Реферат на тему:
«Введение в стереометрию»
I.Основные аксиомы стереометрииВ стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение:
Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
Т
Рис. 1
аким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой-
аксиомой плоскости:
Через любые три точки проходит плоскость.
С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
Аксиома пересечения плоскостей звучит так:
Е
Рис. 2
сли две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
(рис.2)
Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная.
Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы.
Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства.
В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.
l
.C
.
.
A
B
Рис. 3
α
β
Пусть прямая
l проходит через точки
А и
В плоскости
α (рис. 3). Вне плоскости
α есть хотя бы одна точка
С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через
А,
В и
С можно провести плоскость
β. Она отлична от плоскости
α, так как содержит
С и имеет с
α две общие точки. Значит,
β пересекается с
α по прямой, которой, как и
l, принадлежат
А,
В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с
l. Но эта линия лежит в плоскости
α, что и требовалось доказать.
Путем несложных доказательств мы находим, что:
На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
II. Прямые, плоскости, параллельность.
Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве:
Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной.
Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое транзитивностью параллельности:
Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.
Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.
Н
А
D
C№
D№
A№
B№
а рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD содержащих их квадратов.
В
Рис. 4
С
В
стереометрии отношение параллельности рассматривается и для плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы теоремы о транзитивности:
Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.
Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или плоскости), то они параллельны друг другу.
Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой прямой в этой плоскости.
А вот признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и плоскости параллельны.
Часто используется и такая простая теорема:
Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются третьей, параллельны друг другу.
Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой и плоскости следует, например, что прямая А№В№ параллельна плоскости АВСD (так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные грани куба, в частности А№В№С№D№ и ABCD, параллельны по признаку параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной грани соответственно параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример. Плоскость, содержащая параллельные прямые AA№ и СС№, пересекают параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым АС и А№С№, значит, эти прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В№С и А№D. Следовательно, параллельные плоскости АВ№С и А№DC, пересекающие куб по треугольникам.
3
Другие работы по теме:
по геометрии «Стереометрия»
Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный)
Основы органометрии
Изучение теоретических основ органометрии и ее методы. Общая характеристика стереометрического анализа. Современные методы видеоорганометрии. Органометрическое исследование, необходимое для установления параметров структурно-функциональных элементов.
Математика 16 века: люди и открытия
В 16 веке европейские математики сумели, наконец, сравниться в мудрости с древними греками и превзойти их там, где успехи эллинов были не велики: в решении уравнений. Такой прорыв в неведомое стал итогом долгой культурной революции.
Геометрия в пространстве
РЕФЕРАТ тему «Геометрия в пространстве». ученик 9 «А» класса гимназии № 6 Гейко Денис. __________________ ПОДГОТОВИЛ: ПРОВЕРИЛ: Ежегодная научная пресс-конференция,
Геометрия места точек на плоскости
Плоскость как простейший вид поверхности, ее задание тремя точками. Основные геометрические фигуры на плоскости. Определение геометрического места точек, примеры для угла и окружности. Сущность использования метода геометрических мест при решении задач.
Эпоха эллинизма
Эпоха эллинизма как синтез, под эгидой имперского строя, эллинской и восточной культур. Ника Самофракийская как выдающийся скульптурный памятник эпохи эллинизма. Место литературы в культуре эпохи. Стоицизм и эпикуреизм как этико-философские направления.
1733 год
Введение 1 События 2 Родились 3 Скончались Список литературы Введение 1733 год — невисокосный год, начинающийся в четверг по григорианскому календарю.
Белорусский архив древних грамот
Введение 1 История издания 2 План Введение Введение «Белорусский архив древних грамот» ― сборник документов по истории восточных белорусских земель в XVI—XVIII в.
The New York Times
Введение 1 История 2 Интересные факты Список литературы The New York Times Введение The New York Times (русск. Нью-Йо́рк та́ймс) — третья по популярности (после The Wall Street Journal и USA Today) газета США. Как и основная часть американских газет, The New York Times создана как региональное издание.
Рамнузиум двухцветный
Введение 1 Описание 2 Вариации Список литературы Рамнузиум двухцветный Введение Рамнузиум двухцветный, или усач двухцветный (лат. Rhamnusium bicolor) — жук из семейства усачей и подсемейства Усачики.
Скосарь репный
Введение 1 Описание 2 Экология 3 Подвиды Список литературы Введение Скосарь репный, или слоник шершавый[1] (Otiorhynchus raucus) — вид долгоносиков-скосарей из подсемейства Entiminae.
