:
a 2 at 2
S ( t , ) at . (3)
2 2
Усредняя эту зависимость по случайным значениям параметра , находим:
a 2 at 2
S ( t , ) at . (4)
2 2
Если распределение случайной величины симметрично относительно значения
(то есть положительные и отрицательные значения равновероятны), то 0 , 2 0 ,
a a 2
следовательно, введя обозначения B и S , можно записать:
2 0 2
S ( t ) S Bt 2 . (5)
0
Этот закон содержит два параметра: S – начальное смещение и B – величину,
0
равную половине ускорения. Эти параметры определяются по измеренным значениям
пройденного пути S и сериям значений промежутков времени t методом наименьших
i i , j
квадратов (см. Приложение 1).
Приборы и принадлежности, необходимые для выполнения работы
1. Машина Атвуда. Описание дано выше.
2. Электронный секундомер.
Порядок выполнения работы
1. Включить электронный секундомер.
2. Придерживая правый грузик рукой, переместить нить с грузиками так, чтобы нижнее
основание правого грузика оказалось на отметке 0 см по шкале, нанесенной на стойку
машины Атвуда.
3. Одновременно запустить секундомер и отпустить нить, после чего грузики начнут дви-
гаться, а на табло мелькать цифры – отсчет времени.
4. После попадания нижнего основания правого грузика на неподвижную платформу, за-
крепленную на отметке 80 см по шкале стойки машины Атвуда, секундомер остано-
вить.
5. В таблицу 1 для значения пути S 0 , 80 м занести значение промежутка времени t в
1 1 , 1
секундах.
Затем провести измерения еще четыре раза, повторяя пункты 3 – 7 и вписывая в таб-
лицу 1 значения t , t , t , t .
1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5
6. После этого изменить положение правого грузика: установить его нижнее основание
на отметке 5 см по шкале стойки машины Атвуда. Выполнить пункты 4 – 7. В табли-
цу 1 записать значение промежутка времени t , соответствующее прохождению пути
2 , 1
S 0 , 75 м. аналогично получить значения t , t , t , t , записывая их в соответст-
2 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5
вующую строку таблицы 1.
После этого перейти к серии измерений при новом положении грузика: на отметке
10 см и т.д.
Таблица 1
№ Пройденное рас- ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ Среднее значение
п/п стояние S, м t, с
i t , с t , с t , с t , с t , с i
1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i
1 0,80
2 0,75
3 0,70
4 0,65
5 0,60
6 0,55
7 0,50
8 0,45
9 0,40
10 0,35
Последнюю серию измерений провести с грузиком, своим нижним основанием по-
мещенным на отметку 35 см.
После выполнения измерений выключить секундомер.
Обработка результатов измерений
В каждой серии измерений промежутков времени найти среднее значение t с дву-
i
мя цифрами после запятой. Данные записать в таблицу 1.
Для нахождения параметров S и B методом наименьших квадратов следует вне-
0
сти в таблицу 2 следующие данные, предварительно рассчитав недостающие:
S, t, t, 2 t, 4 S t 2
i i i i i i
(Здесь i– номер серии измерения.)
Подсчитать суммы по всем сериям измерений указанных данных ( i изменяется от
1 до 10):
10 10 10 10
S, t, 2 t и 4 S t 2
i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
и также внести в таблицу 2.
Решить систему уравнений (6) относительно параметров S и B:
0
10 10
10 S B t 2 S
0 i i
i 1 i 1 , (6)
10 10 10
S t 2 B t 4 S t 2
0 i i i i
i 1 i 1 i 1
используя числа, взятые из последней строчки таблицы 2.
(Вывод уравнений (6) см. Приложение. Сравните с формулами 10)
Таблица 2
i S t t 2 t 4 S t 2
i i i i i i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
i 1
S м
0
B м/ c 2
a м/ c 2
Определив значения S и B, необходимо на миллиметровой бумаге построить
0
график зависимости пути от времени S ( t ) S Bt 2 в виде сплошной линии. Затем на
0
этом же графике отметить значения t и S в виде отдельных точек.
i i
ПРИЛОЖЕНИЕ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате эксперимента мы получили ряд измерений величины y:
y , y , ..., y , соответствующих значениям аргумента t, t, …, t, которые могут быть
1 2 n 1 2 n
представлены на графике в виде точек (рис. 2). Нам необходимо установить эмпириче-
скую зависимость между y и t.
Очевидно, если соединить последовательно эти точки, то получим ломаную линию,
не имеющую ничего общего с искомой зависимостью y f (t ) . Это следует хотя бы из то-
го, что форма этой ломаной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях
измерений.
Рис. 2.
Измеренные значения y будут в общем случае смещены относительно искомой
i
кривой как в сторону больших, так и в сторону меньших значений, вследствие статисти-
ческого разброса (рис. 3).
Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным точкам найти гладкую
кривую (или прямую), которая проходила бы как можно ближе к графику “истинной”
функциональной зависимости y f (t ) .
Теория вероятностей показывает, что наилучшим приближением будет такая кри-
вая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от экспе-
риментальных точек до этой кривой будет минимальной.
Этот метод нахождения эмпирической зависимости получил название метода наи-
меньших квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.
Рис. 3.
Предположим, что искомая зависимость выражается функцией
y f ( t , A , A , ..., A ) , где A , , A ..., A – параметры. Значения этих параметров опреде-
1 2 m 1 2 m
ляются так, чтобы точки y располагались по обе стороны этой кривой как можно ближе к
i
последней, то есть, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y от функ-
i
ции y f (t ) была наименьшей. (Это соответствует предположению, что разброс точек
относительно кривой y f (t ) подчиняется закону нормального распределения.)
Мерой этого разброса является дисперсия 2 или ее приближенное выражение
( S ) 2 – средний квадрат отклонений:
n
1 n
( S ) 2 [ y y ( t )] 2 .
n n i i
i 1
Этот средний квадрат отклонений и должен принять минимальное значение. Как
известно, функция f (A ) принимает минимальное значение при A A ,если ее первая
min
производная равна нулю, а вторая производная положительна при значении A A . Для
min
функции многих переменных эти условия заменяются требованием, чтобы частные произ-
водные, то есть производные по параметру A удовлетворяли вышеупомянутым условиям
i
(при этом остальные параметры A ( k i ) при вычислении производных считаются по-
k
стоянными).
Таким образом, из условий минимума мы получаем систему уравнений для опреде-
ления наилучших значений параметров.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере отыскания эм-
пирической зависимости пути, проходимого грузиками на машине Атвуда, от времени.
Полагая, что “истинная” зависимость пути от времени имеет вид
S ( t ) S Bt 2 .
0
можно рассмотреть случайные отклонения:
( S ) S S ( t ) , (7)
i i i
где S – измеренные положения правого грузика в моменты времени t.
i i
Запишем квадратичную форму
1 n
F ( S S Bt 2 ) 2 (8)
n i 0 i
i 1
и потребуем, чтобы эта квадратичная форма, описывающая сумму квадратов отклонений
точек S от искомой кривой, была минимальной:
i
F ( S , B ) min .
0
Тогда из равенства нулю частных производных от F по параметрам S и B полу-
0
чим два уравнения
F n
2 ( S S Bt 2 ) 0
S i 0 i
0 i 1 . (9)
F n
2 ( S S Bt 2 ) t 2 0
B i 0 i i
i 1
Эти уравнения можно переписать в виде
n n
nS B t 2 S
0 i i
i 1 i 1 . (10)
n n n
S t 2 B t 4 S t 2
0 i i i i
i 1 i 1 i 1
a
Решение этой системы позволяет найти значения S и B , а затем определить
0 2
ускорение a.
(В уравнениях (7 – 10) индекс i соответствует усредненному значению данного
параметра соответствующей серии измерений в таблицах 1 и 2.)
Контрольные вопросы
1. Какие величины характеризуют прямолинейное движение?
2. Какое движение называется равномерным, ускоренным?
3. В чем состоит принцип метода наименьших квадратов?
4. Начертите график зависимости пути от времени для равноускоренного движения без
начальной скорости, с начальной скоростью; график пути для равнозамедленного дви-
жения.
5. Объясните смысл и происхождение слагаемого S и величины B в законе пути, полу-
0
ченном в результате работы.
6. С какой целью применяется метод наименьших квадратов?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. т. 1.
2. Володина Л.А. Обработка результатов измерений.
3. Лебедев В.В. Руководство по обработке результатов наблюдений
при выполнении лабораторных работ. -М. МИНГ, 1987.