Рапсовая блошка
Введение 1 Распространение 2 Экология и местообитания 3 Агроэкология 4 Субвидовые таксоны 4.1 Вариетет 4.2 Подвиды 4.3 Аберрации Список литературы Введение
Коровка люцерновая двадцатичетырёхточечная
Введение 1 Распространение 2 Описание 3 Экология и местообитания 4 Галерея Список литературы Введение Коровка люцерновая двадцатичетырёхточечная[1] (лат. Subcoccinella vigintiquatuorpunctata) — вид божьих коровок.
Лесной таракан
Введение 1 Распространение 2 Описание 3 Экология и местообитания 4 Галерея Список литературы Введение Лесной таракан[1] (лат. Ectobius sylvestris) — вид тараканов и семейства блаттеллид и подсемейства Ectobiinae.
Синекрылая питта
Введение 1 Внешний вид 2 Распространение 3 Питание Список литературы Введение Синекрылая питта, или индийская питта, или нуранг[1] (лат. Pitta brachyura) — птица из семейства питтовые.
Пальмовый украшенный лори
Введение 1 Внешний вид 2 Распространение 3 Образ жизни 4 Размножение 5 Угрозы и защита 6 План Введение Список литературы Введение Пальмовый украшенный лори[1] (лат. Charmosyna palmarum) — птица семейства попугаевых.
Лори-отшельник
Введение 1 Описание 2 Размножение 3 Ареал Список литературы Введение Лори-отшельник[1] (лат. Phigys solitarius) — птица из подсемейства Лориевые попугаи.
Нитехвостый кольчатый попугай
Введение 1 Внешний вид 2 Распространение 3 Классификация Список литературы Введение Нитехвостый кольчатый попугай[1] (лат. Psittacula longicauda) — птица семейства попугаевых.
Длинноуска зеленоватая
Введение 1 Описание 2 Галерея Список литературы Длинноуска зеленоватая Введение Длинноуска зеленоватая[1] (Adela reaumurella) — вид бабочек из семейства длинноусых молей (Adelidae). Средняя Европа.
Зелёная розелла
Введение 1 Внешний вид 2 Распространение 3 Размножение 4 План Введение 5 Классификация Список литературы Введение Зелёная розелла[1] (лат. Platycercus caledonicus) — птица семейства попугаевых.
Бурый лесной муравей
Введение 1 Описание 2 Распространение 3 Классификация 4 Молекулярная биология Список литературы Введение Бурый лесной муравей (лат. Formica fusca) — вид средних по размеру наземных муравьёв рода Formica из подсемейства Formicinae семейства Formicidae.
IV тысячелетие до н. э.
Введение 1 Культуры 2 События 3 Изобретения, открытия 4 Мифические события Введение IV тысячелетие до н. э. — временной промежуток с 4000 по 3001 год до нашей эры.
Федеральный суд США
План Введение 1 Состав федеральных судов 1.1 Суды входящие в систему судебной ветви власти 1.2 Суды не входящие в систему судебной ветви власти Введение
Длинные циклы в экономике
План Введение 1 Разновидности длинных циклов в экономике Список литературы Введение Длинные циклы в экономике — экономические циклы с длительностью более 10 лет. Иногда называются по именам их исследователей.
Веерный попугай
План Введение 1 Внешний вид 2 Распространение 3 Образ жизни 4 План Введение Список литературы Введение Веерный попугай[1] (лат. Deroptyus accipitrinus) — птица семейства попугаевых. Единственный вид рода.
Поздний кожан
План Введение 1 Описание 2 Эхолокация 3 Подвиды Список литературы Введение Поздний кожан[1] (лат. Eptesicus serotinus) — вид рода Кожаны (Eptesicus) семейства Гладконосые летучие мыши (Vespertilionidae).
Усач полевой
Введение 1 Описание 2 Подвиды Список литературы Усач полевой Введение Усач полевой (лат. Dorcadion aethiops) — вид жесткокрылых из семейства усачей.
Африканский клювач
Введение 1 Описание 2 Распространение 3 Образ жизни Список литературы Введение Африканский клювач[1] (лат. Mycteria ibis) — птица семейства аистовых.
Золотник единица измерения
Введение 1 Соотношение с другими единицами 2 Пословицы и поговорки 3 Источники Введение Золотни́к — единица измерения массы русской системы мер.
Платон
Высокая оценка математики определялась философскими установками Платона: он считал, что занятия математикой являются важным этапом на пути познания идеальных истин.